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图形的旋转
【经典例题】
知识点一 旋转的相关概念
【例1】如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′＝90°，则旋转中心是点_____，旋转角是_________，点A的对应点是_______，线段AB的对应线段是________，∠B的对应角是_________．∠BOB′＝__________
【分析】结合图形可得旋转中心为点O，也可得出旋转角及各点旋转后的对应点，各角的对应角．
【解答】解：由图形可得，旋转中心是点O，旋转角是∠A'OA，点A的对应点为A'，线段AB的对应线段为A'B'，∠B的对应角为∠B'，∠BOB'＝AOA'＝90°．
故答案为：O、∠A′OA、A′、A′B′、∠B′、90°．
知识点二 旋转的性质
【例2】如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠AOB＝35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【分析】根据旋转的性质，对应边OB、OD的夹角∠BOD等于旋转角，然后根据∠AOD＝∠BOD－∠AOB计算即可得解．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠BOD＝80°，
∴∠AOD＝∠BOD－∠AOB＝80°－35°＝45°．
故选：C．
【例3】如图所示，将△AOB绕着点O旋转180度得到△DOC，过点O的一条直线分别交BA、CD的延长线于点E、F，求证：AE＝DF．
【分析】先利用旋转的性质得OB＝OC，AB＝CD，∠B＝∠C，再证明△OBE≌△OCF得到BE＝CF，从而可判断AE＝DF．
【解答】证明：∵△AOB绕着点O旋转180度得到△DOC，
∴OB＝OC，AB＝CD，∠B＝∠C，
在△OBE和△OCF中
∴△OBE≌△OCF，
∴BE＝CF，
∴BE－AB＝CF－CD，
即AE＝DF．
知识点三 旋转作图
【例4】如图，已知△ABC及其外一点O，画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形△DEF，写出所有的旋转角．（保留作图痕迹，不写画法）
【分析】作出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后根据旋转的性质写出旋转角即可．
【解答】解：△DEF如图所示，
旋转角为∠AOD、∠BOE、∠COF．
【例5】如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴，垂足为A．
（1）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；
（2）△O′A′B′与△OAB关于原点对称，写出点B′、A′的坐标
【分析】（1）将点B绕原点逆时针方向旋转90°可理解为把Rt△OAB绕原点逆时针方向旋转90°，画图后即可得到C点坐标；
（2）根据关于原点对称的坐标特征求解．
【解答】解：（1）如图，点C的坐标为（－2，4）；
（2）点B′、A′的坐标分别为（－4，－2）、（－4，0）．
【知识巩固】
1. 如图，将平行四边形ABCD绕O点旋转180°后，A点旋转到_______点，B点旋转到_______点，线段AB旋转到线段_________
【解答】解：平行四边形ABCD绕O点旋转180°后，A点旋转到C点，B点旋转到D点，线段AB旋转到线段CD．
故答案为：C、D、CD．
2. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×(180°－100°)＝40°． 故选：B．
3. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝(180°－120°)＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B=30°，
∴∠CAB′＝∠CAC′－∠C′AB′＝120°－30°＝90°．
故选：D．
4. 等边三角形绕它的旋转中心旋转多少度后，能与它自身重合？（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴等边三角形绕中心至少旋转120°后能和原来的图案互相重合．
故选：D．
5. 以原点为中心，把点A（3，6）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A.（6，3） B.（－3，－6） C.（6，－3） D.（－6，3）
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（－6，3）．
故选：D．
【培优特训】
6. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若
∠A′B′B＝20°，则∠A的度数是_________
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴△BCB′是等腰直角三角形，
∴∠CBB′＝45°，
∴∠B′A′C＝∠A′B′B＋∠CBB′＝20°＋45°＝65°，
由旋转的性质得∠A＝∠B′A′C＝65°．
故答案为：65°．
7. 如图，△ABC绕C点顺时针旋转37°后得到了△A′B′C，A′B′⊥AC于点D，则∠A＝_________
【解答】解：∵△ABC绕C点顺时针旋转37°后得到了△A′B′C，
∴∠ACA′＝37°，∠A＝∠A′．
∵A′B′⊥AC于点D，
∴∠A′DC＝90°，
∴∠A′＝90°－∠ACA′＝53°，
∴∠A＝53°．
故答案为：53．
8. 如图，在正方形ABCD中，AD＝，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___________
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，
∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，
∴∠ABP＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝
∵AD＝
∴AE＝4，DE＝2，
∴CE＝－2，PE＝4－
过P作PF⊥CD于F，
∴
∴三角形PCE的面积＝
故答案为：
9. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM．
又∵DF＝DF，DE＝DM，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF＝MF；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，
∴BF＝BM－MF＝4－x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得
即
解得：
则EF的长为
10. 如图，已知P为等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝4，将线段BP绕点P按逆时针方向旋转60°至PQ的位置．
（1）求证：△ABP≌△CBQ
（2）求证：∠BPC＝150°．
【解答】
证明：（1）∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ
（2）∵△ABP≌△CBQ，
∴PA＝QC＝5，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝3，∠BPQ＝60°，
∵在△PQC中，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠QPC＝90°，
∴∠BPC＝∠BPQ＋∠QPC＝60°＋90°＝150°
【中考链接】
11. 如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝________度。
【解答】∵∠A＝27°，∠B＝40°，
∴∠ACA′＝∠A＋∠B＝27°＋40°＝67°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB－∠B′CA＝∠A′CB－∠B′CA，
即∠BCB′＝∠ACA′，
∴∠BCB′＝67°，
∴∠ACB′＝180°－∠ACA′－∠BCB′＝180°－67°－67°＝46°，
故答案为：46．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
13. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为________
【解答】∵AO＝，BO＝2，
∴
∴OA＋AB1＋B1C2＝6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6＝6048．
∴点B2016的纵坐标为：2．
∴点B2016的坐标为：（6048，2）．
故答案为：（6048，2）．
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图形的旋转
【经典例题】
知识点一 旋转的相关概念
【例1】如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′＝90°，则旋转中心是点_____，旋转角是_________，点A的对应点是_______，线段AB的对应线段是________，∠B的对应角是_________．∠BOB′＝__________
【分析】结合图形可得旋转中心为点O，也可得出旋转角及各点旋转后的对应点，各角的对应角．
【解答】解：由图形可得，旋转中心是点O，旋转角是∠A'OA，点A的对应点为A'，线段AB的对应线段为A'B'，∠B的对应角为∠B'，∠BOB'＝AOA'＝90°．
故答案为：O、∠A′OA、A′、A′B′、∠B′、90°．
知识点二 旋转的性质
【例2】如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠AOB＝35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【分析】根据旋转的性质，对应边OB、OD的夹角∠BOD等于旋转角，然后根据∠AOD＝∠BOD－∠AOB计算即可得解．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠BOD＝80°，
∴∠AOD＝∠BOD－∠AOB＝80°－35°＝45°．
故选：C．
【例3】如图所示，将△AOB绕着点O旋转180度得到△DOC，过点O的一条直线分别交BA、CD的延长线于点E、F，求证：AE＝DF．
【分析】先利用旋转的性质得OB＝OC，AB＝CD，∠B＝∠C，再证明△OBE≌△OCF得到BE＝CF，从而可判断AE＝DF．
【解答】证明：∵△AOB绕着点O旋转180度得到△DOC，
∴OB＝OC，AB＝CD，∠B＝∠C，
在△OBE和△OCF中
∴△OBE≌△OCF，
∴BE＝CF，
∴BE－AB＝CF－CD，
即AE＝DF．
知识点三 旋转作图
【例4】如图，已知△ABC及其外一点O，画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形△DEF，写出所有的旋转角．（保留作图痕迹，不写画法）
【分析】作出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后根据旋转的性质写出旋转角即可．
【解答】解：△DEF如图所示，
旋转角为∠AOD、∠BOE、∠COF．
【例5】如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴，垂足为A．
（1）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；
（2）△O′A′B′与△OAB关于原点对称，写出点B′、A′的坐标
【分析】（1）将点B绕原点逆时针方向旋转90°可理解为把Rt△OAB绕原点逆时针方向旋转90°，画图后即可得到C点坐标；
（2）根据关于原点对称的坐标特征求解．
【解答】解：（1）如图，点C的坐标为（－2，4）；
（2）点B′、A′的坐标分别为（－4，－2）、（－4，0）．
【知识巩固】
1. 如图，将平行四边形ABCD绕O点旋转180°后，A点旋转到_______点，B点旋转到_______点，线段AB旋转到线段_________
2. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
4. 等边三角形绕它的旋转中心旋转多少度后，能与它自身重合？（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
5. 以原点为中心，把点A（3，6）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A.（6，3） B.（－3，－6） C.（6，－3） D.（－6，3）
【培优特训】
6. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若
∠A′B′B＝20°，则∠A的度数是_________
7. 如图，△ABC绕C点顺时针旋转37°后得到了△A′B′C，A′B′⊥AC于点D，则∠A＝_________
8. 如图，在正方形ABCD中，AD＝，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___________
9. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
10. 如图，已知P为等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝4，将线段BP绕点P按逆时针方向旋转60°至PQ的位置．
（1）求证：△ABP≌△CBQ
（2）求证：∠BPC＝150°．
【中考链接】
11. 如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝________度。
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为________
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