22.1.3 y=a（x-h）2+k的图象和性质同步作业

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22.1.3 y=a（x-h）2+k的图象和性质同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（　　）
A. （3，4） B. （3，﹣4） C. （﹣3，4） D. （﹣3，﹣4）
2．二次函数（　 　）
A. 有最大值1 B. 有最小值1 C. 有最大值3 D. 有最小值3
3．对于二次函数y＝－3(x－8)2＋2，下列说法中，正确的是(　　)
A. 开口向上，顶点坐标为(8，2) B. 开口向下，顶点坐标为(8，2)
C. 开口向上，顶点坐标为(－8，2) D. 开口向下，顶点坐标为(－8，2)
4．已知二次函数y=3（x﹣2）2+5，则有（　　）
A. 当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 B. 当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C. 当x＞2时，y随x的增大而减小 D. 当x＞2时，y随x的增大而增大
5．对于二次函数的图像，给出下列结论:①开口向上;②对称轴是直线;③顶
点坐标是;④与轴有两个交点.其中正确的结论是( )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④
6．已知二次函数有最大值0，则a,b的大小关系为（ ）
A. ＜ B. C. ＞ D. 大小不能确定
7．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的图象可能是
A. B. C. D.
8．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　 ）
A. 3﹣或1+ B. 3﹣或3+ C. 3+或1﹣ D. 1﹣或1+
二、填空题
9．函数的最小值是__________．
10．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1_____y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
11．已知函数为常数),当<时,随的增大而减小,则的取值范为______．
12．若抛物线y=(x-m)+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为________.
13．已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣2（a≠0）的图象在﹣1＜x＜0这一段位于x轴下方，在3＜x＜4这一段位于x轴的上方，则a的值为　 　．
14．把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是_____．
15．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4
④2AB=3AC．
其中正确结论是______．
三、解答题
16．已知二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3），且图象过点（﹣3，﹣1），求这个二次函数的解析式．
17．把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1的图象.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
18．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ；
(2)确定a的值；
(3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
19．在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当﹣3＜x＜3时，函数值y的增减情况；
（3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点．
20．已知：抛物线．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
21．如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）
（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】∵y=2（x+3）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），
故选：D．
2．D
【解析】解：∵a=1＞0，∴二次函数有最小值3．故选D．
3．B
【解析】∵-3<0,
∴开口向下.
∵解析式是：y＝－3(x－8)2＋2，
∴顶点坐标为(8，2).
故选B.
点睛：本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；其顶点坐标是(h，k).
4．D
【解析】试题解析：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），
∴A、B、C都不正确，
∵二次函数的图象为一条抛物线，当时，y随x的增大而增大
∴D正确，
故选D．
5．D
【解析】分析：根据二次函数的顶点式，可知对称轴为x=h，顶点为（h，k），然后由系数a和k判断开口方向和与x轴的交点.
详解：∵a=1＞0
∴开口向上，①正确；
∵x-3=0
∴对称轴为x=3，②错误；
∴顶点坐标为：（3，-4），故③错误；
∴在第四象限，
所以与x轴有两个交点.故④正确.
故选：D.
点睛：此题主要考查了二次函数的顶点式以及顶点式中系数与图像的关系，关键是明确顶点式中的系数a、h、k的值及符号，注意结合图像判断.
6．A
【解析】【分析】根据二次函数有最大值可判断a＜0，再根据最大值为0可判断b=0，据此即可进行比较a、b的大小．
【详解】∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最大值，
∴抛物线开口方向向下，即a<0，
又最大值为0，∴b=0，
∴a故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
7．B
【解析】二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的顶点坐标为（h，k），它的开口方向向下，故选B．
8．C
【解析】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值-5，
可得：-（1-h）2+1=-5，
解得：h=1-或h=1+（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值-5，
可得：-（3-h）2+1=-5，
解得：h=3+或h=3-（舍）．
综上，h的值为1-或3+，
故选：C．
点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．
9．-2
【解析】分析：由二次项系数的正负，根据二次函数的性质即可得出其最值情况．
详解：在函数y=中，∵a=＞0，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2．
故答案为：﹣2．
点睛：本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
10．＞
【解析】∵y=2（x﹣3）2+5，
∴a=2＞0，有最小值为5，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=2（x﹣3）2+5对称轴为直线x=3，
∵x1＞x2＞4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
点睛:本题考察了二次函数的图像和性质，当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
11．m≤3
【解析】分析: 根据y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，可得答案．
详解: ，
∵a=2＞0，对称轴x=3
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
∴m≤3.
故答案为：x≤3．
点睛: 本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
12．m＞0
【解析】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+（m+1），∴顶点坐标为（m，m+1）．∵顶点在第一象限，∴m＞0，m+1＞0，∴m的取值范围为m＞0．故答案为：m＞0．
13．．
【解析】试题分析：∵抛物线y＝a(x﹣1)2﹣2（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
而抛物线在3＜x＜4这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在﹣1＜x＜0这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y＝a(x﹣1)2﹣2（a≠0）得4a﹣2＝0，解得a＝．
故答案为．
点睛：本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性得出图象经过点（－1，0）是解决此题的关键．
14．y=﹣（x+3）2+2
【解析】
试题分析：根据二次函数的平移的规律：上加下减，左加右减，直接可得y=-x 平移后的图像为：y=-（x+3） +2.
点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”，分别对函数的横纵坐标进行变化，直接代入即可求解，解题时一定要注意平移的方向，以及关系式中的符号变化.
15．①④
【解析】（1）∵抛物线y2=（x﹣3）2+1的开口向上，顶点在x轴上方，
∴y2的值总是正数.故①正确；
（2）把点A（1，3）代入y1=a（x+2）2﹣3得：3=a(1+2)2-3，解得：a=，
∴②错误；
（3）∵当时， ， ，
∴.
∴③错误；
（4）∵在中，当时，可得，解得： ，∴点B的坐标为（-5，3）；
∵在中，当时，可得，解得： ，
∴点C的坐标为（5，3）；
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC.
∴④正确；
综上所述：正确的是①④.
16．y=2（x+2）2﹣3
【解析】【试题分析】已知顶点坐标，设成顶点式y=a（x+2）2﹣3，将（﹣3，﹣1）代入即可.
【试题解析】
设解析式为：y=a（x+2）2﹣3，
将（﹣3，﹣1）代入得出：﹣1=a（﹣3+2）2﹣3，
解得： a=2．
故这个二次函数的解析式为：y=2（x+2）2﹣3
【方法点睛】本题目是一道求解二次函数的解析式问题，已知顶点就设为顶点式简便.
17．（1）a=，h=1，k=-5；（2）开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，-5).
【解析】试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；
（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.
试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1，
∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，
而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y= (x-1)2-5，
∴a=，b=1，k=-5；
（2）二次函数y= (x-1)2-5，
开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.
18．（1）(－3，0),(1，0) ；(2) a＝－ ;（3）4.
【解析】试题分析：（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐标；
（2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积．
试题解析：(1)由图象可知A点坐标为( 3，0)，
∵y=a(x+1)2+2，
∴抛物线对称轴方程为x= 1，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为(1，0)，
故答案为：( 3，0)；(1，0)；
(2)将(1，0)代入y＝a(x＋1)2＋2，
可得0＝4a＋2，解得a＝－ ;
(3)∵y＝a(x＋1)2＋2，
∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，
∵A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB＝1－(－3)＝4，
∴S△PAB＝×4×2＝4.
19．（1）y=（x﹣1）2﹣4;（2）当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小，当1≤x＜3，y随x的增大而增大;（3）将抛物线y=（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点．
【解析】试题分析：
（1）由已知条件可设二次函数的解析式为： ，再代入点（3，0）解出a的值即可得到二次函数的解析式；
（2）由（1）中所求解析式可得第（2）问答案；
（3）根据（1）中所得解析式可确定原来顶点的位置，这样就可确定怎样平移可将顶点移到原点了.
试题解析：
（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），
∴可设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
又∵二次函数图象过点B（3，0）
∴a（3﹣1）2﹣4=0，解得：a=1，
∴y=（x﹣1）2﹣4
（2）∵抛物线对称轴为直线x=1，且开口向上，
∴当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小；当1≤x＜3，y随x的增大而增大，
（3）将抛物线y=（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点．
点睛：（1）当已知抛物线的顶点坐标，求解析式时，一般把解析式设为顶点式： 的形式；（2）本题中顶点的横坐标x=1在﹣3＜x＜3内，因此要分为：①﹣3＜x＜1和②1≤x＜3两段来讨论函数值y的增减情况；（3）将抛物线进行平移时，“h”的值是“左移加，右移减”；“k”的值是“上移加，下移减”.
20．解：（1）抛物线，
∵a= ＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为x=1；
（2）∵a=＞0，
∴函数y有最小值，最小值为－3；
（3）令x=0，则 ，
所以，点P的坐标为（0， ），
令y=0，则，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），
当点P（0， ），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 k=， b= ，
所以直线PQ的解析式为 ，
当P（0， ），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，
则 ，解得 m= ， n=- ，
所以，直线PQ的解析式为，
综上所述，直线PQ的解析式为或．
【解析】（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；
（2）根据a是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；
（3）分别求出点P、Q的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答．
21．（1）A（﹣1，0），B（3，0）;（2）存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
【解析】试题分析：
（1）由二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标为M（1，﹣4）可得解析式为： ，解方程： 可得点A、B的坐标；
（2）设点P的纵坐标为，由△PAB与△MAB同底，且S△PAB=S△MAB，可得： ，从而可得=，结合点P在抛物线的图象上，可得=5，由此得到： ，解方程即可得到点P的坐标.
试题解析：
（1）∵抛物线解析式为y=（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）
∴，
当y=0时，（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB=S△MAB，
∴，即=，
又∵点P在y=（x﹣1）2﹣4的图象上，
∴yP≥﹣4，
∴=5，则，解得： ，
∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
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