同步精选测试 不等式的性质
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A.xy＞yz B.xz＞yz
C.xy＞xz D.x|y|＞z|y|
【解析】 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0.又因为y＞z，所以xy＞xz.当y＝0时，A，B，D都不成立，故选C.
【答案】 C
2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题中x不低于95，即x≥95，
y高于380，即y>380，
z超过45，即z>45.
【答案】 D
3.已知x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( )
A.x2＜a2＜0 B.x2＞ax＞a2
C.x2＜ax＜0 D.x2＞a2＞ax
【解析】 x＜a＜0??x2＞ax＞a2.
【答案】 B
4.设0＜a＜b，且a＋b＝1，则四个数，a,2a，a2＋b2中最小的数是( )
【导学号：18082107】
A. B.a C.2a D.a2＋b2
【解析】 由0＜a＜b及a＋b＝1，知0＜a＜，a＜2a，故只需比较a2＋b2与a的大小即可.由0＜a＜，知a2＋b2－a＝a2＋(1－a)2－a＝2a2－3a＋1＝(2a－1)(a－1)＞0，故a最小.
【答案】 B
5.设α∈，β∈，则2α－的范围是( )
A. B.
C.(0，π) D.
【解析】 0<2α<π，0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－<2α－<π.
【答案】 D
二、填空题
6.已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________.
【解析】 (x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，
因为x<1，
所以x－1<0，x－2<0，
所以(x－1)(x－2)>0，所以x2＋2>3x.
【答案】 x2＋2>3x
7.给出的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能得出<成立的是________.
【导学号：18082108】
【解析】 由<，可得－<0，即<0，
故①②④可推出<.
【答案】 ①②④
8.某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元.
【解析】 设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元.
【答案】 20 330
三、解答题
9.(1)a
(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
【导学号：18082109】
【证明】 (1)由于－＝＝，
∵a∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，∴－<0，
即<0，而a>b，
∴b－a<0，∴ab>0.
10.已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
【解】 x3－1－(2x2－2x)
＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)，
∵x<1，∴x－1<0，
又∵＋>0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
[能力提升]
1.若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
【解析】 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则＝－1，＝－1，所以A，B错误；＝－，＝－，所以<，所以C错误.故选D.
【答案】 D
2.设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②acloga(b－c).其中所有的正确结论的序号是( )
A.① B.①②
C.②③ D.①②③
【解析】 由a>b>1，得0<<，又c<0，所以>，①正确；幂函数y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上是减函数，所以acb－c>0，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.故①②③均正确.
【答案】 D
3.若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________.
【解析】 令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b.∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立；
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立；
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立.由不等式的性质可推出②④成立.
【答案】 ②④
4.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
【解】 设该单位有职工n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，
所以y1－y2＝x＋xn－xn＝x－xn
＝x.
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.
因此当单位人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
同步精选测试 一元二次不等式及其解法
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.如果集合M＝{x|x2－1＜0}，N＝{x|x2－3x＜0}，那么M∩N＝( )
A.{x|－1＜x＜1} B.{x|0＜x＜3}
C.{x|0＜x＜1} D.{x|－1＜x＜3}
【解析】 M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜3}，所以M∩N＝{x|0＜x＜1}.故选C.
【答案】 C
2.二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
【解析】 结合二次函数的图象(略)，可知若ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数，则
【答案】 D
3.已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1【导学号：18082114】
A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1
C.a＝－1，b＝2 D.a＝－2，b＝1
【解析】 因为不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1【答案】 C
4.若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(x)的图象为( )
【解析】 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a<0，排除C，D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.
【答案】 B
5.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A.{x|x<－1或x>－lg 2}
B.{x|－1C.{x|x>－lg 2}
D.{x|x<－lg 2}
【解析】 由题意知，一元二次不等式f(x)>0的解集为.
而f(10x)>0，∴－1<10x<，
解得x【答案】 D
二、填空题
6.不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.(用区间表示)
【解析】 由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4【答案】 (－4,1)
7.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________.
【导学号：18082115】
【解析】 f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞).
【答案】 (－3,1)∪(3，＋∞)
8.已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为________.
【解析】 A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x若B?A，如图，则a≤1.
【答案】 (－∞，1]
三、解答题
9.解关于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.
【解】 ∵原不等式等价于(x－m)(x－m－1)<0，
∴方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两根分别为m与m＋1.
又∵m∴原不等式的解集为{x|m10.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值.
【导学号：18082116】
【解】 (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3＜0，
解得3－2＜a＜3＋2.
∴原不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)f(x)＞b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于
解得
[能力提升]
1.已知00的解集为( )
A.
B.{x|x>a}
C.
D.
【解析】 方程两根为x1＝a，x2＝，∵0∴>a.相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为.
【答案】 A
2.若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A.(－3,0) B.[－3,0)
C.[－3,0] D.(－3,0]
【解析】 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，
则解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0].
【答案】 D
3.不等式2x2－x＜4的解集为______.
【解析】 ∵2x2－x＜4，
∴2x2－x＜22，
∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，
∴－1＜x＜2.
【答案】 {x|－1＜x＜2}
4.设函数f(x)＝mx2－mx－6＋m.
(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围.
【解】 (1)设g(m)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6，
则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x2－x＋1.
因为x2－x＋1＝＋＞0，
所以g(m)在[－2,2]上递增，
所以g(m)＜0等价于g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0，
所以所求的x的取值范围是－1＜x＜2.
(2)法一：因为f(x)＝m＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，
所以
或或
解得m＜.
法二：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，则有m＜在x∈[1,3]上恒成立.
而当x∈[1,3]时，
＝≥＝，
所以m＜.
同步精选测试 不等式的实际应用
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本.如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 设这种书的最高定价应当为x元，
由题意得：80 000－×2 000×x≥200 000，
解得≤x≤4，所以最高定价为4元.
【答案】 C
2.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图3-4-3所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大( )
图3-4-3
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】 设y＝a(x－6)2＋11，将(4,7)代入求得a＝－1，
∴平均利润为：＝＝－x－＋12≤－2×5＋12＝2，
当x＝，即x＝5时，等号成立.
【答案】 C
3.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤20，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t满足( )
A.15≤t≤20 B.10≤t≤15
C.10＜t＜15 D.0＜t≤10
【解析】 由题意知日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10 ≤t≤15.
【答案】 B
4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
【导学号：18082117】
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80件(x＞0)时，f(x)取最小值，故选B.
【答案】 B
5.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A.12元
B.16元
C.12元到16元之间
D.10元到14元之间
【解析】 设销售价定为每件x元，利润为y，则：
y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间.
【答案】 C
二、填空题
6.某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________.
【导学号：18082118】
【解析】 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则
y＝2 400×t%＝60(8t－t2).
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
【答案】 [3,5]
7.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________.
【解析】 依题意，得5%＜＜6%，
解得x的范围是(100,400).
【答案】 (100,400)
8.如图3-4-4，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是______dm2.
图3-4-4
【解析】 设阴影部分的高为
x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2).
当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立.
【答案】 56
三、解答题
9.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100×元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【解】 (1)根据题意，
200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，
即5x2－14x－3≥0，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10].
(2)设利润为y元，则
y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故x＝6时，ymax＝457 500元.
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克
该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元.
10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图3-4-5.设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).
图3-4-5
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值.
【导学号：18082119】
【解】 (1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450).
(2)因为8＜x＜450，
所以2x＋≥2＝240.
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
[能力提升]
1.在如图3-4-6所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
图3-4-6
A.[15,20] B.[12,25]
C.[10,30] D.[20,30]
【解析】 设矩形的另一边长为y m，
则由三角形相似知，＝，
∴y＝40－x.
∵xy≥300，
∴x(40－x)≥300，
∴x2－40x＋300≤0，
∴10≤x≤30.
【答案】 C
2.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5 km处 B.4 km处
C.3 km处 D.2 km处
【解析】 设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立.
【答案】 A
3.有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________.
【解析】 设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.
第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，
此时桶内有纯农药液升.
依题意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x＞0，因而原不等式化简为
9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
解得≤x≤.
又∵x＞8，∴8＜x≤.
【答案】
4.如图3-4-7所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米.
图3-4-7
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.
【导学号：18082120】
【解】 (1)设DN的长为x(x＞0)米，
则|AN|＝(x＋2)米.
∵＝，∴|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
由S矩形AMPN＞32，得＞32.
又由x＞0，得3x2－20x＋12＞0，
解得0＜x＜或x＞6.
即DN的长的取值范围是∪(6，＋∞).
(2)由(1)知，矩形花坛AMPN的面积为
S矩形AMPN＝＝
＝3x＋＋12(x＞0)≥2＋12＝24.
当且仅当3x＝，即x＝2时，矩形花坛的面积最小为24平方米.
同步精选测试 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.已知直线ax＋by＋1＝0，若ax＋by＋1>0表示的区域如选项中所示，其中正确的区域为( )
【解析】 边界直线ax＋by＋1＝0上的点不满足ax＋by＋1>0，所以应画成虚线，故排除B和D，取原点(0,0)代入ax＋by＋1，因为a×0＋b×0＋1＝1>0，所以原点(0,0)在ax＋by＋1>0表示的平面区域内，排除A，故选C.
【答案】 C
2.点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是( )
A.b≤ B.b<1
C.b> D.b>－9
【解析】 由题意知2×(－2)－3b＋5<0，
∴b>.
【答案】 C
3.已知点(a,2a－1)既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是( )
【导学号：18082121】
A.(2，＋∞) B.(5，＋∞)
C.(0,2) D.(0,5)
【解析】 ∵(a,2a－1)在直线y＝3x－6的上方，
∴3a－6－(2a－1)<0，即a<5.
又(a,2a－1)在y轴右侧，∴a>0.
∴0【答案】 D
4.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，x，y满足的条件是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵木工和瓦工各请x，y人，
∴有x∶y＝2∶3，
50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200，且x，y∈N*.
【答案】 C
5.如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)＞0的点(x，y)所在的平面区域为( )
【解析】 不等式(x－y)(x＋2y－2)＞0等价于不等式组
①或不等式组②分别画出不等式组①和②所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.
【答案】 B
二、填空题
6.表示图3-5-3中阴影部分所示平面区域的不等式组是________.
【导学号：18082122】
图3-5-3
【解析】 由所给的图形容易知道，点(3,1)在相应的平面区域内，将点(3,1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6>0、2x－3y－6<0、2x＋3y－12<0，再注意到包括各边界，故题图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
【答案】
7.原点(0,0)与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a＞0表示的平面区域内，则a的取值范围为________.
【解析】 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内.则无解.
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则∴－1＜a≤0.
综上所述，a的取值范围是(－1,0].
【答案】 (－1,0]
8.若不等式组表示的平面区域为Ω，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ω中的那部分区域的面积为________.
【解析】 如图所示，Ω为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形，∴S四边形BOCD＝S△BOE－S△CDE＝×2×2－×1×＝.
【答案】
三、解答题
9.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t，硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t，硝酸盐15 t.现库存磷酸盐10 t，硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
【导学号：18082123】
【解】 设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，
则满足以下条件(*)
在直角坐标系中画出不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分.
10.利用平面区域求不等式组的整数解.
【解】 先画出平面区域，再用代入法逐个验证.
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，
又∵y≥2，∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(4,2)，(4,3).
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，
得y≤，与y≥2不符.
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2).
[能力提升]
1.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A.(5,7) B.[5,7)
C.[5,7] D.(5,7]
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5【答案】 B
2.若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于
，则m的值为( )
A.－3 B.1
C. D.3
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0).
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去).
【答案】 B
3.已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________.
【解析】 作出区域D及圆x2＋y2＝4如图所示，
图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为，－即tan α＝，tan β＝，tan θ＝tan(α＋β)＝＝1，所以θ＝，故弧长l＝θ·R＝×2＝.
【答案】
4.设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S;
【导学号：18082124】
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合.
【解】 (1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示).
由解得A(4，－4)，
由解得B(4,12)，
由解得C(－4,4).
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得
即
亦即
得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}.
同步精选测试 简单线性规划
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.z＝20x＋40y
B.z＝20x＋40y
C.z＝20x＋40y
D.z＝40x＋20y
【解析】 由题意易知选A.
【答案】 A
2.若实数x，y满足则的取值范围是 ( )
【导学号：18082125】
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)
【解析】 的可行域如图阴影部分所示.表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率.过点O与直线AB平行的直线l的斜率为1，l绕点O逆时针转动必与AB相交，直线OB的倾斜角为90°，因此的取值范围为(1，＋∞).
【答案】 C
3.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 作出可行域如图所示.
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.
【答案】 A
4.已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
【导学号：18082126】
A.1 B.
C.－ D.－1
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
【答案】 A
5.若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
x2＋y2的几何意义是区域内的点P(x，y)与原点O(0,0)的距离的平方.结合图形可知，|OB|＞|OA|＞|OC|，|OP|max＝|OB|.
由得∴B(3，－1)，∴|OB|＝＝.
∴x2＋y2的最大值为10.
【答案】 C
二、填空题
6.满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________.
【解析】 首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0,5)时截距最大，此时z最大.
【答案】 (0,5)
7.若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________.
【导学号：18082127】
【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
设t＝x＋2y，则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.
【答案】 1
8.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
【解析】 设生产产品A x件，产品B y件，则
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0).
当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).
【答案】 216 000
三、解答题
9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？
【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为
目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，
即zmax＝450×7＋350×5＝4 900.
10.变量x，y满足条件求(x－2)2＋y2的最小值.
【解】 不等式组在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
设P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2的几何意义是点P(x，y)与点M(2,0)距离的平方.由图可知，当点P的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|≥＝，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2的最小值为5.
[能力提升]
1.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 根据约束条件作出可行域如图阴影部分，
当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B.
【答案】 B
2.已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A.5 B.4
C. D.2
【解析】 法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示.
由
解得
所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，
故2a＋b＝2，
a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.
法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.
又因为a2＋b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线2a＋b－2＝0的距离时最小，
所以的最小值是＝2，
所以a2＋b2的最小值是4.故选B.
【答案】 B
3.当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，
解得1≤a≤，
所以a的取值范围是1≤a≤.
【答案】
4.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.
【解】 可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知
化简为求a4＝a1＋3d的最大值，将其转化为求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示.
由z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直线y＝－x，由图可知，
当直线y＝－x＋过点A时，z有最大值.由得A(1,1)，
所以zmax＝1＋1×3＝4，
即a4的最大值为4.
第三章 不等式
单元精选检测(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A.
【答案】 A
2.直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域.下列各点与原点位于同一区域的是( )
A.(－3,4) B.(－3，－4)
C.(0，－3) D.(－3,2)
【解析】 当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.
【答案】 A
3.设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A.A≥B B.A>B
C.A【解析】 ∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.
【答案】 B
4.已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( )
A.a3＞b3 B.＜
C.ab＞1 D.lg(b－a)＜0
【解析】 由0＜a＜b＜1，可得a3＜b3，A错误；＞，B错误；ab＜1，C错误；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D正确.
【答案】 D
5.在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A.(0,2)
B.(－2,1)
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－1,2)
【解析】 根据定义得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2【答案】 B
6.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[－2,0]
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
【解析】 因为2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，
所以2≤1，
所以2x＋y≤＝2－2，
所以x＋y≤－2，即x＋y的取值范围是(－∞，－2].
【答案】 D
7.已知集合M＝，N＝{x|x2＋2x－3≤0}，P＝，则有( )
A.M＝N＝P B.M＝P?N
C.N?M?P D.M?N＝P
【解析】 由M知－3≤x＜1；由N知－3≤x≤1；由P知－3≤x≤1，所以M?N＝P.
【答案】 D
8.x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B.2或
C.2或1 D.2或－1
【解析】 如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
【答案】 D
9.已知正实数a，b满足4a＋b＝30，当＋取最小值时，实数对(a，b)是( )
【导学号：18082138】
A.(5,10) B.(6,6)
C.(10,5) D.(7,2)
【解析】 ＋＝··30
＝(4a＋b)
＝
≥＝.
当且仅当
即时取等号.
【答案】 A
10.已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足下列条件：则
( )
A.zmax＝12，zmin＝3
B.zmax＝12，无最小值
C.zmin＝3，无最大值
D.z无最大值，也无最小值
【解析】 作如图可行域，作直线2x＋y＝0，将直线向右上方平移过程中，过点A时，z最小，过点B时，z最大，又由得A(1,1)，B点不存在，∴zmin＝2×1＋1＝3，z无最大值.
【答案】 C
11.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A.13
C.12
【解析】 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]?
??x<1或x>3.
【答案】 B
12.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是( )
A. B.2 C.3 D.4
【解析】 画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.已知0＜x＜6，则y＝(6－x)·x的最大值是________.
【解析】 法一：∵0＜x＜6，∴6－x＞0，∴(6－x)·x≤2＝9，当且仅当6－x＝x，即x＝3时取等号.
法二：y＝(6－x)x＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.∵0＜x＜6，∴ymax＝f(3)＝9.
【答案】 9
14.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k<3，则k的取值范围为________.
【导学号：18082139】
【解析】 由题意得＋1＋k<3，即(＋2)·(－1)<0，且k>0，因此k的取值范围是(0,1).
【答案】 (0,1)
15.已知实数x，y满足不等式组目标函数z＝y－ax(a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________.
【解析】 不等式组的可行域如图阴影部分所示.
由z＝y－ax得y＝ax＋z，当直线y＝ax＋z的斜率大于1时，目标函数在点(1,3)处取得最大值.
【答案】 (1，＋∞)
16.实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________.
【解析】 法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍.由得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4＞0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题.显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.
【答案】 21
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋，解不等式f(x)－f(x－1)>2x－1.
【解】 由题意可得
x2＋－(x－1)2－>2x－1，
化简得<0，
即x(x－1)<0，
解得0所以原不等式的解集为{x|018.(本小题满分12分)设x∈R，比较与1－x的大小.
【导学号：18082140】
【解】 作差：－(1－x)＝，
①当x＝0时，∵＝0，∴＝1－x；
②当1＋x<0，即x<－1时，
∵<0，∴<1－x；
③当1＋x>0且x≠0，即－10时，
∵>0，∴>1－x.
19.(本小题满分12分)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求＋的最小值.
【解】 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，
所以＋的最小值为4.
20.(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
【解】 设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5,0.5).
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.
21.(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}.
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
【解】 (1)由题意知，1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根.
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a＞0即为
2x2－x－3＞0，解得x＜－1或x＞，
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围.
【解】 (1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，
∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1).
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立.
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2].
