22.1.2y=ax2的图象和性质同步作业（含解析）

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22.1.2y=ax2的图象和性质同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（）
A. ±2 B. －2 C. 2 D. 3
2．抛物线y=﹣x2不具有的性质是（　　）
A. 对称轴是y轴 B. 开口向下
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标是（0，0）
3．对于函数，下列结论正确的是 (　　)
A. 随的增大而增大 B. 图象开口向下
C. 图象关于轴对称 D. 无论取何值， 的值总是正的
4．已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
5．抛物线y＝－x2的图象一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限
C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
6．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7．下列说法中错误的是( )
A ．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
8．在同一坐标系中，作y=x2，y=－x2，y=x2的图象，它们的共同特点是（）
A. 抛物线的开口方向向上
B. 都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C. 都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D. 都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
二、填空题
9．若点A（-2，y1），B（-1，y2），C（8，y3）都在二次函数y=ax2(a<0)的图象上，则从小到大的顺序是_________．
10．若抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，则a的取值范围是_____．
11．若二次函数y=m的图象开口向下，则m=____
12．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．
13．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是______.
14．抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是________．
15．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).
①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
三、解答题
16．（本题8分）已知抛物线经过点A(－2，－8).
（1）求的值,
（2）若点P(，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.
17．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
19．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
20．如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求S△COB．
参考答案
1．C
【解析】把点(a，8)代入：y=ax2得：a3=8，解得：a=2.
故选C.
2．C
【解析】分析：根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
详解：A．∵抛物线y=﹣x2的顶点在原点，∴对称轴是y轴，故本选项不符合题意；
B．∵a=﹣1＜0，∴此函数的图象开口向下，故本选项不符合题意；
C．当x＜0时，抛物线在第三象限，y随x的增大而增大，故本选项符合题意；
D．∵抛物线y=﹣x2的顶点在原点，∴顶点坐标是（0，0），故本选项不符合题意．
故选C．
点睛：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2（a≠0）的性质是解答此题的关键．
3．C
【解析】∵在函数中， ，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0.
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的.
故选C.
4．C
【解析】∵抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴是y轴，
∴A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，且当x=0时，y=0，
∴0故选C．
点睛：在二次函数 EMBED Equation.DSMT4 中，（1）当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；（2）当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大.
5．B
【解析】试题分析：抛物线y＝－x2对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，所以必定经过三四象限，故选B.
6．A
【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：
.
故选A.
点睛：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.
7．C
【解析】由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故A正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B正确；
根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而开口最大，故不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，正确.
故选：C.
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2的图像的特点，直接按断即可.
8．D
【解析】在同一坐标系中，作y=x2，y=－x2，y=x2的图象，它们的共同特点是：（1）顶点都在原点：（2）对称轴都是y轴；
故选D.
9．
【解析】∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，开口向下，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，
∴．
故答案是： .
10．a＞2；
【解析】解：∵抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，∴a﹣2＞0，解得：a＞2．故答案为：a＞2．
11．m=－1
【解析】本题考查二次函数性质和二次函数的概念,根据二次函数的概念可得: ,解得,再由二次函数开口向下可得:m<0,因此m=－1.
12． 向下 相同， (0，0) y轴．
【解析】解：抛物线y＝－2x2的开口方向是向下，它的形状与y＝2x2的形状相同，它的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
故答案为：向下；相同； （0，0） ；y轴．
13．（-1，1）和（2，4）
【解析】由题意可得： ，解得： ， .
∴直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是：（-1，1）和（2，4）.
14．a＞b＞c
【解析】试题分析：抛物线图象开口方向由a得正负决定，a为正开口向上，a为负开口向下.抛物线图象开口的大小由 EMBED Equation.DSMT4 决定， 越大，开口越小， 越小，开口越大.所以根据图象可以判断a>0，b<0,c<0, <,所以b>c.故答案为a＞b＞c.
15．②④
【解析】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲 y乙”可知：存在以下3种情况：
（1）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（2）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（3）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是② 、④ ．
16．（1）;(2)
【解析】试题分析：（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2即可求出a的值；
（2）将P（m，﹣6）代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得到点P的坐标．
试题解析：解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2，可得4a=﹣8，即a=﹣2；
（2）∵a=﹣2，∴y=﹣2x2，将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2，得﹣6=﹣2m2，解得m=± ，则点P的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式．
17．(1) a＝－1, b＝－1;
(2) 存在,理由见解析.．
【解析】分析：(1)将点(1，b)代入到直线y = 2x－3，可以得出b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m = n 两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m = n ，然后在n = m － m 中把 m 换为 n ，求出n的值，最后得到m的值，即可得到P的坐标.
本题解析：
(1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1).
点睛：本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.
确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,
已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标
时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通
常设函数解析式为交点式.
18．见解析
【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的。
解：如图所示：
(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．
19．（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析
【解析】试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
试题解析：
（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：
20．（1）y=﹣x+2，y=x2；（2）点C坐标为（﹣2，4）；（3）3．
【解析】试题分析：（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=kx+b，可求直线解析式；将B（1，1）代入抛物线y=ax2可求抛物线解析式；
（2）将（1）中所求的直线AB的解析式与抛物线y=ax2的解析式联立，得到方程组，解方程即可求出点C的坐标；
（3）已知A，B，C三点坐标，根据S△COB=S△AOC﹣S△OAB即可求△COB的面积．
试题解析：
（1）设直线表达式为y=kx+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=kx+b的图象上，
∴，解得 ，，
∴直线AB的表达式为y=﹣x+2；
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x2；
（2）由 ，解得 或，
∴点C坐标为（﹣2，4）；
（3）S△COB=S△AOC﹣S△OAB=×2×4﹣×2×1=3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积．
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