1.2.2 一定是直角三角形吗同步作业

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1.2 .2 一定是直角三角形吗同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）.
A. 600a元 B. 50a元 C. 1200a元 D. 1500a元
2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A. 7.5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米
3．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为（ ）
A. 60 B. 24 C. 30 D. 12
4．小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米．小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（　　）
A. 锐角弯 B. 钝角弯 C. 直角弯 D. 不能确定
5．如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．246 B．296 C．592 D．以上都不对
6．如图，在△ABC中，，，，把沿边翻折成，（在同一个平面内）则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面______（填“合格”或“不合格”）
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．
9．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是_______三角形．
10．在一次玩耍中，小丽问小颖：“如果我现在从你所站的位置向东走3米，再向南走12米，再向东走2米，那么我与你相距__________米．”
11．如图，∠A=∠OCD=90°，OA=2，OD=，AB=BC=CD=1，则△OBC形状 ．
三、解答题
12．如图所示的一块地（图中阴影部分），∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20。求阴影部分的面积。
13．四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．求∠BAD的度数；
14．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？
15．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
16．如图，在四边形中，，，，．
（）求的度数．
（）求四边形的面积．
17．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，AD=1，CD=3．
（1）求∠DAB的度数．
（2）求四边形ABCD的面积．
18．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．
（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为、、
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．（直接写出答案）
19．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
其中、为正整数，且．
（）观察表格，当， 时，此时对应的、、的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（）探究， ， 与、之间的关系并用含、的代数式表示： __________， __________， __________．
（）以， ， 为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
参考答案
1．A
【解析】∵∠C=90°
∴AB =AC +BC
∵AB=50,AC=30
∴BC=40
∴S△ABC=40×30/2=600平方米
∴需要资金600a元;
故选A。
2．A
【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
3．B
【解析】解：连接AC．在△ABC中，∵AB=4，BC=3，∠B=90°，∴AC=5．在△ACD中，∵AC=5，DC=12，AD=13，∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，∴DC2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，AD为斜边，∴木板的面积为：S△ACD﹣S△ABC=×5×12﹣×3×4=24．故选B．
点睛：本题考查了正确运用勾股定理．善于观察题目的信息画图是解题的关键．
4．C
【解析】试题解析：∵小华从家到学校走直线用了10分钟，速度是每分钟走50米，
∴小华家到学校的直线距离=50×10=500（米）；
∵小刚到小明家用了6分钟，
∴小刚到小明家的距离=50×6=300（米）；
∵小明家到学校用了8分钟，
∴小明家到学校的距离=50×8=400（米）．
∵3002+4002=5002，
∴小刚上学走了个直角弯．
故选C．
5．A
【解析】解：连接BD．
∵∠C=90°，BC=12，CD=16，
∴BD==20，
在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，
152+202=252，
即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB BD+BC CD
=×15×20+×12×16
=150+96
=246．
故选：A．
6．D
【解析】
试题分析：
由题意得：
AC=8，BC=6，AB=10，
CO⊥AB，CO=C′O；
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°；
由三角形的面积公式得：
AC BC＝AB CO，
∴CO＝＝4.8
∴CC′=2 CO＝
故选：D
7．合格
【解析】试题解析：∵802+602=10000=1002，
即：AD2+DC2=AC2，
如图，
∴∠D=90°，
同理：∠B=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
8．2.
【解析】
试题分析：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝．
9．直角
【解析】试题解析：设中间长的边长为x，较长边为x+1，较短边为x-7，
∵此三角形周长为30米，
∴x+x+1+x-7=30，
解得：x=12，
则x+1=13，x-7=5，
∵52+122=132，
∴这个三角形的形状为直角三角形．
故答案为：直角.
10．13
【解析】根据题意，得如下示意图：
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD==13.
故本题应填13.
11．直角三角形
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求出OB和OC的长，再求出OB2+BC2=OC2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：∵∠A=∠OCD=90°，OA=2，OD=，AB=BC=CD=1，
∴在Rt△BAO中，由勾股定理得：OB==，
在Rt△DCO中，由勾股定理得：OC==，
∴OB2+BC2=OC2=6，
∴∠OBC=90°，
故答案为：直角三角形．
12．96
【解析】分析：先利用勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理可判断出△ABC是直角三角形，从而根据阴影部分的面积计算即可.
详解：∵∠ADC=90°，
∴，
又∵，
∴∠ACB=90°，
∴阴影部分的面积.
点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形是解答本题的关键.
13．∠BAD=135°.
【解析】分析：连接AC，则△ABC是等腰直角三角形，用勾股定理求出AC，再用勾股定理的逆定理判定∠DAC＝90°.
详解：如图，连接AC，
Rt△ABC中，因为AB＝BC，∠ABC＝90°
所以∠BAC＝45°，由勾股定理得AC＝2；
△ACD中，因为AC2＝4，AD2＝1，CD2＝5，
所以AC2＋AD2＝CD2，所以∠DAC＝90°，
所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°.
故答案为135°.
点睛：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用，直角三角形中已知两边的长，可用勾股定理求第三边的长，三角形中，已知三边的长，可用勾股定理的逆定理判定它是不是直角.
14．甲走了24.5步，乙走了10.5步
【解析】试题分析：设经x秒二人在B处相遇，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数．
试题解析：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB=3x，
甲共行AC+BC=7x，
∵AC=10，
∴BC=7x﹣10，
又∵∠A=90°，
∴BC2=AC2+AB2，
∴（7x﹣10）2=102+（3x）2，
∴x=0（舍去）或x=3.5，
∴AB=3x=10.5，
AC+BC=7x=24.5，
答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．
15．53
【解析】试题分析：
由BC=20、CD=16、BD=12由勾股定理逆定理易证∠BDC=90°，再设AD=x，则AC=AB=AD+BD=12+x，在Rt△ACD中由勾股定理建立方程，解出x的值，即可求得△ABC的周长了.
试题解析：
设AD=xcm ,
∵BD2+CD2=122+162=400，BC2=202=400，
∴BD2+CD2=BC2 ，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC=900 ，∠ADC=900 ，
∴在 Rt△ACD中：AD2+CD2 =AC2 ，
∴x2+162=(x+12)2，解得：x=
∴AB=AC=12+=
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++20=.
点睛：本题解题的要点是由“BC=20、CD=16、BD=12”利用勾股定理的逆定理证得∠BDC=90°，从而得到∠ADC=90°，这样结合AB=AC即可由勾股定理建立方程使问题得到解决.
16．（1）135°（2）
【解析】试题分析： （1）由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=∠ACD=45°，由AC2=AD2+CD2=2×6=12可得AC=2，由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，即可得出所求；
（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，代入计算即可．
解：（）连结，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
（）在中，．
在中，．
∴．
点睛：此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．
17．(1)∠BAD＝135°；（2）四边形ABCD的面积 2+
【解析】试题分析：（1）由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．
（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定△ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD面积之和．
试题解析：
（1）∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC= =2 ，∠BAC=45°，
又∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
故∠DAB的度数为135°．
（2）连接AC，如图所示：
在直角△ABC中，AC为斜边，且AB=BC=2，则AC=,
∵AD=1，CD=3，
∴AC2+CD2=AC2，
即△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°，
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AD×AC=2+.
18．（1）；（2）画图见解析；①△DEF是直角三角形，理由见解析；②2
【解析】试题分析：（1）根据题目设置的问题背景，结合图形进行计算即可；
（2）根据勾股定理，找到DE、EF、DF的长分别为、、，由勾股定理的逆定理可判断△DEF是直角三角形．
解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；
（2）如图所示：
∵DE=，EF=2，DF=，
∴DE2+EF2=DF2，
∴△DEF是直角三角形．
△DEF的面积=．
点睛：本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握．
19．（1）是，理由见解析；（2）， ， ；（3）是直角三角形，理由见解析
【解析】试题分析：（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据给出的数据总结即可；
（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．
试题解析：
解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，
∵32＋42＝52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a＝m2＋n2，b＝2mn，c＝m2－n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2＝（m2＋n2）2＝m4＋2m2n2＋n4，
b2＋c2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝ m4＋2m2n2＋n4，
∴a2＝b2＋c2，
∴a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
点睛：本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
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