1.1.1 探索勾股定理同步作业

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1.1.1探索勾股定理同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有（　　）
A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组
2．一个直角三角形有两条边长分别为6和8，则它的第三条边长可能是（　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3．如图，a、b、c分别表示直角三角形的三边向外作的正方形的面积，下列关系正确的是（　　）
A. a+b=c B. a2+b2=c2 C. ab=c D. a+b=c2
4．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知 EMBED Equation.DSMT4 ，则a=（ ）
A. 1 B. 5 C. 10 D. 25
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB的长为(　　)
A. 4 B. C. D. 1
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若a＝12，b＝16，则c为( )
A. 26 B. 18 C. 20 D. 21
7．下列说法中正确的是（ ）
A. 已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C. 在Rt△ABC中，∠，所以a2+b2=c2
D. 在Rt△ABC中，∠，所以a2+b2=c2
8．如图：图形A的面积是（　　）
A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定
二、填空题
9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____cm．
10．在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+BC2+CA2=_____．
11．请写出任意一组自己喜欢的勾股数：________________．
12．已知直角三角形两边的长x、y满足|x2-4|+=0，则第三边长为___________ .
13．求图中直角三角形中未知的长度：b=______，c=________．
14．如果三角形三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，那么它最短边上的高为______cm.
15．在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,在△ABC的外部,以AB为直角边作等腰直角△ABD,连接CD,则△BCD的周长为_____________．
三、解答题
16．计算图中四边形ABCD的面积．
17．如图，一块三角形铁皮，其中∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝12cm．求△ABC的面积．
18．求出下图中直角三角形未知边的长度；求x的值.
19．如图，在△ABC中，∠C＝90 ，AB＝8，点D是BC上一点，AD＝BD＝5，求CD的长．
20．在△ABC中,∠C=90°,∠A 、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c
(1)若a=3,b=4,求c的值;
(2)若a=5,c=10,求b的值;
(3)若a∶b=3∶4,c=10,求a,b的值.
21．如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：BD2＋CD2＝2AD2．
参考答案
1．C
【解析】①32+42=52，符合勾股数的定义；②42+52≠62，不符合勾股数的定义；③2.5、6.5不是正整数，不符合勾股数的定义；④82+152=172，符合勾股数的定义，故选C．
2．C
【解析】当8是直角边时，第三条边长为：，
当8是斜边时，第三条边长为：，
故选C．
3．A
【解析】由正方形的面积公式可知：左边正方形的边长= EMBED Equation.DSMT4 ，右边正方形的边长=，下边正方形的边长=，由勾股定理可知：（）2+（）2=（）2，即a+b=c．
故选：A．
点睛：本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是表示出三个正方形的边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系利用勾股定理即可得出结论．
4．B
【解析】由勾股定理得，a==5，故选B.
5．B
【解析】试题分析：根据直角三角形的勾股定理可得：AB=，故选B．
6．C
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，
∴ EMBED Equation.DSMT4 .
故选C.
7．C
【解析】A选项：若该三角形不是直接三角形，则等式a2+b2=c2不成立，故本选项错误；
B选项：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故本选项错误；
C选项：在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则a2+b2=c2，故本选项正确；
D选项：在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则c2+a2=b2，故本选项错误；
故选C．
8．C
【解析】试题解析：由勾股定理可得：
图形A的面积
故选C.
9．
【解析】分析：直接利用勾股定理计算即可.
详解：由勾股定理得：斜边长=
故答案为：
点睛：此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理计算边长有：（1）已知两边求第三边；（2）已知一边和另两边之间的关系，求第三边.
10．18
【解析】因为△ABC为直角三角形，AB为斜边，所以AC2+BC2=AB2，又AB=3，所以AC2+BC2=AB2=9，则AB2+BC2+CA2=AB2+(BC2+CA2)=9+9=18，故答案为18.
11．12，16，20
【解析】由勾股数的定义：“若三个正整数满足，就说是一组勾股数.”可知勾股数很多，比如：12，16，20就是一组勾股数.
12． 、2或
【解析】
试题分析：根据题意可得：x=2，y=2或3；当两边为2和2时，则第三边长为2；当两边为2和3时，则第三边长为或.
13． 12 30
【解析】利用勾股定理即可得出答案.
解：在如图所示的直角三角形中，由勾股定理得，
；
.
故答案为：12；30.
14．8
【解析】分析：根据三边为6cm、8cm、10cm，根据勾股定理的逆定理知道三角形为直角三角形，最短边长为6cm,最短边上的高为另一直角边，故可得最短边上的高．
详解：∵62+82=102，
∴由边长6，8，10构成的三角形为直角三角形，
最短边长为6cm，
∴最短边上的高为8cm．
故答案为8．
点睛：本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理先求出为直角三角形，再求出最短边上的高．
15．或
【解析】分析：分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ADB．分别画图，即可得到结论．
详解：①如图1，以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAB，
∵∠DAB=90°，且AD=AB=4，
∴BD=BC=4，
∴△BCD的周长=8+8；
②如图2，以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ABD，连接CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DAE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠ADE=45°，∴AE=DE=4，
∴CE=8，∴CD==4，
∴△BCD的周长为4+4+4；
故答案为：4+4+4或8+8．
点睛：本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题时注意分类讨论，不要漏掉所有可能的情况.
16．246.
【解析】
试题分析：根据观察图形可以看出四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD的面积之和，根据AD，AB可以计算△ABD的面积和BD的长，根据CD，BD可以计算△BCD的面积，即可解题．
试题解析：在Rt△ABD中，BD为斜边，
AD=12，AB=16，
则BD=，
故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD=×12×16+×15×20=96+150=246．
答：四边形ABCD的面积为246．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积计算方法，本题中正确的计算△ABD和△BCD的面积是解题的关键．
17．72
【解析】分析：首先过A作AD⊥CB，根据∠C=45°，可以求出AD=DC，再利用勾股定理求出AD的长，再根据直角三角形的性质求出AB的长，利用勾股定理求出BD的长，最后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
详解：
过A作AD⊥CB，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
设AD=DC=x，
则x2+x2=（12）2，
解得：x=12，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=24，
∴BD=，
∴CB=12+12，
∴△ABC的面积=.
点睛：主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质，关键是熟练利用直角三角形的性质求出BD、AD的长．
18．5, 5
【解析】试题分析：根据勾股定理求解.
试题解析：
∵两个三角形是直角三角形，
∴ EMBED Equation.DSMT4 ， .
19．见解析
【解析】试题分析：设CD=x，则BC=5+x，在△ACD和△ACB中，利用勾股定理求解即可.
解：∵∠C＝90 ，即△ACD和△ACB是直角三角形．
∴在Rt△ACD中，AC2＝AD2－CD2，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2－CB2，
∴AD2－CD2＝AB2－CB2．
设CD＝x，则BC＝5＋x，
∴52－x2＝82－(5＋x)2 ，
解得x＝1.4．
即CD的长为1.4．
20．（1）5 （2）5 EMBED Equation.DSMT4 （3）a=6 b=8
【解析】试题分析：（1）由勾股定理求出边长c即可；
（2）由勾股定理求出边长b即可；
（3）由勾股定理和已知条件得出a：b：c=3：4：5，得出a=6，b=8即可．
试题解析：（1）∵∠C=90°，
∴c==5；
（2）解：∵∠C=90°，
∴b=；
（3）∵∠C=90°，a：b=3：4，
∴a：b：c=3：4：5，
∵c=10，
∴a=6，b=8．
21．见解析
【解析】试题分析：（1）通过证BA＝CA，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得出△ABD≌△ACE；（2）证CE=BD,DE2=2AD2，再在Rt△CDE中利用勾股定理即可.
解：∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE．
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD=CE．
∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，
∴CE2＋CD2＝DE2．
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE2＝AD2＋AE2＝2AD2．
∴BD2＋CD2＝2AD2．
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