1.2.1 一定是直角三角形吗同步作业

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1.2 一定是直角三角形吗同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A. 2，2，4 B. 2，3，4 C. 2，2，1 D. 4，5，3
2．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（　　 ）.
A. 仍是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
3．以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成直角三角形的木架（ ）
A. 7 cm，12 cm，15 cm B. 7 cm，12 cm，13 cm
C. 8 cm，15 cm，16 cm D. 3 cm，4 cm，5 cm
4．下列条件中，三角形不是直角三角形的是（ ）
A. 三个角的比 B. 三条边满足关系
C. 三条边的比为 D. 三个角满足关系
5．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是(　　)
A. 如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B. 如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C. 如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D. 如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
7．下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个
①在△ABC中，若三边长a：b：c＝4：5：3，则△ABC是直角三角形；
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；
③三角形的三边分别为a，b，c，若，则∠C＝90°；
④在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A. 底边与腰不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
二、填空题
9．满足的三个正整数，称为勾股数，写出你比较熟悉的一组勾股数：___________．
10．已知a、b、c为△ABC的三边，且a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，则此三角形的形状为 ．
11．在△中，已知，，则△的面积等于 .
12．己知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于_____________.
13．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
14．下面四组数中是勾股数的有________组.
（1）1.5，2.5，2 （2）， ，2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3
15．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是________.
三、解答题
16．在解答“判断由长为，2， 的三条线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的，你认为小明的解答正确吗？请说明理由．
解：设a=，b=2，c=．
∵a2+b2=（）2+22=，c2=()2=，
∴a2+b2≠c2，
∴这三条线段组成的三角形不是直角三角形．
17．作一个三角形，使三边长分别为3cm，4cm，5cm，哪条边所对的角是直角？为什么？
18．设三角形的三边分别等于下列各组数：
①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10
请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？
19．如果一个三角形的三边长分别为 ，则这三角形是直角三角形。
20．若△的三边满足，试判断△的形状．
21．阅读下面的材料:勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理．
22．△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)若a∶b＝3∶4，c＝25，求a，b；
(2)若c－a＝4，b＝12，求a，c.
23．观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？
第 1 组:3=2×1+1，4=2×1×(1+1),5=2×1×(1 + 1)+1；
第 2 组:5=2×2+1，12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1) + 1；
第 3 组:7=2×3+1，24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1) + 1；
第 4 组:9=2×4+1，40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1) + 1；
…；
第 7 组:a，b，c.
参考答案
1．D
【解析】分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形可得答案．
详解：
A、22+22≠42，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
C、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
D、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意．
故选D．
点睛：考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.
2．A
【解析】将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形只是改变大小，不会改变它形状，故选A.
3．D
【解析】A选项：∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B选项：∵72+122=193≠132，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C选项：∵82+152≠162，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D选项：∵32+42=25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．C
【解析】A中，设三个角分别为x、2x、3x，根据三角形内角和定理，得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则3x=90°，则是直角三角形；
B中，由a2-b2=c2，则b2+c2=a2，根据勾股定理逆定理，得三角形是直角三角形；
C中，322+422=2788≠522，则不是直角三角形；
D中，由∠B=∠C-∠A，则∠C=∠A+∠B，则∠A+∠B+∠C=180°=∠C+∠C，则∠C=90°，则是直角三角形.
故选C.
5．D
【解析】∵当a=9、b=12、c=15时，其中，但92+142≠152；
∴当三角形的三边时，可能不是直角三角形；
故选D。
6．B
【解析】∵∠A－∠B=∠C，∴∠A=∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故A选项正确；
∵a2=b2－c2，∴a2+ c2=b2，∴∠B=90°，故B选项不正确；
∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴x+2x+3x=180，解得x=30，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故C选项正确；
∵a2：b2：c2=9：16：25，∴设a2=9x，b2=16x，c2=25x，则a2+ b2=c2，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故D选项正确.
故选B.
点睛：本题关键在于通过角度的计算和勾股定理逆定理判定直角三角形.
7．C
【解析】（1）由题意可设a=4k，b=5k，c=3k，则，
∵，
∴,
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
（2）∵三角形的内角和为180°，
∴若三角形中一个内角等于其它两个内角的和，则这个角的度数为90°，
∴这个三角形是直角三角形，故②正确；
（3）∵三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，
∴△ABC中，∠B=90°，故③错误；
（4）∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
∴∠C=180°×=90°，
∴△ABC是直角三角形，故④正确；
综上所述，上述四个命题中，正确的有3个.
故选C.
8．D
【解析】试题解析：∵，
∴a-=0，b-2=0，c-1=0，
解得：a=，b=2，c=1，
∵12+22=1+4=5=（）2，
∴三角形的形状是直角三角形．
故选D．
9．，，（答案不唯一）
【解析】∵符合．
∴我较熟悉的一组勾股数是：，，（答案不唯一）.
10．直角三角形或等腰三角形．
【解析】试题分析：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，可得c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2），所以a2﹣b2=0或a2+b2=c2，即a=b或a2+b2=c2，从而判定此三角形的为直角三角形或等腰三角形．
11．54cm
【解析】
试题分析：首先运用勾股定理的逆定理证明∠A=90°，然后再根据三角形的面积公式计算即可.
12．
【解析】分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.
详解：∵三角形三边长分别为，，
∴
∴三角形是直角三角形
∴
∴高为
故答案为：.
点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.
13．5或 ．
【解析】分析: 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．
详解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2=42，解得x=；
当4是直角三角形的直角边时，32+42=x2，解得x=5．
故使此三角形是直角三角形的x的值是5或．
故答案为: 5或．
点睛:本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
14．A
【解析】试题解析：(1) ，但不是正整数，故错误；
(2) 能构成直角三角形，但不是整数，故错误；
(3) 三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；
(4) 但不是正整数，故错误.
故选A.
点睛：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.
15．120
【解析】试题分析：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x＋12x＋13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10，24，26，
∵102＋242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120．
故答案为：120．
点睛：此题主要考查勾股定理的逆定理的理解及运用，根据勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解决此题的关键．
16．见解析
【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
试题解析：
小明的做法不正确，
理由是：∵（ ）2+（）2=22，
∴这三条线段组成的三角形是直角三角形
17．5cm
【解析】
试题分析：根据三角形大边对大角的性质即可判断.
5cm所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长.
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形大边对大角的性质.
18．②③
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理即可判断.
∵72+242=252，122+352=372，
∴②③所代表的三角形是直角三角形.
点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.
19．见解析
【解析】∵
∴
∵∠C＝
20．△ABC是直角三角形．
【解析】
试题分析：本题通过对式子的整理得到a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．
试题解析：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，
∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0，
∴（a-6）=0，（b-8）=0，（c-10）=0，
∴a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
21．见解析
【解析】分析：直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．
详解：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b-a）2，
∴c2=4×ab+（b-a）2，
整理，得2ab+b2-2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
点睛：此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．
22．（1）a=15 b=20(2) a＝16 c＝20.
【解析】试题分析：（1）设份数，利用勾股定理求边.(2) (3)利用已知和勾股定理列方程组求各边长.
试题解析：
(1)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a∶b＝3∶4，
∴设a＝3x，则b＝4x.
∵a2＋b2＝c2，即(3x)2＋(4x)2＝252，
解得x＝5，
∴a＝3x＝15，b＝4x＝20.
(2)∵△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴a2＋b2＝c2.
∵c－a＝4，b＝12，
∴c＝a＋4，
∴a2＋144＝(a＋4)2，
解得a＝16，∴c＝20.
23．第7组：a=15，b=112，c=113.
第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.
【解析】试题分析：通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数及第n组勾股数．
试题解析：∵第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，
第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，
第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，
第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，
∴第七组勾股数是a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113；
第n组勾股数是2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．
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