22.1.4 待定系数法求二次函数解析式同步作业

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22.1.4 待定系数法求二次函数解析式同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的图象经过三点，则它的解析式为
A. B. C. D.
3．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）
A. y=（x﹣2）2+3 B. y=（x﹣2）2﹣3
C. y=﹣（x﹣2）2+3 D. y=﹣（x﹣2）2﹣3
4．如图，抛物线的表达式是( )
A. y＝x2－x＋2 B. y＝x2＋x＋2 C. y＝－x2－x＋2 D. y＝－x2＋x＋2
5．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　）
A. y=﹣2x2+8x+3 B. y=﹣2x 2﹣8x+3 C. y=﹣2x2+8x﹣5 D. y=﹣2x 2﹣8x+2
6．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（　　）
A. y=﹣x2﹣2x﹣3 B. y=x2﹣2x﹣3 C. y=x2﹣2x+3 D. y=﹣x2+2x﹣3
7．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为( )
A. y＝－x2＋2x＋4 B. y＝－ax2－2ax－3(a＞0)
C. y＝－2x2－4x－5 D. y＝ax2－2ax＋a－3(a＜0)
二、填空题
8．若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0,－3）.则这个二次函数的表达式为__．
9．若抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为________．
10．与抛物线关于轴对称的抛物线解析式是__________．
11．请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是_____．
12．已知二次函数的图象经过原点及点（-2，-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为___________
13．抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=1：2：3，y最小值为6，则此抛物线的解析式为_______．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为__________．
三、解答题
15．已知抛物线的对称轴为x=2，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表达式。
16．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线相同，求这个函数解析式。
17．己知抛物线经过点，，．求此抛物线的解析式．
18．已知：抛物线经过、两点，顶点为A．
求： 抛物线的表达式；
顶点A的坐标．
19．已知抛物线经过点A（－2，8）.
（1）求此抛物线的函数解析式，并写出此抛物线的对称轴；
（2）判断点B（－1，－4）是否在此抛物线上.
20．已知抛物线y＝ax2＋bx经过(2，0)，(－1，6)．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求当横坐标取﹣3和1时所对应的函数值；
（3）根据（2）计算，直接写出当x的值在什么范围时，所对应的函数值大于0．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：根据抛物线的平移规律可得：把抛物线向下平移2个单位，得，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是，故选：D．
2．D
【解析】设该二次函数的解析式为：，则由已知条件可得：
，解得： ，
∴该二次函数的解析式为：.
故选D.
3．C
【解析】抛物线开口向下，顶点是（2,3），所以y=﹣（x﹣2）2+3，选C.
点睛：
求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与x轴的两个交点 (，利用双根式，y= （）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, .
(3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式.
其中a决定开始方向和大小,顶点坐标是（h,k）,对称轴方程是x=h.
（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解.
(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同 (，则可以得到对称轴方程.
4．D
【解析】解设y= , （）由图知
y= ,把（0,2）代入方程，
解得 a=-1,
y==,选D.
5．C
【解析】根据题意,设y=a(x 2)2+3，抛物线经过点(3，1)，所以a+3=1，a= 2.
因此抛物线的解析式为：y= 2(x 2)2+3= 2x2+8x 5.
故选：C.
6．B
【解析】试题分析：把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
解：把(3,0)与(2, 3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴,得到=1，即b= 2a，
代入方程组得： ，
解得：a=1，b= 2，c= 3，
则抛物线解析式为y=x2 2x 3，
故选B.
7．D
【解析】试题解析：抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，5），故选项错误；
B、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3a-3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确．
故选D．
8．y=﹣x2﹣3
【解析】分析：根据二次项系数和顶点坐标，直接写出抛物线的解析式；
解：∵抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为（0，-3），
∴抛物线的顶点式为y=-（x－0）2-3,即y=-x2-3;
故答案是y=-x2-3。
9．y=x2﹣2x﹣8
【解析】分析：由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=（x+2）（x-4），然后变形为一般式即可．
详解：抛物线的解析式为y=（x+2）（x-4），即y=x2-2x-8，
故答案为：y=x2-2x-8
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
10．
【解析】分析：把原抛物线解析式转化为顶点式形式，求出顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出描出的抛物线的顶点坐标，然后根据描出的抛物线与原抛物线形状相同，开口方向向下写出解析式即可．
详解：∵，
∴顶点，
∴顶点关于轴，对称点为且开口向下，
∴．
故答案为：.
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，关键是求出关键点—顶点的对称坐标，然后根据对称性求出函数的解析式，是常考题.
11．y=﹣x2﹣1等（答案不唯一）
【解析】分析：设二次函数解析式为y=ax2+c，将（1，-2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．
详解：∵对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y=ax2+c，
将（1，-2）代入解析式，得a+c=-2，
不防取a=-1，c=-1，得解析式为y=-x2-1，答案不唯一．
故答案为：y=-x2-1等（答案不唯一）．
点睛：此题考查了二次函数的性质，要熟悉对称轴公式、二次函数成立的条件，要注意此题具有开放性，答案不唯一．
12．或
【解析】∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，
∴这个交点坐标为（-4，0）、（4，0），
设二次函数解析式为，
①当这个交点坐标为（-4，0）时，
解得
所以二次函数解析式为
②当这个交点坐标为（4，0）时，
解得
所以二次函数解析式为
综上所述，二次函数解析式为或．
故答案为： 或
点睛：根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，这个交点坐标有（-4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式进行解答．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．
13．y=3x2+6x+9
【解析】因为a:b:c=1:2:3,则抛物线的解析式,根据顶点坐标公式可得:y的最值为,则可得: ,解得 (舍去),所以抛物线的解析式为: ,故答案为: .
14．y=-0.5x+2x-2.5
【解析】∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(5，0)，
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点( 1，0)，
设抛物线的解析式为y=a(x x1)(x x2)(a≠0)，
即：y=a(x+1)(x 5)，
把(1，4)代入得：4= 8a，
∴a= .
∴抛物线的解析式为：y= x2+2x+.
故答案为：y= x2+2x+.
15．
【解析】试题分析：根据题意，对称轴为直线x=2，图象经过点（5，0），根据抛物线的对称性，可知图象经过另一点（-1，0），设抛物线的交点式y=a（x+1）（x-5），把点（1，4）代入即可．本题也可以由对称轴为直线x=-=2，再将两点坐标代入，求解三元一次方程组.
解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5,0），
可知抛物线与x轴另一交点为（-1,0），
则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
将点（1,4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=-，
则抛物线解析式为y=-（x+1）（x-5）=-x2+2x+.
16．或
【解析】试题分析：首先设二次函数的解析式为：，然后根据题意得出，从而得出二次函数的解析式．
试题解析：设二次函数的解析式为：，
∵形状与抛物线相同， ∴，
∴二次函数的解析式为：或．
17．
【解析】试题分析：用待定系数法求抛物线的解析式即可.
试题解析：
∵抛物线经过，，，
∴设为，
∵过点，
∴，
∴，
∴，
．
18．(1) (2)
【解析】试题分析：（1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式；
（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可．
试题解析：
把、代入，
解得．
故抛物线的解析式为；
(2)
=
，
所以顶点A的坐标为．
19．（1）抛物线的函数解析式为,对称轴为直线；
（2）点B（－1，－4）不在此抛物线上，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）把A（－2，8）代入，即可求出b的值，再根据对称轴公式，求出对称轴；
（2）把B（－1，－4）代入，若左右两边的值相等，则点在函数图像上，反之则不在函数图像上.
解：（1）将点A（－2，8）代入
得
解得
∴抛物线的函数解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
（2）当时，
∴点B（－1，－4）不在此抛物线上。
20．(1)y＝2x2－4x.
(2)开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标(1，－2)．
【解析】试题分析：（1）把二次函数图像经过的两个点代入到函数解析式求出a、b的值；（2）根据a是正数，确定开口向上，把抛物线解析式整理成顶点式，然后写出对称轴和顶点坐标即可.
（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象经过点(2，0)，(-1，6)
∴4a+2b=0，a-b=6，
解得a=2，b=-4，
所以，抛物线解析式为y=2x2-4x；
(2) 2）∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y=2x2-4x=2（x-1）2-2，
∴对称轴x=1，顶点坐标（1，-2）．
21．（1）y=-（x+1）2+4；（2）0；（3）-1【解析】试题分析：（1）已知顶点A（﹣1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4，再代入点B求出a即可；（2）将x=-3和x=1分别代入函数求出y值即可；（3）根据（2）求出的结果可知x=-3和x=1时，y=0，再根据a的值得出抛物线开口方向，即可判断y>0时x的取值范围.
解：（1）已知顶点A（﹣1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入，得-5= a（2+1）2+4，解得a=-1，
则函数解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3；
（2）当x=-3时，y=-（-3+1）2+4=0，当x=1时，y=-（1+1）2+4=0；
（3）由x=-3和x=1时，y=0，且a=-1<0，即抛物线开口向下，
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