22.2.2 图象法求一元二次方程的近似根同步作业

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22.2.2图象法求一元二次方程的近似根同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．根据下列表格对应值：
判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A. ＜3.24 B. 3.24＜＜3.25 C. 3.25＜＜3.26 D. 3.25＜＜3.28
2．已知二次函数的对称轴是直线x=﹣1及部分图像（如图所示），由图像可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和（ ）
A. ﹣1.3 B. ﹣2.3 C. ﹣3.3 D. ﹣4.3
3．二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）．
A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞3
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）.
A. B. C. D.
5．小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( )
x 1.5 2 2.5 3 3.5
x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25
A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间
6．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A. x2＋3x－1＝0 B. x2＋3x＋1＝0 C. 3x2＋x－1＝0 D. x2－3x＋1＝0
7．已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是(　　)
A. x1＝1，x2＝2 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝－1，x2＝2 D. x1＝－1，x2＝3
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
9．二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1，0)、B(x2，0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是_____．
10．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是__________．
11．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
12．若二次函数y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点，则c的最大值是________.
13．的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是x1=1.3和x2=__．
14．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是_____．
15．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为_____________________．
三、解答题
16．已知抛物线的对称轴是直线，
（1）求证： ；
（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．
17．抛物线与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）①当x取什么值时， ？ 当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
18．抛物线经过点、两点．
（1）求抛物线顶点D的坐标；
（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积．
19．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
20．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
21．根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式的解集的过程：
① 构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=的图象（只画出大致图象即可）；
② 求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为　　　　　　　 ；并用虚线标示出函数y=图象中＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式＜0的解集为 ．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式-3≥0的解集．
参考答案
1．D
【解析】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．
故选B．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．
2．C
【解析】根据二次函数的图象和性质进行求解.
由于函数关于对称轴对称，方程一根为1.3可知另一根－1－x2＝1.3－（－1），∴x2＝－3.3.
故选C．
3．A
【解析】解： 经观察图像可以得出：当y＜0时，函数图像位于x轴的下方，此时自变量x的取值范围是－1＜x＜3
4．A
【解析】分析：根据图象可知，该二次函数的对称轴x=2，其中一个点的坐标为（5，0），则根据二次函数图象的对称性，求出与x轴的另一点坐标，即（-1，0）；接下来根据图象求出ax2+bx+c＞0，即y＞0时x的取值范围，即可得到不等式的解集.
详解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）.
利用图象可知：ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0是x的取值范围，
∴-1＜x＜5.
故选A.
点睛：本题主要考查了二次函数的图像与性质，利用二次函数图象解一元二次不等式，从二次函数图象中获取信息是解答本题的关键.
5．C
【解析】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间.
故选C.
点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间.
6．A
【解析】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解
故选A.
7．D
【解析】【分析】将(－1，0)代入y＝x2－2x＋m即可求出m的值,将m的值代入得x2－2x-3=0,再求出方程的两个根即可.
【详解】将(－1，0)代入y＝x2－2x＋m得, ,
解得,
则得方程为: x2－2x-3=0,
解得,
,.
所以D选项是正确的.
故选：D.
【点睛】本题考核知识点：本题考查了抛物线与x轴的交点,要知道,抛物线上的点符合函数的解析式,同时要知道一元二次方程的解法.
8．B
【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），根据顶点坐标公式可求得b=4a，c=-5a，从而可得抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，然后根据二次函数的性质一一判断即可．
【详解】∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣=﹣2，=﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键.
9．（-，-）
【解析】【分析】根据一元二次方程x2+ax+a=0的根与系数的关系得到将其代入x1+x2-x1x2=-10可以求得a的值；然后把二次函数解析式转化为顶点式，根据解析式直接写出顶点坐标．
【详解】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-a，x1x2=a，
∴由x1+x2-x1x2=-10，得
-a-a=-10，
解得 a=5，
则二次函数的解析式为：y=x2+5x+5=（x+）2-，
∴抛物线的顶点坐标是（-，-）．
故答案为：（-，-）
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是根据根与系数的关系求得a的值．
10．，
【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．
详解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1，
故答案为x1=-2，x2=1．
点睛：本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题
11．（3，0）．
【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
12．－3
【解析】分析:判断抛物线与x轴的交点个数,可根据的值进行判断,当时,抛物线与x轴有2个交点, 当时,抛物线与x轴有1个交点,当时,抛物线与x轴没有交点.
详解:因为抛物线y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点,
所以,
所以,
因为c为整数,
所以c的最大值是-3.
故答案为:-3.
点睛:本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象与一元二次方程的关系.
13．-3.3
【解析】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答）
详解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴-=-1则-=-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键．
14．8
【解析】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣2k，x1 x2=k2+k+3，
∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2
=2k2+2k﹣4
=2（k+）2﹣
当k=-3时，（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的值最小，最小为8.
故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．
故答案为：8．
点睛：本题考查根与系数的关系和配方法的应用，根与系数的关系是数学中的重点内容，此题进行配方是解决问题的关键．
15．(1，0)，(5，0)
【解析】已知一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，可得抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，把抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，所以抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为(-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0).
16．（1）见解析；（2）方程的另一个根为x=-2.
【解析】试题分析：（1）根据抛物线的对称轴为x=-=1可得；
（2）根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．
试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴2a+b=0；
（2）∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），
∴方程的另一个根为x=-2．
17．（1）；（2）x轴： 、；Y轴：
（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m的值；
（2）可以令y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；
（3）根据（2）中抛物线与x轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x的取值范围．
试题解析：（1）将点（0，3）代入抛物线y=-x2+（m-1）x+m，
m=3，
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3；
（2）令y=0，-x2+2x+3=0，
解得x1=3，x2=-1；
x轴：A（3，0）、B（-1，0）；
y轴：C（0，3）
（3）抛物线开口向下，对称轴x=1；
所以）①当-1＜x＜3时，y＞0；
②当x≥1时，y的值随x的增大而减小．
18．（1）D（1，4）；（2）6.
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法代入求出a，c的值，进而利用配方法求出D点坐标即可；
（2）首先求出图象与x轴的交点坐标，进而求出△ABC的面积．
试题解析：（1）由题意，得，
解得，
则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
则D（1，4）；
（2）由题意，得-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3；
则A（-1，0），
又∵B（3，0）、C（0，3），
∴S△ABC＝×4×3＝6
19．（1）；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．
【详解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，
得，
解得；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3，
△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，
所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点，
∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8，
∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．
20．（1）x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）l＜x＜3；（3）当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）k＜2．
【解析】试题分析：（1）观察图形可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），即可解题
（2）根据抛物线y=ax2+bx+c，求得y＞0的x取值范围即可解题；
（3）图中可以看出抛物线对称轴，即可解题；
（3）易求得抛物线解析式，根据方程△＞0即可解题．
试题解析：（1）图中可以看出抛物线与x 轴交于(1，0) 和(3，0) ，
∴ 方程ax2+bx+c=0 的两个根为x=1 或x=3 ；
（2）不等式ax2+bx+c>0 时，通过图中可以看出：当10 ，
∴ 不等式ax2+bx+c>0 的解集为(1，3) ；
（3）图中可以看出对称轴为x=2 ，
∴ 当x>2 时，y 随x 的增大而减小；
（4）∵ 抛物线y=ax2+bx+c 经过(1，0)，(2，2)，(3，0) ，
∴，
解得：a= 2 ，b=8 ，c= 6 ，
∴ 2x2+8x 6=k, 移项得 2x2+8x 6 k=0 ，
△=64 4( 2)( 6 k)>0 ，
整理得：16 8k>0 ，
∴k<2 时, 方程ax2+bx+c=k 有2 个相等的实数根。
21．（1）①见解析；② ;③ ;(2) x≥3或x≤-1
【解析】试题分析：（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，利用图象法求出方程x2-2x=0，以及不等式x2-2x＜0的解即可．
（2）画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象法即可解决问题．
试题解析：（1）二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2，0＜x＜2．
（2）函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．
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