22.2.1 抛物线与x轴的交点同步作业

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22.2.1抛物线与x轴的交点同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则的方程的实数根为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
2．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是(　　)
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
3．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（　　）
A. 2019 B. 2018 C. 2017 D. 2016
4．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. (1,0) B. (-1,0) C. (0,-1) D. (0,1)
5．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（　　）
A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数解，则k的最小值为( )
A. -4 B. -6 C. -8 D. 0
7．关于x的方程(x-3)(x-5)=m(m>0)有两个实数根，( < )，则下列选项正确的是（ ）
A. 3<<<5 B. 3<<5< C. <2< <5 D. <3且 >5
8．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋3的图象与x轴正半轴交于B、C两点，BC＝2，则b的值为（ ）
A. 4 B. －4 C. ±4 D. －5
二、填空题
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与____的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个____．
10．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为 ______．
11．二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为________．
12．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．
13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是_____．
14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是__________．
15．已知抛物线y=x2+px+q与x轴的正半轴交于点A（x1，0）和B（x2，0）两点，x1，x2均为整数，且x1≠x2，p+q=8，则x12+x22=______．
三、解答题
16．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
17．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A， B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
18．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
19．已知二次函数（为常数）.
（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；
（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？
20．已知二次函数y＝－x2＋3x－2图像交x轴于点A、B （点A在点B左侧），交y轴于点C.
（1）写出这个二次函数图像开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求△ABC面积S.
21．如图，已知抛物线y1=x2-2x-3与x轴相交于点A，B(点A在B的左侧)，与y轴相交于点C，直线y2=kx+b经过点B，C．
（1）求直线BC的函数关系式；
（2）当y1>y2时，请直接写出x的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】分析：二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到结论．
详解：
∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选A．
点睛：考查了二次函数与x轴的交点问题、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解，解题的关键是根据点（－2，0）在二次函数y=ax2+1的图象上得出a的值.
2．A
【解析】因为b2-4ac=（-1）2-4×(-2)×2＞0，所以抛物线与x轴有两个交点，又抛物线与y轴有一个交点，所以抛物线与坐标轴共有3个交点，故选A.
3．B
【解析】将（a，0）代入y=x2﹣2x﹣1，
∴a2﹣2a﹣1=0，
把a2﹣2a=1代入a2﹣2a+2017，
∴原式=1+2017=2018，
故选B．
4．D
【解析】试题分析：与y轴的交点就是当x=0时y的值，将x=0代入函数解析式可得：y=1，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)，故选择D．
5．C
【解析】当x=0时，y=1，
则与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时，x2﹣2x+1=0，
△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y=x2﹣2x+2与x轴有1个点．
综上所述，抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是2个．
故选：C．
6．A
【解析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y= k有交点，
由图可得， k≤4，
∴k≥ 4，
∴k的最小值为 4.
故选A.
7．D
【解析】分析：根据平移可知：将抛物线y=（x-3）（x-5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x-3）（x-5）-m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．
详解：将抛物线y=（x-3）（x-5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x-3）（x-5）-m，
画出函数图象，如图所示．
∵抛物线y=（x-3）（x-5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x-3）（x-5）-m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），
∴<3且 >5．
故选：D．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
8．B
【解析】【分析】设C（m，0），B（n，0），则n-m=2，根据抛物线与x轴的交点问题得到m、n为方程x2+bx+3=0的两根，则利用根与系数的关系得到m+n=-b，mn=3，由于（n-m）2=4，则（m+n）2-4mn=4，即b2-4×3=4，然后解关于b的方程即可．
【详解】设C（m，0），B（n，0），则m-n=2，
∵m、n为方程x2+bx+3=0的两根，
∴m+n=-b>0，mn=3，
∵（n-m）2=4，
∴（m+n）2-4mn=4，
∴b2-4×3=4，解得b=4（舍去）或b=-4，
即b的值为-4，
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
9． x轴 根
【解析】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，故答案为(1).x轴；(2).根
10．(－3，0)，(2，0)
【解析】令y=0，2(x＋3)(x－2)=0，x=-3或2，所以抛物线与x轴交点坐标分别为(－3，0)，(2，0).
点睛：要求二次函数与x轴的交点坐标，令y=0，求出对应的x写出交点坐标即可；要求二次函数与y轴的交点坐标即令x=0，求出y写出交点坐标即可.
11．3
【解析】∵抛物线y=x2+4x+3=（x+1）（x+3），
∴它与坐标轴的三个交点分别是：（-1，0），（-3，0），（0，3），
∴该三角形的面积为。
故答案是3.
12．-16
【解析】试题解析：当时，有
解得：
∴抛物线与x轴的两个交点分别为和
∵两个交点之间的距离为4，
∴
解得：
故答案为：
13．（﹣3，0）
【解析】∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．
故答案为：（﹣3，0）．
14．，
【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．
详解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1，
故答案为x1=-2，x2=1．
点睛：本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题
15．104
【解析】分析：由图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，就相当于方程x2+px+q=0两个根分别为x1，x2，由两根关系求解即可．
详解：∵抛物线y=x2+px+q与x轴的正半轴交于点A（x1，0）和B（x2，0）两点，
∴x1＞0，x2＞0，
∴x1x2=q＞0，x1+x2=﹣p＞0．
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣p）2﹣2q=p2﹣2（8﹣p）=p2+2p﹣16=（p+1）2﹣17＞0，
∴p+1＜﹣4
∴p＜﹣5，
∵x1，x2均为整数，且x1≠x2，p+q=8，
∴p=﹣6，q=14，或p=﹣7，q=15或p=﹣8，q=16或p=﹣10，q=18或p=﹣12，q=20，
只有p=﹣12，q=20时，符合题意，
∴x12+x22=（p+1）2﹣17=（﹣12+1）2﹣17=104．
故答案为104．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点.注意使用一元二次方程根与系数的关系求解关于两根的问题.
16．抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【解析】分析：把（0，-3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y=0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
详解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
点睛：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．
17．（1）抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；（2）S△ABC=3．
【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入二次函数中，求得的值，进而可得到抛物线的表达式；
（2）根据（1）中得到的抛物线的解析式，分别令求得点的坐标；
再利用三角形的面积公式列式计算，即可完成解答.
试题解析：（1）将代入，得
解得
故抛物线的表达式为
（2）∵抛物线的表达式为
当 时， 即就是
解得
当时，
18．（1）抛物线的对称轴x=，顶点坐标为（，）；（2）抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
【解析】试题分析：（1）把二次函数y=-2x2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；
（2）令x=0可求图象与y轴的交点坐标，令y=0可求图象与x轴的交点坐标；
（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴x=，顶点坐标为（，）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，解得x=2或，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
19．（1）证明见解析；（2）时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.
【解析】分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标，,即可得出答案;
(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.
详解：
（1）证明：当时，.
解得，.
当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.
所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.
（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.
当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.
20．(1) 图像开口向下。对称轴为直线x=,顶点坐标为（，）;(2)1
【解析】分析：（1）根据 可知抛物线开口向下，配方成顶点式即可得到对称轴和顶点坐标.
（2）令求出A,B两点的坐标，令 求得点的坐标，即可求得△ABC面积S.
详解：(1)
图象开口向下;
对称轴为直线x=,顶点坐标为（，）.
（2）对于
当y=0时，
解得
∴点A（1,0），点B（2,0），
又∵点C坐标为
∴S=×1×2=1
点睛：考查二次函数的图象与性质，熟练掌握配方法是解题的关键.
21．（1）y=x-3；（2）当y1>y2时，x＜0和x＞3.
【解析】分析：（1）根据抛物线的解析式求出A、B、C的解析式，把B、C的坐标代入直线的解析式，即可求出答案；
（2）根据B、C点的坐标和图象得出即可．
详解：（1）抛物线y1=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
当y=0时，x=3或1，
即A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，-3），
把B、C的坐标代入直线y2=kx+b得：
，
解得：k=1，b=-3，
即直线BC的函数关系式是y=x-3；
（2）∵B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，-3），如图，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3．
点睛：本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数与一次函数的图象等知识点，能求出B、C的坐标是解此题的关键．
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