1.1.2 探索勾股定理同步作业

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1.1.2 探索勾股定理同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．如图，有一长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放一根细木条（木条的粗细忽略不计）要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm
2．如图，一棵大树在一次强风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在离根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　）m．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
3．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为( )
A. 25米 B. 12米 C. 13米 D. 4米
4．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（　　）海里．
A. 60 B. 30 C. 20 D. 80
5．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 14米
6．已知如图，圆柱OO1的底面半径为13cm，高为10cm，一平面平行于圆柱OO1的轴OO1 ， 且与轴OO1的距离为5cm，截圆柱得矩形ABB1A1， 则截面ABB1A1的面积是（　　）
A. 240cm2 B. 240πcm2 C. 260cm2 D. 260πcm2
7．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A．B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A．B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A. 12cm B. cm C. 15 cm D. cm
9．如图,A,B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上,且MN∥EF，某施工队在A,B,C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB=65°,∠CBE=25°,AB=160km,BC=120km,则A,C两村之间的距离为（ ）
A. 250km B. 240km C. 200km D. 180km
二、填空题
10．如果某人沿坡度i=1：3的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了 m．
11．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为______米（精确到0.1）．
12．如图，某人欲从点A处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度为________m.
13．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
14．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要_____元．
15．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__________ （容器厚度忽略不计）．
16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_____m．
三、解答题
17．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为多少？
18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又 AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
19．如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处？
20．如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面分成3×3个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至右侧面点B处，最少要花几秒钟？
21．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200m．
（1）求观测点C到公路MN的距离；
（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．在军事上，常用时钟表示方向角（读数对应的时针方向），如正北为12点方向，北偏西30°为11点方向．在一次反恐演习中，甲队员在A处掩护，乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速度前进，2分钟后到达B处．这时，甲队员发现在自己的1点方向的C处有恐怖分子，乙队员发现C处位于自己的2点方向（如图）．假设距恐怖分子100米以外为安全位置．
（1）乙队员是否处于安全位置？为什么？
（2）因情况不明，甲队员立即发出指令，要求乙队员沿原路后撤，务必于15秒内到达安全位置．为此，乙队员至少应用多快的速度撤离？（结果精确到个位．参考数据： ，．）
参考答案
1．A
【解析】试题分析：：如图，连接AC、AD，可知木箱中的最长的线段为AD，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC2=AB2+BC2=160，在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2+CD2=169，即可求得AD==13．故答案选A．
2．D
【解析】分析：根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
详解：由勾股定理得,断下的部分为=5米，折断前为5+3=8米.
点睛：此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单.
3．B
【解析】【分析】在Rt△ABC中，直接运用勾股定理即可求出A点和B点之间的距离．
【详解】∵∠ABC=90°，AC=20米，BC=16米，
∴AB==12米，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
4．A
【解析】分析：根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
详解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×3=48（km），
BC=12×3km=36（km）．
则AB==60（km）
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．
5．C
【解析】试题解析：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB EB=10 4=6m，
在Rt△AEC中， (m)，
故小鸟至少飞行10m.
故选C.
6．A
【解析】试题解析：如图所示：过点O作OC⊥AB于点C，连接BO，
由题意可得出；CO=5cm，BO=13cm，
∴BC==12（cm），
∴AB=24cm，
∴截面ABB1A1的面积是：24×10=240（cm2）．
故选A．
7．D
【解析】
在直角△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2.
∴AB= m.
则少走的距离是AC+BC AB=3+4-5=2m=4步，
故答案为：D.
8．C
【解析】分析：要求圆柱体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将圆柱体展开,然后利用两点之间线段最短解答.
详解：圆柱体的展开图如图所示:用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是:;即在圆柱体的展开图长方形中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短;
∵圆柱底面半径为cm,
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长:=4cm;
又∵圆柱高为9cm,
∴小长方形的一条边长是3cm;
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm;
∴AC+CD+DB=15cm;
故选C.
点睛：本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形,此长方形的宽等于圆柱底面周长,长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展开成长方形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.
9．C
【解析】分析：直接利用平行线的性质得出的度数,再利用勾股定理得出答案.
详解：,, ,
∵∠CBE=25°,∴∠ABC=180°-65°-25°=90°,
∴△ABC是直角三角形,
∴AC=(km)
故选C.
点睛：本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理等知识，解答本题的关键是正确得出△ABC是直角三角形.
10．.
【解析】
试题解析：设BC=x，AB=3x，
则AC2=AB2+BC2，
AC=，
解得：x=．
故所在的位置比原来的位置升高了m．
11．192.1
【解析】分析：由于B点在A点的北偏东75°方向，所以正北方向与AB形成的夹角为75°，而C在A的南偏东15°方向，所以正南方向与AC形成的夹角为15°，这样∠BAC=90°，△ABC是直角三角形；因为AB=150，AC=120，所以根据勾股定理即可求出BC的值.
详解：对图形进行点标注，如图所示.
∵B点在A点的北偏东75°方向，
∴∠BAD=75°，
∵C在A的南偏东15°方向，
∴∠EAC=15°，所以∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，
∵AB=150，AC=120，
∴BC=≈192.1米.
故答案为：192.1.
点睛：本题重点考查的是方位角，通过题目中方向角的叙述，能够正确的标注角度，明确北偏东、南偏东、北偏西、南偏西这些方向的识别.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
12．150
【解析】分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
详解：AB==150（米）．
故答案为：150．
点睛：本题考查了勾股定理的运用;熟练掌握勾股定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
13．12
【解析】设AE=x千米,则BE=（36－x）千米,
在Rt△AEC中,CE2=AE2+AC2=x2+242,在Rt△BED中,
DE2=BE2+BD2=+122,
∵CE=ED,∴x2+242=+122,解得x=12,所以E站应建在距A站12千米的地方,能使蔬菜基地C,D到E的距离相等,故答案为12．
14．420
【解析】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，价格是14×30=420元．故答案为：420．
15．20
【解析】试题分析：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．
∵高为18cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝12cm，BD＝16cm，
∴在直角△A′DB中，A′B＝＝20（cm）．
故答案是：20．
点睛：本题考查了平面展开－－－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
16．2.2
【解析】如图：
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25.
在Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°,A′D=2米,BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.
故答案为：2.2.
17．12
【解析】试题分析：根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
试题解析：
如图所示：
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=（x+1）2，
解得x=12，
∴AB=12．
∴旗杆的高12m．
18．（1）海港C受台风影响.理由见解析.(2) 7小时.
【解析】试题分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间；
试题解析：
（1）海港C受台风影响。
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形。
∴AC×BC=CD×AB
∴300×400=500×CD
∴CD==240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响。
（2）当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED==70(km),
∴EF=140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时。
19．E站应建在离A站10千米处．
【解析】试题分析：根据C、D两村到E站的距离相等，可得DE=CE，在Rt△AED和Rt△EBC中，根据勾股定理可得AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=x，则BE=25﹣x，列出方程，解方程求得x的值，即可得收购站E离A点的距离.
试题解析：
∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x），
∵DA=15km，CB=10km，
∴x2+152=（25﹣x）2+102，
解得：x=10，
∴AE=10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
20．2.5秒
【解析】分析:将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解把此正方体的点A所在的面展开,然后在平面内,利用勾股定理求点A和B点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离,在直角三角形中,一条直角边长等于5,另一条直角边长等于2,利用勾股定理可求得．
详解:（1）展开底面右面由勾股定理得AB=cm,
（2）展开前面右面由勾股定理得AB=
所以最短路径长为5cm,用时最少:5÷2=2.5秒．
点睛: 本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
21．（1）100m;(2) 该汽车没有超速．
【解析】分析: （1）根据题意结合锐角三角函数关系得出CH即可,
（2）汽车BH,AB的长,进而求出汽车的速度,进而得出答案．
详解:（1）过C作CH⊥MN,垂足为H,如图所示:
∵∠CBN=60°,BC=200m,
∴CH=BC sin60°=200×=100（m）,
即观测点C到公路MN的距离为100m,
（2）该汽车没有超速,理由如下:
∵BH=BC cos60°=100（米）,
∵∠CAN=45°,
∴AH=CH=100m,
∴AB=100﹣100≈73（m）,∴车速为=14.6m/s,
∵60千米/小时=m/s,
又∵14.6＜,
∴该汽车没有超速．
点睛: 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用,熟练掌握解直角三角形,得出AB的长是解决问题（2）的关键．
22．（1）乙队员不安全．（2）乙队员至少应以3米/秒的速度撤离．
【解析】分析：(1)、根据题意得出AB=80，根据角度之间的关系得出BC=AB=80，从而得出答案；(2)、过点C作CD⊥AB，垂足为D，在AB边上取一点B1，使CB1=100米，根据Rt△CBD得出BD和CD的长度，根据Rt△CDB1中的勾股定理求出B1D的长度，从而得出BB1的长度．
详解：解：(1)、乙队员不安全．易求AB=80米，∵∠DBC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BCA=∠BAC=30°，∴BC=AB=80米＜100米，∴乙队员不安全．
(2)、过点C作CD⊥AB，垂足为D，在AB边上取一点B1，使CB1=100米，
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，BC=80米，则BD=40米，CD=40米，
在Rt△CDB1中，由勾股定理知B1D==20米，
则BB1=（20﹣40）米，而≈2.13（米/秒），
依题意结果精确到个位，所以乙队员至少应以3米/秒的速度撤离．
点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理，属于中等难度的题型．通过添加辅助线构造直角三角形是解决这个问题的关键．
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