同步精选测试 正弦定理
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.在△ABC中，a＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1 B.2＋1
C.2 D.2＋2
【解析】 由已知及正弦定理，得＝，
∴b＝＝＝2.
【答案】 C
2.在△ABC中，若a＝2，b＝2，∠A＝30°，则∠B＝( )
A.60° B.60°或120°
C.30° D.30°或150°
【解析】 由＝，得sin B＝＝＝.因为b＞a，所以∠B＞∠A，所以∠B＝60°或∠B＝120°.
【答案】 B
3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )
【导学号：18082057】
A.1∶2∶3 B.1∶∶2
C.2∶∶1 D.∶1∶2
【解析】 设三角形内角A，B，C分别为x,2x,3x，
则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.
由正弦定理＝＝，
可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°
＝∶∶1＝1∶∶2.
【答案】 B
4.在△ABC中，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，
则3b＝2a·sin B可化为：
3sin B＝2sin A·sin B.
∵0°<∠B<180°，
∴sin B≠0，
∴sin A＝，
∴∠A＝60°或120°，
又cos A＝cos C，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形.
【答案】 C
二、填空题
5.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________.
【导学号：18082058】
【解析】 由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知∠B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.
【答案】
6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，∠C＝，则b＝________.
【解析】 在△ABC中，∵sin B＝，0<∠B<π，
∴∠B＝或∠B＝π.
又∵∠B＋∠C<π，∠C＝，∴∠B＝，∴∠A＝π－－＝π.
∵＝，∴b＝＝1.
【答案】 1
7.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则a＝________.
【解析】 由tan A＝2，得sin A＝2cos A.又由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝.因为b＝5，∠B＝，根据＝，得a＝＝＝2.
【答案】 2
三、解答题
8.在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状.
【导学号：18082059】
【解】 令＝k，
由正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入已知条件，得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C.
又∠A，∠B，∠C∈(0，π)，
∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形.
9.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋sin C的取值范围.
【解】 (1)由a＝2bsin A及正弦定理，
得sin A＝2sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin B＝.
由△ABC为锐角三角形，得∠B＝.
(2)cos A＋sin C＝cos A＋sin
＝cos A＋sin
＝cos A＋cos A＋sin A
＝sin.
由△ABC为锐角三角形，知－∠B＜∠A＜.
又因为－∠B＝－＝，
所以＜∠A＋＜，
所以＜sin＜，
所以＜sin＜，
所以cos A＋sin C的取值范围是.
[能力提升]
1.在△ABC中，(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A.4∶5∶6 B.6∶5∶4
C.7∶5∶3 D.7∶5∶6
【解析】 设b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，三式联立可求得a＝k，b＝k，c＝k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3.
【答案】 C
2.在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A.a>bsin A B.a＝bsin A
C.a
【解析】 由正弦定理＝，∴asin B＝bsin A，在△ABC中，0【答案】 D
3.△ABC中，∠A＝，BC＝3，则△ABC的周长l＝f(B)＝________.
【解析】 在△ABC中，由正弦定理得＝，化简得AC＝2sin B，＝，
化简得AB＝2sin，
所以三角形的周长为
l＝3＋AC＋AB＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B＝6sin＋3.
【答案】 6sin＋3
4.在△ABC中，已知c＝10，又知＝＝，求a，b的值.
【解】 由正弦定理知＝，
∴＝，
即sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
又∵a≠b，∴2∠A＝π－2∠B，即∠A＋∠B＝，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝，
由得a＝6，b＝8.
同步精选测试 余弦定理
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )
A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
【解析】 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝＝＞0，所以能组成锐角三角形.
【答案】 B
2.△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
【导学号：18082060】
A.19 B.14 C.－18 D.－19
【解析】 由余弦定理的推论知
cos B＝＝，
∴·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×＝－19.
【答案】 D
3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA.3B.2 C.2 D.
【解析】 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b【答案】 C
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则∠A＝( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】 ∵sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，
∴cos A＝＝＝＝，
又∠A为三角形的内角，∴∠A＝30°.
【答案】 A
5.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则∠B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 cos B＝＝
＝＋≥，
∵0<∠B<π，
∴∠B∈.故选A.
【答案】 A
二、填空题
6.设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________.
【导学号：18082061】
【解析】 ∵2a－1＞0，∴a＞，最大边为2a＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2＜(2a＋1)2，
化简得0＜a＜8.
又∵a＋2a－1＞2a＋1，∴a＞2，
∴2＜a＜8.
【答案】 (2,8)
7.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则∠A＋∠C＝________.
【解析】 由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，
∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cos B＝＝，∴∠B＝，
∴∠A＋∠C＝π－∠B＝.
【答案】
8.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理，得
cos B＝＝－，
即＝
＝－，∴8c－7b＋4＝0，
由得∴b＝4.
【答案】 4
三、解答题
9.在△ABC中，
(1)a＝3，b＝4，c＝，求最大角.
(2)b＝，c＝2，∠B＝60°，求a.
【导学号：18082062】
【解】 (1)显然角C最大，
∴cos C＝＝＝－，∴∠C＝120°.
(2)法一：由正弦定理＝，得sin C＝＝＝＝，
∴∠C＝45°或∠C＝135°.
∵b>c，∴∠B>∠C，
又∵∠B＝60°，∴∠C＝45°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋4－4×cos 75°＝10－4×＝4＋2，
∴a＝＝＋1.
法二：∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴6＝a2＋4－4acos 60°＝a2＋4－2a.
∴a2－2a－2＝0.
解得a＝1＋或a＝1－(不合题意，舍去)，
∴a＝1＋.
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin C的值.
【解】 (1)因为b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.
(2)因为cos B＝，所以sin B＝.
由正弦定理＝，得＝，
所以sin C＝.
[能力提升]
1.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，∠C＝60°，则＋的值为( )
A. B. C.1 D.
【解析】 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab，
所以a2＋b2＝ab＋c2，
所以＋＝
＝＝＝1.
【答案】 C
2.已知锐角三角形边长分别为2,3，x，则x的取值范围是( )
A.(，5) B.(1, )
C.(，) D.(，5)
【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x所对的角都为锐角，由余弦定理得解得【答案】 C
3.在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
【解析】 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，
∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴＝＝2··cos A＝2××＝1.
【答案】 1
4.在△ABC中，∠C＝2∠A，a＋c＝10，cos A＝，求b的值.
【解】 由正弦定理，得＝＝＝2cos A，
所以＝.
又因为a＋c＝10，
所以a＝4，c＝6.
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝，解得b＝4或b＝5.
当b＝4时，因为a＝4，所以∠A＝∠B.
又因为∠C＝2∠A，且∠A＋∠B＋∠C＝π，
所以∠A＝，与已知cos A＝矛盾，不合题意，舍去.三
当b＝5时，验证可知满足题意.
所以b＝5.
第一章 解三角形
单元精选检测(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设A是△ABC的最小角，则sin A＋cos A的取值范围是( )
【导学号：18082128】
A.(－，) B.[－，]
C.(1，) D.(1，]
【解析】 sin A＋cos A＝sin.∵∠A是△ABC的最小角，∴0＜∠A＜，∴＜∠A＋＜，∴＜sin≤1,1＜sin A＋cos A≤.
【答案】 D
2.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 由余弦定理得AB2＝9＋AC2－2×3×AC×cos 120°＝13，∴AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1(AC＝－4＜0舍去).
【答案】 A
3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为( )
A.(8,10) B.(2，)
C.(2，10) D.(，8)
【解析】 设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，
32＝1＋a2－2×acos B<1＋a2，∴2【答案】 B
4.已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A.2 B.8 C. D.
【解析】 ∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.
【答案】 C
5.△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A. B. C. D.
【解析】 p∥q?(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0?＝＝cos C.
∴∠C＝.
【答案】 B
6.在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则下面等式一定成立的是( )
A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C
C.∠B＝∠C D.∠A＝∠B＝∠C
【解析】 由sin Bsin C＝cos2＝?2sin Bsin C＝1＋cos A?cos(B－C)－cos(B＋C)＝1＋cos A.
又cos(B＋C)＝－cos A?cos(B－C)＝1，∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C.
【答案】 C
7.一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长等于( )
【导学号：18082129】
图1
A.210 mm B.200 mm
C.198 mm D.171 mm
【解析】 连接AB，则∠BAC＝90°－α＝40°，∠ABC＝90°－β＝20°，∴∠C＝180°－40°－20°＝120°，∴AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos 120°＝902＋1502－2×90×150×＝44 100，∴AB＝210，故DE＝210 mm.
【答案】 A
8.如图2所示，在△ABC中，已知点D在BC上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD＝( )
图2
A.3 B. C. D.1
【解析】 ∵AD⊥AC，sin∠BAC＝，
∴sin＝cos∠BAD＝.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×＝3，∴BD＝.
【答案】 B
9.已知在△ABC中，sin A＋sin B＝sin C(cos A＋cos B)，则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
【解析】 由正弦定理和余弦定理得a＋b＝c＋，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D.
【答案】 D
10.在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则∠A＝( )
【导学号：18082130】
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】 由已知得a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝＝－，
又0°<∠A<180°，∴∠A＝120°.
【答案】 C
11.在△ABC中，∠A∶∠B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cos A等于( )
A. B. C. D.0
【解析】 ∵CD为∠ACB的平分线，
∴D到AC与D到BC的距离相等.
∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等.
∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴＝.
由正弦定理＝，又∵∠B＝2∠A，
∴＝，即＝，∴cos A＝.
【答案】 C
12.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A.a＝8，b＝16，∠A＝30°，有两解
B.b＝18，c＝20，∠B＝60°，有一解
C.a＝5，c＝2，∠A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，∠A＝150°，有一解
【解析】 A中，sin B＝sin 30°＝1，
∴∠B＝90°，即只有一解；
B中，sin C＝＝，且c＞b，
∴∠C＞∠B，故有两解；
C中，∵∠A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，即有解，
故A，B，C都不正确.所以选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________.
【解析】 ∵cos C＝，且∠C为钝角.
∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2【答案】 a2＋b214.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
【解析】 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.因为∠C∈(0，π)，所以∠C＝.
【答案】
15.在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则的值等于________，AC的取值范围为________.
【导学号：18082131】
【解析】 设∠A＝θ?∠B＝2θ.
由正弦定理得＝，∴＝1?＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°，
故30°<θ<45°?∴AC＝2cos θ∈(，).
【答案】 2 (，)
16.如图3，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________.
图3
【解析】 由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，
所以＝－，
所以3b2－a2＝－6，②
联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.
在△ABC中，cos∠C＝＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求∠B.
【解】 (1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，
故cos B＝，所以∠B＝45°.
18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值.
【解】 (1)∵cos B＝>0，且0<∠B<π，
∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，
∴×2×c×＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
19.(本小题满分12分)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值.
【解】 (1)由余弦定理及题设得，
cos B＝＝＝.
又因为0<∠B<π，所以∠B＝.
(2)由(1)知∠A＋∠C＝.
cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝cos.
因为0＜∠A＜，
所以当∠A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.
20.(本小题满分12分)
如图4所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 n mile.问乙船每小时航行多少海里.
图4
【解】 如图所示，连接A1B2.
因为A2B2＝10，
A1A2＝30×＝10，
所以A1A2＝A2B2.
又因为∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
所以△A1A2B2是等边三角形.
所以A1B2＝A1A2＝10.
又因为A1B1＝20，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
所以B1B2＝10.
所以乙船的速度为＝30(n mile/h).
答：乙船每小时航行30n mile.
21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋2cos C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值.
【解】 (1)∵cos 2C＋2cos C＋2＝0，
∴2cos2C＋2cos C＋1＝0，
即(cos C＋1)2＝0，∴cos C＝－.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝a，即sin C＝sin A，
∴sin A＝sin C＝.
∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，
∴absin C＝sin Asin B，
∴sin C＝，
由正弦定理得
2sin C＝，解得c＝1.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝msin x＋cos x(m>0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)若△ABC中，f＋f＝4sin Asin B，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且∠C＝60°，c＝3，求△ABC的面积.
【导学号：18082132】
【解】 (1)由题意，f(x)的最大值为，所以＝2.
又m>0，所以m＝，f(x)＝2sin.
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z).
所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
(2)设△ABC的外接圆半径为R，
由题意，得2R＝＝＝2.
化简f＋f＝4sin Asin B，
得sin A＋sinB＝2sin Asin B.
由正弦定理，得2R(a＋b)＝2ab，a＋b＝ab.①
由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，
即(a＋b)2－3ab－9＝0.②
将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，
解得ab＝3或ab＝－(舍去)，
故S△ABC＝absin C＝.
同步精选测试 距离和高度问题
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-6，测得下面四组数据，较合理的是( )
图1-2-6
A.c与α
B.c与b
C.b，c与β
D.b，α与γ
【解析】 因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.
【答案】 D
2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是( )
【导学号：18082063】
A.50 n mile B.70 n mile
C.90 n mile D.110 n mile
【解析】 到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得
两船之间的距离为
l＝＝70 (n mile).
【答案】 B
3.如图1-2-7所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )
图1-2-7
A. B.
C. D.
【解析】 由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.
由AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，得3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.
【答案】 A
4.如图1-2-8，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
图1-2-8
A.8 km/h B.6 km/h
C.2 km/h D.10 km/h
【解析】 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.
【答案】 B
5.如图1-2-9，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
图1-2-9
A.240(－1)m B.180(－1)m
C.120(－1)m D.30(＋1)m
【解析】 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米.
【解析】 如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米).
【答案】
7.如图1-2-10，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
图1-2-10
【解析】 tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，故CD＝60.
【答案】 60
8.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1-2-11所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球.
【导学号：18082064】
图1-2-11
【解析】 设机器人最快可在点C处截住足球，
点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝.
∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－(dm)(舍去).
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球.
【答案】 7
三、解答题
9.A，B，C，D四个景点，如图1-2-12，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距(3－)km，求A，B两景点的距离.
【导学号：18082065】
图1-2-12
【解】 在△BCD中，
∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得＝，
即BD＝＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，
∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.
即A，B两景点的距离为2 km.
10.如图1-2-13所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度.
图1-2-13
【解】 设CD＝x m，∠BAC＝α，则△ABC中，tan α＝＝.又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝＝＝tan(45°＋α).
又tan(45°＋α)＝＝3，
∴＝3，解得x＝150 m，
所以电视塔的高度为150 m.
[能力提升]
1.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为( )
A.d1>d2 B.d1＝d2
C.d1【解析】 如图，
B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.
在△PBC中，＝，
在△PCD中，＝，
∵sin α＝sin β，sin∠PCB＝sin∠PCD，
∴＝.
∵PB【答案】 C
2.如图1-2-14所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是β，α(β＜α)，则A点离地面的高AB等于( )
图1-2-14
A.
B.
C.
D.
【解析】 设AB＝h，则AD＝.
因为∠CAD＝α－β，所以＝，
所以＝，
所以h＝.
【答案】 A
3.如图1-2-15所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处.则石竹山这条索道AC长为________米.
图1-2-15
【解析】 在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.
因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得＝，
所以＝.
所以AD＝＝200(米).
在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝100(米).故石竹山这条索道AC长为100米.
【答案】 100
4.2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机.为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1-2-16)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
图1-2-16
【解】 方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.
②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝；
第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；
第三步：计算MN.由余弦定理
MN＝.
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.
②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；
第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；
第三步：计算MN.由余弦定理
MN＝.
同步精选测试 角度问题
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A.α>β B.α＝β
C.α＋β＝90° D.α＋β＝180°
【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图.知α＝β，故应选B.
【答案】 B
2.海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A.10 n mile B. n mile
C.5 n mile D.5 n mile
【解析】 由题意知，在△ABC中，
AB＝10(n mile)，∠A＝60°，∠B＝75°，
则∠C＝180°－∠A－∠B＝45°.
由正弦定理，得BC＝＝
＝5(n mile).
【答案】 D
3.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )
【导学号：18082066】
A.28海里/时 B.14海里/时
C.14海里/时 D.20海里/时
【解析】 如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，
在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，
AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/时.
【答案】 B
4.从高出海平面h m的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A.2h m B.h m
C.h m D.2h m
【解析】 如图所示，BC＝h m，AC＝h m，
∴AB＝＝2h(m).
【答案】 A
二、填空题
5.如图1-2-23所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟.
图1-2-23
【解析】 由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定得＝，
所以AC＝＝＝10，
所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟).
【答案】
6.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为________.
【解析】 x2＋9－2·x·3cos 30°＝()2，
解得x＝2或x＝.
【答案】 或2
7.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
【导学号：18082067】
【解析】 如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°，
在△AMB中，
由正弦定理得＝，
解得BM＝30(km).
【答案】 30
8.一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75°、距塔68 n mile的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________n mile/h.
【导学号：18082068】
【解析】 如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，由正弦定理，得
＝，
∴MN＝68×＝34.
又由M到N所用时间为14－10＝4(h)，
∴船的航行速度v＝＝(n mile/h).
【答案】
三、解答题
9.某人从塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，看见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.
【导学号：18082069】
【解】 如图，设AE为塔，B为塔正东方向一点，某人沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处，即BC＝40 m，且∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.
在△ABC中，＝，即＝，
∴AC＝20 m.
过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，
∴∠AGE＝30°.
在△ABC中，由面积公式知BC·AG＝AC·CB·sin∠ACB，
∴AG＝＝＝20·sin 15°＝20sin(45°－30°)＝20×＝10(－1)m.
在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE，
∴AE＝10(－1)×＝m，即塔高为m.
10.如图1-2-24，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.
图1-2-24
【解】 设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，
BD＝42，∠BAD＝60°.
由正弦定理得＝，
sin α＝sin∠BAD＝sin 60°＝，
又∵AD∴0°<α<60°，cos α＝＝，
cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－.
在△BDC中，由余弦定理得
BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos∠BDC＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3 844，BC＝62 km，
即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.
[能力提升]
1.如图1-2-25所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝( )
图1-2-25
A. B.2－
C.－1 D.
【解析】 在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)m.
在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1，所以cos θ＝sin∠BDC＝－1.
【答案】 C
2.甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )
A.分钟 B.分钟
C.21.5分钟 D.2.15小时
【解析】 如图，设t小时后甲行驶到D
处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100＝282＋.
当t＝时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟.
【答案】 A
3.如图1-2-26所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝________.
图1-2-26
【解析】 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20.
由正弦定理＝?
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，
∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝.
【答案】
4.如图1-2-27，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里.经过侦察发现，国际海盗船以100海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上.
【导学号：18082070】
图1-2-27
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sin α的值.
【解】 (1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.
所以该军舰艇的速度为＝140海里/时.
(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
同步精选测试 三角形中的几何计算
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.已知在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
【导学号：18082071】
A. B.
C.或 D.或
【解析】 由正弦定理＝，得sin C＝，则∠C＝60°或120°，所以∠A＝90°或30°.因为S△ABC＝AB·ACsin A＝sin A，所以S△ABC＝或.
【答案】 D
2.在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为( )
A. B. C. D.
【解析】 ∵S△ABC＝bcsin A＝×1×c×sin 60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝1＋16－2×1×4×＝13.∴a＝.
【答案】 D
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，∠C＝，则△ABC的面积是( )
A.3 B. C. D.3
【解析】 已知c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①，
∵∠C＝，∴c2＝a2＋b2－ab②，
由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
【答案】 C
4.在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠B＝60°，则BC边上的高等于( )
【导学号：18082072】
A. B.
C. D.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即7＝AB2＋4－2×2×AB×.
整理得AB2－2AB－3＝0.
解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.
故BC边上的高AD＝AB·sin B＝3×sin 60°＝.
【答案】 B
5.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且∠A>∠B>∠C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7
C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
【解析】 由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，
所以3b＝20acos A＝20(b＋1)·
＝20(b＋1)·，
整理得7b2－27b－40＝0，
解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.
结合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
【答案】 D
二、填空题
6.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________.
【解析】 画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝.
【答案】
7.有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
【解析】 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
∵|cos α|≤1，∴cos α＝－，sin α＝.
故S△＝×3×5×＝6(cm2).
【答案】 6
8.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则△ABC的面积为________.
【解析】 由sin C＝cos C得tan C＝＞0，所以∠C＝.
根据正弦定理可得＝，即＝＝2，所以sin A＝.因为AB＞BC，所以∠A＜∠C，所以∠A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，故S△ABC＝××1＝.
【答案】
三、解答题
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
【导学号：18082073】
【解】 (1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0).
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝，
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋ sin B，故tan B＝＝4.
10.四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求∠C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积.
【解】 (1)连接BD，∵∠A＋∠C＝180°，
∴cos A＝－cos C，由余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C.②
由①，②得cos C＝，故∠C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝·sin 60°＝2.
[能力提升]
1.已知锐角△ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为( )
A.2 B.－2 C.4 D.－4
【解析】 由题意S△ABC＝||||sin A＝，得sin A＝，又△ABC为锐角三角形，
∴cos A＝，
∴·＝||||cos A＝2.
【答案】 A
2.在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以角A＝.
【答案】 A
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.
【解析】 在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，
所以有解得
【答案】 8
4.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状.
【解】 (1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴bc＝－2bc cos A，cos A＝－.
又0＜∠A＜π，∴∠A＝π.
(2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
∴sin2A＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，且sin A＝，
∴sin Bsin C＝，因此sin B＝sin C＝.
又∠B，∠C∈，故∠B＝∠C.
所以△ABC是等腰钝角三角形.
