1.3 勾股定理的应用同步作业

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1.3勾股定理的应用同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为( )
A、5 B、 C、5或 D、不能确定
2．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高是（ ）
A．3.5 B．2.4 C．1.2 D．5
3．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（　　）
A. 3 m B. 2.5 m C. 2.25 m D. 2 m
4．如图，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD边上任一点，则MC2-MB2等于( )

A 9 B 35 C 45 D 无法计算
5．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够。要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ）
A. 0.7米 B. 0.8米 C. 0.9米 D. 1.0米
6．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
7．有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2 017次后形成的图形中所有正方形的面积和是( 　)
图1 图2
A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018
8．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )
9．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的(　　)
A. 北偏东75°的方向上 B. 北偏东65°的方向上
C. 北偏东55°的方向上 D. 无法确定
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
11．如图，已知圆柱底面的周长为4，圆柱高为2，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
12．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________．
13．如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_______cm .
14．如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是_____（精确到个位）．
15．如图，△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADB的度数是________．
16．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为________ 米．
17．若三角形的三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是______三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”)
三、解答题
18．一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60cm，求它的面积.
19．如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？
20．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求 △ABC的周长和面积．
21．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示．
图1 图2
(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？
(2)求这个零件的面积．
22．给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……
(1)你能发现上式中的规律吗
(2)请你接着写出第五个式子.
23．已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.
24．我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；
（3）请证明你所发现的规律．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：当3和4为直角边时，则x=5；当3为直角边，4为斜边时，则x=.
2．B
【解析】
试题分析：依题意作图，如下图所示：根据题意可证△BDC∽△BCA，所以=，由于AC、BC的值已知，所以只需求出AB的值即可求出斜边上的高CD的值，在直角△ABC，可求出斜边AB的值，进而求出CD的值．
解：如下图所示：△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB===5，
∵∠C=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴=
即：CD=×AC=×4=2.4．
所以，本题应选择B．
3．D
【解析】设竹竿长x米，则水深（x-0.5）米，根据勾股定理可得x2=1.52+（x-0.5）2，解得，x=2.5，所以水深2.5-0.5=2米．故选D．
4．C .
【解析】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.
【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=45．
故选：C
【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.
5．B
【解析】分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
详解：梯脚与墙角距离：＝0.7（米）．
故梯脚应向前移动1.5-0.7=0.8（米）
故选：B．
点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．C
【解析】如图,连接EC,∵FC垂直平分BE,即∠BFC=∠EFC=90°,EF=BF,又∵FC=FC,
∴△BFC≌△CEF（SAS）,∴BC=EC,又∵AD=BC,AE=1,故EC=2,利用勾股定理可得AB=CD=,故选C.
7．D
【解析】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得：a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．推而广之，“生长”了2017次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2018×1=2018．故选D．
点睛：此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．
8．C
【解析】∵， ， ， ， ，
∴， ， ， ， ，
∴A中只有一个直角三角形，B中只有一个直角三角形，C中两个都是直角三角形，D中两个都不是直角三角形.
故选C.
9．B
【解析】试题解析：如图，
∵3002+4002=5002，
∴∠AOB=90°，
∵超市在医院的南偏东25°的方向，
∴∠COB=90°-25°=65°，
∴∠AOC=90°-65°=25°，
∴∠AOD=90°-25°=65°.
故选B．
10．C
【解析】如图所示：
AB＝，故是无理数;
BC=,故是无理数;
AC=,故不是无理数.
所以无理数的边长有2个.
故选C.
11．C
【解析】试题分析：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，
∴AC=2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．
故选A．
12． 6 8 10 勾股定理的逆定理
【解析】试题解析：设三边为3x，4x，5x，
则3x+4x+5x=24，
x=2，
即三角形三边是6，8，10，根据勾股定理的逆定理，
故答案为：6，8，10，勾股定理的逆定理.
13．
【解析】把圆柱展开后如图所示，则AC=5，BC=4，根据勾股定理得AB2=AC2+BC2=52+42=25+16=41，所以AB=，故答案为.
14．43
【解析】做矩形两边的垂线，构造Rt△ABC，利用勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝192＋392＝1882，AB≈43.
15．90°
【解析】试题解析：∵AB=5cm，BC=6cm，AD=4cm，
又∵AD为BC边上的中线，
∴BD=6×=3，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠ADB的度数是90°．
16．15
【解析】如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=9m，OB=12m，
根据勾股定理得AB==15m，
故答案为：15.
17．直角
【解析】根据(a＋b)2－c2＝2ab，整理得： ，根据勾股定理的逆定理，得：此三角形是直角三角形．
故答案：直角.
18．120厘米2
【解析】试题分析：先算出三角形的三边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，最后根据直角三角形的面积公式即可得到结果。
三角形的三边的长分别为:
60×=10厘米，60×=24厘米，60×=26厘米
∵102+242=676=262
∴此三角形是直角三角形，
∴S=×10×24=120厘米2。
点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形．
19．最短路程为360cm
【解析】试题分析：解答此题要先找出所在的长方形，数出小格的个数，再计算．
试题解析：∵每一块地砖的长度为20cm,
∴A、B所在的长方形长为20×4=80cm，宽为20×3=60cm,
cm.
又∵B、C所在的长方形长为20×12=240cm，宽为20×5=100cm,
∴cm.
AB+BC=100+260=360cm.
所以鸽子最少走360cm.
20．周长为48，面积为84．
【解析】试题分析：首先由勾股定理逆定理判断出△ADC为直角三角形，再根据勾股定理计算出BD的长度，从而求出△ABC的周长和面积.
试题解析：
∵CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
∴BD===6，
∴BC=21，
∴C△ABC=10+21+17=48；S△ABC=BC·AD=×21×8=84.
∴△ABC的周长为48，面积为84．
点睛：本题关键在于勾股定理逆定理的运用.
21．(1)这个零件符合要求．理由见解析；（2）36
【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．
解：（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求．
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36．
故这个零件的面积是36．
“点睛”本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
22．(1)(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2(n>1)；(2)352+122=372.
【解析】试题分析：仔细观察式子，发现如下规律：每个式子中第一个底数比连续大于1的自然数的平方小1,第二个加数是连续偶数的平方，计算结果是从2开始的连续自然数的平方与1和的平方.
试题解析： 仔细观察式子，发现如下规律：每个式子中第一个底数比连续大于1的自然数的平方小1,第二个加数是连续偶数的平方，计算结果是从2开始的连续自然数的平方与1和的平方.
可得规律：当时，
第五个式子为：
23．见解析
【解析】试题分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.
试题解析：
证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
24．（1）（48，14，50）；（2）（n2－l，n2，n2＋1）；（3）以n2－1，2n，n2＋l为三边长的三角形为直角三角形．
【解析】试题分析：（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：第n组勾股数为（n2+2n，2n+2，n2+2n+2）；（3）(n2+2n)2+(2n+2)2=n4+4n3+4n2+4n2+8n+4=n4+4n3+8n2+8n+4,
(n2+2n+2)2=n4+4n2+4+4n3+8n+4n2=n4+4n3+8n2+8n+4, (n2+2n)2=(n2+2n+2)2.
试题解析：
（1）第六组勾股数为（48，14，50）；
（2）规律：第n组勾股数为（n2+2n，2n+2，n2+2n+2）；
（3）证明：(n2+2n)2+(2n+2)2=n4+4n3+4n2+4n2+8n+4=n4+4n3+8n2+8n+4,
(n2+2n+2)2=n4+4n2+4+4n3+8n+4n2=n4+4n3+8n2+8n+4,
∴(n2+2n)2=(n2+2n+2)2.
点睛：本题关键在于找出式子变化的规律.
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