同步精选测试 数 列
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.下面有四个结论，其中叙述正确的有( )
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.
【答案】 B
2.数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A.70 B.28
C.20 D.8
【解析】 由an＝
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
【答案】 C
3.若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )
A.an＝1＋(－1)n＋1
B.an＝1－cos nπ
C.an＝2sin2
D.an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
【解析】 根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n＝3和4时，D选项不满足，故选D.
【答案】 D
4.已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
【导学号：18082074】
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
【解析】 an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列.
【答案】 A
5.在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的( )
A.第100项 B.第12项
C.第10项 D.第8项
【解析】 ∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去).
【答案】 C
二、填空题
6.已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________.
【解析】 由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N＋，
∴n≤9.
【答案】 9
7.已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
【导学号：18082075】
【解析】 ∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，
又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，
∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.
【答案】 2
8.如图2-1-1是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个.
图2-1-1
【解析】 各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键(5n＋1)个.
【答案】 (5n＋1)
三、解答题
9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)1,3,6,10,15，…；
(4)7,77,777，….
【导学号：18082076】
【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.
(2)把分母统一为2，则有，，，，，…，因而有an＝.
(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.
(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1).
10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 016；
(3)2 016是否为数列{an}中的项？
【解】 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2.
(2)a2 016＝4×2 016－2＝8 062.
(3)由4n－2＝2 016得n＝504.5?N＋，
故2 016不是数列{an}中的项.
[能力提升]
1.已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A. B.5
C.6 D.
【解析】 a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.
【答案】 B
2.已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，3)
C.(－∞，2) D.(－∞，3]
【解析】 an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可.
【答案】 B
3.根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点.
图2-1-2
【解析】 观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点.
【答案】 n2－n＋1
4.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋).
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
【导学号：18082077】
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.
【解】 (1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项.
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，
∴1不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，
则有an＝an＋1，
即＝.
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.
同步精选测试 数列的递推公式(选学)
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于( )
A. B. C.－ D.
【解析】 a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.
【答案】 C
2.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B.an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
【解析】 由条件可发现，n＞2时，an－an－1＝2，即an＝an－1＋2，又a1＝2，所以C正确.
【答案】 C
3.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A. B. C.4 D.0
【解析】 ∵an＝－32＋，由二次函数性质得，当n＝2或3时，an最大，最大为0.
【答案】 D
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
【导学号：18082078】
A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
【解析】 由题意可知：an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln(n＋1)－ln n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝[ln n－ln(n－1)]＋[ln(n－1)－ln(n－2)]＋…＋(ln 2－ln 1)＋2＝2＋ln n.
【答案】 A
5.已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 016＝( )
【导学号：18082079】
A.3 B.－3 C.6 D.－6
【解析】 由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，
a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，
a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，
…
故知{an}是周期为6的数列，
∴a2 016＝a6＝－3.
【答案】 B
二、填空题
6.数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 016－a2 015＝_____________.
【解析】 由已知得a2 016－a2 015－2 015＝0，
∴a2 016－a2 015＝2 015.
【答案】 2 015
7.数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________.
【解析】 因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，
a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.
【答案】 255
8.在数列{an}中，对任意n∈N＋，有an＋1＝.若a1＝1，则a10＝________.
【解析】 法一：由已知，得a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，…，a10＝＝.
法二：由an＋1＝，得＝＋1，
所以＝＋1，＝＋1，＝＋1，…，＝＋1，所以－＝9.
又因为a1＝1，所以＝10，
所以a10＝.
【答案】
三、解答题
9.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，求通项an.
【导学号：18082080】
【解】 将an＋1＝两边同时取倒数得：
＝，
则＝＋，即－＝，
∴－＝，－＝，…，－＝，
把以上这(n－1)个式子累加，
得－＝.
∵a1＝1，∴an＝(n∈N＋).
10.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项.
【导学号：18082081】
【解】 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
[能力提升]
1.已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A.－165 B.－33
C.－30 D.－21
【解析】 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)
＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
【答案】 C
2.已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 014的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 由题意得，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又2014＝671×3＋1，∴a2 014＝a1＝.
【答案】 A
3.对于数列{an}，若存在实数M，对任意的n∈N＋，都有an＞M，则称M为数列{an}的一个下界，数列{an}的最大下界称为下确界.已知数列{an}的通项公式为an＝，按此定义，则数列{an}的下确界是________.
【解析】 由题意，an＝＝1＋.∵＞0，∴对任意n∈N＋，都有an＞1，易知1是数列{an}的最大下界，故数列{an}的下确界是1.
【答案】 1
4.已知数列{an}，满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列的通项公式.
【导学号：18082082】
【解】 法一：由an－an－1＝
＝－(n≥2)，
则an－1－an－2＝－，
…
a3－a2＝－，
a2－a1＝1－.
将上式相加得an－a1＝1－(n≥2)，
又a1＝1，∴an＝2－.a1＝1也适合，
∴an＝2－(n∈N＋).
法二：由已知得an－an－1＝－(n≥2)，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－＋－＋－＋…＋1－＋1＝2－(n≥2).
a1＝1也适合，
∴an＝2－(n∈N＋).
同步精选测试 等差数列
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d等于( )
A.－2 B.－
C. D.2
【解析】 ∵a7－2a4＝(a3＋4d)－2(a3＋d)＝－a3＋2d，又∵a3＝0，∴2d＝－1，∴d＝－.
【答案】 B
2.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A.－1 B.0 C.1 D.6
【解析】 ∵{an}为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.
【答案】 B
3.在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝( )
【导学号：18082083】
A.50 B.51
C.52 D.53
【解析】 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，
令an＝35，解得n＝53.
【答案】 D
4.在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 设数列的公差为d，由4d＝－，得d＝，所以＝＋2×，解得a4＝，故选A.
【答案】 A
5.下列命题中正确的个数是( )
(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；
(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；
(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；
(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列.
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
【解析】 对于(1)，取a＝1，b＝2，c＝3?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错.
对于(2)，a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正确；
对于(3)，∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b.
∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4
＝2(kb＋2)，(3)正确；
对于(4)，a＝b＝c≠0?＝＝，(4)正确.综上可知选B.
【答案】 B
二、填空题
6.中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__________.
【解析】 设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5.
【答案】 5
7.若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
【解析】 设两个数列的公差分别为d1，d2，
则∴＝，∴＝＝.
【答案】
8.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
【解析】 设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
【答案】 13
三、解答题
9.在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
【导学号：18082084】
【解】 由题意，得
d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123，又因为n为正整数，故有38项.
10.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【解】 (1)数列是等差数列.理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列.
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)d＝，
所以an＝.
[能力提升]
1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
【解析】 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得
【答案】 C
2.在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则( )
A.an＝3n B.an＝
C.an＝n－ D.an＝3n2
【解析】 ∵点(，)在直线x－y－＝0上，
∴－＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列.
∴数列{}的通项公式为
＝＋(n－1)＝n，
∴an＝3n2.
【答案】 D
3.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元.
【解析】 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
【答案】 23.2
4.在数列{an}中，已知a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2，且n∈N＋).
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【解】 (1)因为a1＝5，
所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列，
则，，成等差数列，
所以2×＝＋，
即＝＋.
解得λ＝－1.
当λ＝－1时，－
＝[(an＋1－1)－2(an－1)]
＝(an＋1－2an＋1)
＝[(2an＋2n＋1－1)－2an＋1]
＝×2n＋1
＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列.
同步精选测试 等差数列的性质
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
【解析】 不妨设a＝1，b＝2，c＝3.
A选项中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然a2，b2，c2不成等差数列.
B选项中，log21＝0，log22＝1，log23>1，显然log2a，log2b，log2c也不成等差数列.
C选项中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，显然a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.
D选项中，2a＝2,2b＝4,2c＝8，显然2a,2b,2c也不构成等差数列.
【答案】 C
2.等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A.无实根 B.有两个相等实根
C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根
【解析】 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解.
【答案】 A
3.设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
【导学号：18082085】
A.0 B.37 C.100 D.－37
【解析】 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100.
【答案】 C
4.若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A.39 B.20 C.19.5 D.33
【解析】 由等差数列的性质，得
a1＋a4＋a7＝3a4＝45，
a2＋a5＋a8＝3a5＝39，
a3＋a6＋a9＝3a6.
又3a5×2＝3a4＋3a6，
解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.
【答案】 D
5.已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋).若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )
A.0 B.3 C.8 D.11
【解析】 设数列{bn}的首项为b1，公差为d.
由b3＝－2，b10＝12，
得解得
所以bn＝－6＋2(n－1)＝2n－8.
因为bn＝an＋1－an，
所以a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋b5＋…＋b1＋a1
＝(6＋4＋2＋0－2－4－6)＋3
＝3.
【答案】 B
二、填空题
6.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
【导学号：18082086】
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，
则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，
所以3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
【答案】 20
7.在等差数列{an}中，已知a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________.
【解析】 由题意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以a50＝＝5，故a50＋a20＋a80＝a50＝×5＝.
【答案】
8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L，下面3节的容积共4 L，则第5节的容积为________L.
【解析】 法一：设数列{an}为等差数列，自上而下第一节竹子的容积为a1，第二节竹子的容积为a2……第九节竹子的容积为a9.
a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
即4a5－10d＝3，①
3a5＋9d＝4.②
联立①②，解得a5＝.
法二：设数列{an}为等差数列，自上而下第1节竹子的容积为a1，第2节竹子的容积为a2……第九节竹子的容积为a9.
因为a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，
a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，
解得a1＝，d＝，
所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
【答案】
三、解答题
9.已知等差数列{an}，设bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求{an}的通项公式.
【解】 因为b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，
所以a1＋a2＋a3＝3.
由a1，a2，a3成等差数列，可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1.
由＋＋＝，
得2d＋2－d＝，
解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
10.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
【导学号：18082087】
【解】 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
[能力提升]
1.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
【解析】 根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
【答案】 C
2.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
【解析】 设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
【答案】 C
3.数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝，则an＝________.
【解析】 因为＋＝，
所以数列为等差数列，
又＝1，公差d＝－＝－1＝，
所以通项公式＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)×＝，所以an＝.
【答案】
4.两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
【解】 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，
又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.
所以数列{cn}为等差数列，且公差d＝12，①
所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，②
得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项.
同步精选测试 等差数列的前n项和
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A.7 B.15 C.20 D.25
【解析】 S5＝＝＝＝15.
【答案】 B
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A.1 B.－1 C.2 D.
【解析】 ＝
＝＝×＝1.
【答案】 A
3.在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )
【导学号：18082088】
A.37 B.36 C.20 D.19
【解析】 ∵{an}是等差数列，a1＝0，由am＝a1＋a2＋…＋a9得0＋(m－1)d＝9a5＝36d.又d≠0，∴m＝37.
【答案】 A
4.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A. B. C.10 D.12
【解析】 ∵公差为1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.
【答案】 B
5.在等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和为( )
A.0 B.100 C.1 000 D.10 000
【解析】 {an＋bn}的前100项的和为＋＝50(a1＋a100＋b1＋b100)＝50×200＝10 000.
【答案】 D
二、填空题
6.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.
【导学号：18082089】
【解析】 a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
【答案】
7.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
【解析】 因为am－1＋am＋1＝2am，
所以2am－a＝0，
所以am＝0或am＝2.
因为S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，
所以am＝2，所以(2m－1)×2＝38，
解得m＝10.
【答案】 10
8.若数列的前n项和为Sn，且Sn＝，则n＝________.
【解析】 ∵＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.
由已知得＝，解得n＝19.
【答案】 19
三、解答题
9.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
【解】 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.
10.在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图2-2-3所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：
【导学号：18082090】
图2-2-3
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
【解】 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.
由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：
a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块).
(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：
S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块).
答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板.
[能力提升]
1.如图2-2-4所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
图2-2-4
A. B.
C. D.
【解析】 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝
＝.
【答案】 C
2.已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A.15 B.24
C.18 D.28
【解析】 设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
∴6a1＋(n＋12)d＝24.
又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值.
所以＝5，n＝18.
【答案】 C
3.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则使得为整数的n的个数是________.
【解析】 由等差数列的性质，知＝＝＝＝∈Z，则n－2只能取－1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n有5个.
【答案】 5
4.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
【解】 (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，
故a＝2，k＝10.
(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
同步精选测试 等差数列前n项和的综合应用
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.等差数列前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝9，则S5－a5＝( )
A.14 B.19 C.28 D.60
【解析】 在等差数列{an}中，a3＝4，S3＝3a2＝9，∴a2＝3，S5－a5＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝2×7＝14.
【答案】 A
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
【解析】 a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3(a1＋6d)＝3a7＝3×＝×＝S13.
于是可知S13是常数.
【答案】 C
3.已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
【解析】 由得
所以故|a6|>|a7|.
【答案】 C
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
【导学号：18082091】
A.63 B.45 C.36 D.27
【解析】 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
【答案】 B
5.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N＋)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A.Sn＞na1＞nan B.Sn＞nan＞na1
C.na1＞Sn＞nan D.nan＞Sn＞na1
【解析】 由an＝
解得an＝
所以an＝5－4n，
所以na1＝n，nan＝5n－4n2.
因为na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)＞0，
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n＞0，
所以na1＞Sn＞nan.
【答案】 C
二、填空题
6.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15，则Sn＝________.
【导学号：18082092】
【解析】 法一：由
得
解得a1＝1，d＝1，∴Sn＝n×1＋×1＝n2＋n.
法二：设Sn＝An2＋Bn，∵S3＝6，S5＝15
∴即
解得A＝，B＝，∴Sn＝n2＋n.
【答案】 n2＋n
7.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5【解析】 ∵an＝
∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，
得7.5【答案】 8
8.首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值.
【解析】 ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
【答案】 5或6
三、解答题
9.已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
【解】 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一：a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
10.若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
【导学号：18082093】
【解】 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
[能力提升]
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A.12 B.14 C.16 D.18
【解析】 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14.
【答案】 B
2.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以所以≤k≤.
因为k∈N＋，所以k＝7.
故满足条件的n的值为7.
【答案】 B
3.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.
【解析】 设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝
＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝
＝nan＋1，
所以＝＝，
解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，
即a4＝44－33＝11为所求中间项.
【答案】 11 7
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
(3){Sn}有多少项大于零？
【解】 (1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图.
(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N＋，
∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减.
{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零.
同步精选测试 等比数列
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.2＋与2－的等比中项是( )
A.1 B.－1 C.±1 D.2
【解析】 2＋与2－的等比中项为G＝±＝±1，故选C.
【答案】 C
2.在等比数列{an}中，a2 017＝8a2 016，则公比q的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【解析】 由等比数列的定义知q＝＝8.
【答案】 D
3.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则通项公式an＝( )
【导学号：18082094】
A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1
C.(－2)n D.－(－2)n
【解析】 根据a5＝－8a2，有a1q4＝－8a1q，得q＝－2.
又因为a5＞a2，所以a5＞0，a2＜0，a1＞0.
所以a1＝1，所以an＝(－2)n－1.
【答案】 A
4.若实数a，b，c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均不为0)的图象与x轴的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
【解析】 因为b2＝ac＞0，且a，b，c均不为0，所以Δ＝b2－4ac＝－3ac＜0，故f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点.
【答案】 A
5.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A.21 B.42
C.63 D.84
【解析】 ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，
∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去).
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.
【解析】 由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
∴＝＝.
【答案】
7.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
【导学号：18082095】
【解析】 由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
【答案】 3×2n－3
8.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.
【解析】 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝±3，∵an＞0，∴q＝3，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
【答案】 27
三、解答题
9.已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【解】 法一：因为a1a3＝a，
a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2.
从而
解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1或an＝23－n.
法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.
代入已知，得
即
即
将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.
由②，得或
故an＝2n－1或an＝23－n.
10.数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式.
【导学号：18082096】
【解】 (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，
∴＝＝＝－.
∴{bn}是等比数列.
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×＝.
[能力提升]
1.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A.＋1 B.3＋2 C.3－2 D.2－3
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3,2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.
【答案】 C
2.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A.2 B.1
C. D.
【解析】 法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，
∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C.
【答案】 C
3.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.
【解析】 设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得
a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，
∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.
【答案】 64
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，证明{an}是等比数列，并求出通项公式.
【证明】 因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1.
所以an＋1＝Sn＋1－Sn
＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an，
所以an＋1＝2an.
又因为S1＝2a1＋1＝a1，
所以a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an，知an≠0，
所以＝2，
所以{an}是等比数列.
因为a1＝－1，q＝2，
所以an＝－1×2n－1＝－2n－1.
同步精选测试 等比数列性质
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数数列 D.摆动数列
【解析】 因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…所以数列{an}是摆动数列.
【答案】 D
2.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
【解析】 设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列.故选D.
【答案】 D
3.已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(a∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
A.－5 B.－ C.5 D.
【解析】 ∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an，
∴数列{an}是以3为公比的等比数列，
∴a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9，
∴a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝35，
∴log35＝－5.
【答案】 A
4.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )
A.3 B.27
C.3或27 D.15或27
【解析】 设此三数为3，a，b，则
解得或
所以这个未知数为3或27.
【答案】 C
5.已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2,3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
【导学号：18082097】
A.n(2n－1) B.(n＋1)2
C.n2 D.(n－1)2
【解析】 因为{an}为等比数列，所以a5·a2n－5＝a.
由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得a＝22n.
又因为an＞0，所以an＝2n，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________.
【解析】 ∵a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
∴a3a8＝213.
∵a3＝16＝24，∴a8＝29＝512.
又∵a8＝a3q5，∴q＝2，
∴a7＝＝＝256.
【答案】 256
7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________.
【解析】 ∵＝，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y＝5·，z＝6·.
∴x＋y＋z＝1＋5·＋6·＝＝2.
【答案】 2
8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________.
【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用＝m，所以月平均增长率为－1.
【答案】 －1
三、解答题
9.若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值.
【解】 不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0，又a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列.
∴①或②
解①得解②得
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.
10.在等比数列{an}中，a4＝，a3＋a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的公比大于1，且bn＝log3，求证：数列{bn}为等差数列，并求其前n项和Sn.
【导学号：18082098】
【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，＋a4q＝.
因为a4＝，所以＋q＝，解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，所以an＝18×－1＝2×33－n；
当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－5.
(2)证明：由(1)及数列{an}的公比大于1，
得q＝3，an＝2×3n－5，
所以bn＝log3＝log33n－5＝n－5，
所以bn－bn－1＝1(常数).
又因为b1＝log3＝－4，
所以数列{bn}是首项为－4，公差为1的等差数列.
所以Sn＝＝n2－n.
[能力提升]
1.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A.±2 B.±4 C.2 D.4
【解析】 ∵T13＝4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.
【答案】 C
2.公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A.16 B.14
C.4 D.49
【解析】 ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.
∴b6b8＝b＝16.
【答案】 A
3.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【解析】 由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，
∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝＝－，∴6q＝－9.
【答案】 －9
4.在等差数列{an}中，公差 d≠0，a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
【解】 依题设得an＝a1＋(n－1)d，a＝a1a4，
∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，
∵d≠0，
∴d＝a1，得an＝nd.
∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列.
又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝＝3，由此得k1＝9.
等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，
∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.
同步精选测试 等比数列的前n项和
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A.1 B.0 C.1或0 D.－1
【解析】 因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
【答案】 A
2.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A. v B.－ C. D.－
【解析】 设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
∴∴
解得a1＝，故选C.
【答案】 C
3.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
【导学号：18082099】
A.190 B.191 C.192 D.193
【解析】 设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
【答案】 C
4.设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为( )
A.2n B.2n－n
C.2n＋1－n D.2n＋1－n－2
【解析】 法一：特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D.
法二：看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2.
【答案】 D
5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A.35 B.33
C.31 D.29
【解析】 设数列{an}的公比为q，
∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，∴a4＝2.
又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×，
∴q＝.
∴a1＝＝16，S5＝＝31.
【答案】 C
二、填空题
6.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝x·2n－1，则x＝________.
【导学号：18082100】
【解析】 法一：由Sn＝x·2n－1得a1＝S1＝2x－1，a2＝S2－S1＝2x，a3＝S3－S2＝4x.因为a1，a2，a3成等比，所以a＝a1·a3，即(2x)2＝(2x－1)·4x，解得x＝0或1.又a2＝2x≠0，∴x＝1.
法二：当n＝1时，a1＝S1＝2x－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(x·2n－1)－(x·2n－1－1)＝x·2n－1.因为{an}是等比数列，所以n＝1时也适合an＝x·2n－1，所以x·20＝2x－1，∴x＝1.
【答案】 1
7.设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
【解析】 法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.
法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.
【答案】 15
8.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.
【解析】 ∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
【答案】 6
三、解答题
9.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
【导学号：18082101】
【解】 (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
10.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N＋).
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解】 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N＋).
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＝bn－1，和原递推式作差得，bn＝bn＋1－bn.整理得＝，所以bn＝n(n∈N＋).
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋).
[能力提升]
1.在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N＋)，则a＋a＋…＋a等于( )
A.(2n－1)2 B.(2n－1)2
C.4n－1 D.(4n－1)
【解析】 a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1).
【答案】 D
2.如图2-3-1，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积和为( )
【导学号：18082102】
图2-3-1
A. B.π
C.2π D.3π
【解析】 根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.
【答案】 B
3.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝________.
【解析】 若q＝1，则Sn＝na1，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＋2＝(n＋2)a1，显然2Sn≠Sn＋1＋Sn＋2，不合题意，所以q≠1.
由题意，知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2·＝＋.
因为≠0，
所以2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2.
因为qn≠0，所以q2＋q－2＝0，所以q＝－2.
【答案】 －2
4.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解】 (1)由题意有
即
解得或
故或
(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋， ①
Tn＝＋＋＋＋…＋＋. ②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
同步精选测试 等比数列前n项和的性质及应用
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是( )
【导学号：18082103】
A.1,1 B.－1，－1 C.1,0 D.－1,0
【解析】 法一：S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
法二：数列{an}是以－1为首项，－1为公比的等比数列，所以S9＝＝＝－1，S10＝＝0.
【答案】 D
2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A.31 B.33
C.35 D.37
【解析】 根据等比数列性质得＝q5，
∴＝25，∴S10＝33.
【答案】 B
3.如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝( )
A.2n－1 B.2n－1－1
C.2n＋1 D.4n－1
【解析】 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＝2n－1.
【答案】 A
4.在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
【导学号：18082104】
A.135 B.100 C.95 D.80
【解析】 法一：由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
其首项为40，公比为＝.
∴a7＋a8＝40×＝135.
法二：由得q2＝，
所以a7＋a8＝q4(a3＋a4)＝60×＝135.
【答案】 A
5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B. C. D.
【解析】 设{an}的公比为q，由题意知q＞0，
a2a4＝a＝1，即a3＝1，S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝，所以a1＝＝4，所以S5＝＝8×＝.
【答案】 B
二、填空题
6.等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
【解析】 设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.
【答案】 2
7.数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.
【解析】 数列的通项公式an＝10n＋(2n－1).
所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.
【答案】 (10n－1)＋n2
8.如果lg x＋lg x2＋…＋lg x10＝110，那么lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝________.
【导学号：18082105】
【解析】 由已知(1＋2＋…＋10)lg x＝110，
∴55lg x＝110.∴lg x＝2.
∴lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046.
【答案】 2046
三、解答题
9.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
【解】 (1)∵S1＝a1＝1，
且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，
∴Sn＝2n－1.
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.
当n＝1时a1＝1，不适合上式，
∴an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝，
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
10.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
【解】 (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…).
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…).
(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋＝n2＋.
[能力提升]
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3
【解析】 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
【答案】 A
2.设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为( )
A.1 673 B.1 675
C. D.
【解析】 因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为＝＝.
【答案】 D
3.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.
【导学号：18082106】
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×－n－1＝(－1)n－1×.
【答案】 (－1)n－1×
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N＋)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，
∴an＝2Sn－1＋1(n∈N＋，n＞1)，
∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，
∴an＋1＝3an(n∈N＋，n＞1).
而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝3n－1(n∈N＋).
∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
又∵a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，
设等差数列{bn}的公差为d，
则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，
∵bn＞0(n∈N＋)，∴舍去d＝－10，取d＝2，
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N＋).
(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1， ①
∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n， ②
∴①－②得
－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，
∴Tn＝n·3n.
