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中心对称与中心对称图形
【经典例题】
知识点一 中心对称和中心对称图形
【例1】下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
知识点二 中心对称的作图
【例2】一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
【分析】思路1：先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可；
思路2：先将图形补充成一个大矩形，分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可．
【解答】解：如图所示，有三种思路：
知识点三 中心对称与中心对称图形
【例3】在①线段，②角，③平行四边形，④长方形，⑤等腰梯形，⑥圆，⑦等边三角形中，是中心对称图形的是___________，是轴对称图形的有____________，既是中心对称又是轴对称图形是_____________（填序号）．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：②角，⑤等腰梯形，⑦等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
③平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
①线段，④长方形，⑥圆，是轴对称图形，也是中心对称图形．
故是中心对称图形的是①③④⑥，是轴对称图形的有①②④⑤⑥⑦，既是中心对称又是轴对称图形是①④⑥．
故答案为①③④⑥，①②④⑤⑥⑦，①④⑥．
知识点四 关于原点对称的点的坐标
【例4】在平面直角坐标系中，点P（－3，－5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.（3，－5） B.（－3，5） C.（3，5） D.（－3，－5）
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点Q（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b），可得答案．
【解答】解：点P（－3，－5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
【例5】已知点A（2a＋2，3－3b）与点B（2a＋2，3－3b）关于坐标原点对称，求a与b的值．
【分析】利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的等式进而求出即可．
【解答】解：∵点A（2a＋2，3－3b）与点B（2a＋2，3－3b）关于坐标原点对称，
∴
解得
知识点五 利用图形变换的性质进行计算或证明
【例6】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
【分析】先根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，再根据旋转的性质得＝α，＝∠BAD＝90°，∠＝∠D＝90°，然后根据四边形的内角和得到∠3＝68°，再利用互余即可得到∠α的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为α，
∴＝α，＝∠BAD＝90°，∠＝∠D＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABD＝∠＝90°，
∴∠3＝180°－∠2＝68°，
∴＝90°－68°＝22°，
即∠α＝22°．
故选：D．
【知识巩固】
1. 观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
2. 下列几何图形不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．矩形
4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5. 点P（4，－3）关于原点的对称点是（ ）
A.（4，3） B.（－3，4） C.（－4，3） D.（3，－4）
【培优特训】
6. 王老师、杨老师两家所在位置关于学校成中心对称．如果王老师家距学校2千米，那么她们两家相距__________千米．
7. 若点M（3，a－2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_________
8. 如图，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是__________
9. 如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．
（2）若矩形ABCD面积为8，求四边形BDEG的面积
10. 如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF＝DE．
【中考链接】
11. （2017 白银）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
12. （2018 南充）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．扇形 B．正五边形 C．菱形 D．平行四边形
13. （2018 大庆）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝_________
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中心对称与中心对称图形
【经典例题】
知识点一 中心对称和中心对称图形
【例1】下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
知识点二 中心对称的作图
【例2】一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
【分析】思路1：先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可；
思路2：先将图形补充成一个大矩形，分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可．
【解答】解：如图所示，有三种思路：
知识点三 中心对称与中心对称图形
【例3】在①线段，②角，③平行四边形，④长方形，⑤等腰梯形，⑥圆，⑦等边三角形中，是中心对称图形的是___________，是轴对称图形的有____________，既是中心对称又是轴对称图形是_____________（填序号）．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：②角，⑤等腰梯形，⑦等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
③平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
①线段，④长方形，⑥圆，是轴对称图形，也是中心对称图形．
故是中心对称图形的是①③④⑥，是轴对称图形的有①②④⑤⑥⑦，既是中心对称又是轴对称图形是①④⑥．
故答案为①③④⑥，①②④⑤⑥⑦，①④⑥．
知识点四 关于原点对称的点的坐标
【例4】在平面直角坐标系中，点P（－3，－5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.（3，－5） B.（－3，5） C.（3，5） D.（－3，－5）
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点Q（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b），可得答案．
【解答】解：点P（－3，－5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
【例5】已知点A（2a＋2，3－3b）与点B（2a＋2，3－3b）关于坐标原点对称，求a与b的值．
【分析】利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的等式进而求出即可．
【解答】解：∵点A（2a＋2，3－3b）与点B（2a＋2，3－3b）关于坐标原点对称，
∴
解得
知识点五 利用图形变换的性质进行计算或证明
【例6】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
【分析】先根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，再根据旋转的性质得＝α，＝∠BAD＝90°，∠＝∠D＝90°，然后根据四边形的内角和得到∠3＝68°，再利用互余即可得到∠α的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为α，
∴＝α，＝∠BAD＝90°，∠＝∠D＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABD＝∠＝90°，
∴∠3＝180°－∠2＝68°，
∴＝90°－68°＝22°，
即∠α＝22°．
故选：D．
【知识巩固】
1. 观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，选项不符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意．
故选：D．
2. 下列几何图形不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．矩形
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形；故A错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；故B正确；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形；故D错误；
故选：B．
4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°－100°）＝40°．
故选：B．
5. 点P（4，－3）关于原点的对称点是（ ）
A.（4，3） B.（－3，4） C.（－4，3） D.（3，－4）
【解答】解：点P（4，－3）关于原点的对称点是（－4，3），
故选：C．
【培优特训】
6. 王老师、杨老师两家所在位置关于学校成中心对称．如果王老师家距学校2千米，那么她们两家相距__________千米．
【解答】解：∵王老师、杨老师两家所在位置关于学校成中心对称，
∴王老师、杨老师两家到学校距离相等，
∵王老师家距学校2千米，
∴他们两家相距4千米．
故答案为：4．
7. 若点M（3，a－2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_________
【解答】解：由题意，得
b＝－3，a－2＋a＝0，
解得a＝1，
a＋b＝－3＋1＝－2，
故答案为：－2．
8. 如图，已知 AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是__________
【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：
故答案为：
9. 如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．
（2）若矩形ABCD面积为8，求四边形BDEG的面积
【解答】
解：（1）四边形BDEG是菱形．
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
∴AB＝AE，AD＝AG，BE⊥DG，
∴根据勾股定理得：BD2＝DE2＝EG2＝GB2＝AB2＋AD2，
∴四边形BDEG是菱形．
（2）若矩形ABCD面积为8，则S△ABD＝SABCD＝4，
∴根据菱形性质：
四边形BDEG的面积为SBDEG＝4S△ABD＝16．
10. 如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF＝DE．
【解答】证明：如图，连接AD、BC，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵点E、F关于点O中心对称，
∴OF＝OE，
在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF＝DE
【中考链接】
11. （2017 白银）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
【解答】解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形， 故选：B．
12. （2018 南充）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．扇形 B．正五边形 C．菱形 D．平行四边形
【解答】解：A、扇形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
13. （2018 大庆）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝_________
【解答】解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a＝－4，b＝－3，
则ab＝12．
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