22.1.4 y=ax2+bx+c的图象和性质同步作业

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22.1.4 y=ax2+bx+c的图象和性质同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ）
A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （﹣2，1） D. （2，﹣1）
2．用配方法将化成的形式为（ ）
A. B.
C. D.
3．对二次函数y＝3x2－6x的性质及其图象，下列说法不正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴为直线x＝1 C. 顶点坐标为（1，－3） D. 最小值为3
4．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，－3)，则代数式1＋a＋b的值为(　　)
A. －3 B. －1 C. 2 D. 5
5．下列关于抛物线的描述不正确的是（ ）
A. 对称轴是直线x= B. 函数y的最大值是
C. 与y轴交点是（0，1） D. 当x=时，y=0
6．若二次函数的图像是开口向上的抛物线，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+ ，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y2＜y1＜y3
二、填空题
9．已知二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1的图象顶点在x轴上，则a=_____________．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有____________。
11．若二次函数的图象经过点（-1,0），（1，-2），当随的增大而增大时，的取值范围是____________。
12．二次函数y＝2x2－4x＋5通过配方化为顶点式为y＝____，其对称轴是_____，顶点坐标为_____．
13．对于二次函数，当时的函数值与时的函数值相等时， __________．
14．二次函数 的图象经过原点，则a的值为______ ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是_____．
三、解答题
16．用配方法把二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
18．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
19．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．
20．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
21．如图，抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
参考答案
1．A
【解析】由原方程，得
y=（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故选A．
2．B
【解析】试题解析：
故选B.
3．D
【解析】试题解析：A. 二次函数开口向上，正确.
B.对称轴正确.
C.当时， 顶点坐标为： 正确.
D.二次函数的最小值为： 错误.
故选D.
4．B
【解析】试题解析：二次函数的图象经过点
把点代入二次函数的解析式，得：
故选B.
5．B
【解析】试题解析：
函数的最大值是B选项错误.
故选B.
点睛：求二次函数的对称轴和顶点坐标可以用配方法也可以用公式法.
6．D
【解析】分析：根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
详解：∵二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴2﹣m＞0，解得：m＜2．
故选D．
点睛：本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下”是解题的关键．
7．D
【解析】分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
详解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x= ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于＜2＜，
且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），
∵＜，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵ =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴-＜a＜-，故④正确
故选：D．
点睛：本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
8．C
【解析】分析：根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
详解：∵y=﹣x2+4x+c=－（x-2）2+c－9，∴图象的开口向下，对称轴是直线x=2，C（2+ ，y3）关于直线x=2的对称点是（2－，y3）．
∵﹣1＜2－＜1，∴y2＜y3＜y1．
故选C．
点睛：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答此题的关键．
9．2
【解析】二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1=-（x2-ax+）+-a+1=-(x-)2+，
则二次函数的顶点坐标为（， ），
由二次函数的顶点在x轴上，
则=0，解得a=2.
故答案为2.
10．③④
【解析】根据图象可得a＞0，c＜0，对称轴为直线x=-＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x=1，
∴-=1，∴b+2a=0，故①错误；
②∵a＞0，-＞0，∴b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；
③∵当x=-1时，y=0,即a-b+c=0，∴c=b-a，
∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，又由①得b=-2a，
∴a-2b+4c=-7a＜0，故③正确；
④由图知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，
又由①知b=-2a，∴8a+c＞0.故④正确.
故答案为③④．
11．x>
【解析】将（-1,0），（1，-2）代入函数解析式得解得
则函数解析式为y=x2-x-2=（x-）2-，
根据抛物线性质可知当x>时，函数值y随x的增大而增大.
故答案为x>.
点睛：对于抛物线y=ax2+bx+c，若a>0，当x>-时，函数值y随x的增大而增大；当x<-，函数值y随x的增大而减小；若a<0，当x>-时，函数值y随x的增大而减小；当x<-，函数值y随x的增大而增大.
12． 2(x－1)2＋3 x=1 (1，3)
【解析】【分析】可通过将二次函数y＝2x2－4x＋5化为顶点式，再依次判断对称轴、顶点坐标．
【详解】二次函数y＝2x2－4x＋5化为顶点式为2(x－1)2＋3，所以，其对称轴是x=1，顶点坐标为(1，3)．
故答案为：
【点睛】本题全面考查了二次函数的性质，涉及面广，关键应掌握配方方法．
13．5
【解析】已知二次函数，当时的函数值与时的函数值相等，由此可得二次函数图象的对称轴为，即，可得．
14．-1
【解析】∵二次函数 的图象经过原点，
∴ ，解得：.
故答案为：-1.
点睛：二次函数的图象过原点需同时满足两个条件：（1）；（2）.
15．﹣2
【解析】分析：根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（-，-），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
详解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（-，-）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴-=a（-）2，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为：-2．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．
16．抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．
【解析】试题分析：用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
试题解析：
∵y＝x2－4x＋5＝ (x－4)2－3，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．
17．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．
【解析】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
试题解析：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；
（2）列表得：
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -5 0 3 4 3 0 -5 …
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
18．（1）y=x2-2x-3 （2）开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标（1，-4）
【解析】试题分析：已知抛物线上三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；进而可根据函数的解析式求出抛物线的开口方向，及对称轴方程与顶点坐标（用配方法或公式法求解均可）．
试题解析：（1）把（-1，0），（0，-3），（2，-3）代入y=ax2+bx+c，
得：
解得： ，
则抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4）．
19．(1) ﹣≤y≤12;(2) P的坐标为（1，0）.
【解析】分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后利用一次函数增减性得出即可．
（2）根据题意得出n=1-m，联立方程，解方程即可求得．
详解：将（1，0），（0，2）代入y=x2+bx+c得：
，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y=x2-3x+2=（x-）2-；
把x=-2代入y=x2-3x+2得，y=12，
∴y的取值范围是-≤y≤12．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=m2-3m+2，
∵m+n=1，
∴m2-2m+1=0，
解得m=1，n=0，
∴点P的坐标为（1，0）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
20．(1) y=﹣（x﹣1）2+4; (2)6.
【解析】分析：（1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；
（2）抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．
详解：（1）将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，解得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3．
∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，∴CD=1．
∵A（﹣1，0），∴B（3，0），即OB=3，则S梯形COBD==6．
点睛：本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
21．（1）顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣，）
【解析】分析：(1)、将点A的坐标代入函数解析式求出b的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标；(2)、根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标，然后分别求出AC、BC和AB的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出答案；(3)、由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，则BC与对称轴的交点就是点M，根据一次函数的交点求法得出点M的坐标．
详解：(1)、∵点A（1，0）在抛物线y=﹣x2+bx+2上，∴﹣+b+2=0，解得，b=﹣，
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，
则顶点D的坐标为（﹣，）；
(2)、△ABC是直角三角形，
证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2， ﹣x2﹣x+2=0， 解得，x1=﹣4，x2=1，
则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4， ∴AB=5，
由勾股定理得，AC=，BC=2， AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形；
(3)、由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，
连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b，
由题意得，， 解得，， 则直线BC的解析式为：y=x+2，
当x=﹣时，y=， ∴当M的坐标为（﹣，）．
点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数的交点坐标，属于中等难度的题型．待定系数法求函数解析式是解决这个问题的关键．
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