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圆的基本概念和性质
【经典例题】
知识点一 圆的有关概念
【例1】下列判断结论正确的有（ ）
（1）直径是圆中最大的弦．
（2）长度相等的两条弧一定是等弧．
（3）面积相等的两个圆是等圆．
（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等弧的定义，直径、弦的定义、等圆进行分析，解答即可．
【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径；
（5）圆上任意两点间的部分叫弧．错误；
故选：B．
知识点二 利用圆的定义证明共圆问题
【例2】已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．
【分析】分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME＝MD＝MC＝MB，可证得结论．
【解答】证明：连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
知识点三 圆的概念在实际生活中的应用
【例3】原来人们常用炸药开山筑路，一次利用炸药爆破时，使用了导火索引爆的方式进行，导火索长120cm，点燃后燃烧的速度为1cm/s，点火后点火人以6m/s向远处跑，他要跑到500m外才安全，那么他能跑到安全区吗？
【分析】首先计算导火索燃烧完的时间和人跑到安全区以外的时间，然后对和进行比较，若，他能跑到安全区；若，他不能跑到安全区。
【解答】解：∵
∴导火索燃烧完的时间：
人跑500m的时间：
∵
∴他能跑到安全区以外。
答：人能以6m/s的速度跑到500m以外的安全区。
知识点四 圆中的有关计算
【例4】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【分析】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE＋∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C＋∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE＋∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C＋∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
【知识巩固】
1. 给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长。其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①直径是弦，直径是圆内最长的弦，正确；
②优弧不是半圆，错误；
③圆的组成只有一整段圆弧，半径直径等等是认为规定出来，不是真正存在在圆上的，本选项错误；
④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长不一定小于小的半圆的周长；
故选：A．
2. 自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（ ）
A．圆是轴对称图形 B．直径是圆中最长的弦
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形
【解答】解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，
是利用了圆上各点到圆心的距离相等，
故选：C．
3. 如图，在⊙O中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．以上均不正确
【解答】解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦．
故选：C．
4. 过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或无数条
【解答】解：分两种情况：
①点A不是圆心时，由于两点确定一条直线，所以过点A的最长弦只有1条；
②点A是圆心时，由于过一点可以作无数条直线，所以过点A的最长弦有无数条．
即过圆内一点A可以作出圆的最长弦有1条或无数条．
故选：D．
5. 如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°－2×50°＝80°． 故选：C．
【培优特训】
6. 如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是__________
【解答】解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C＋∠E＝40°＋20°＝60°，
故答案为：60°．
7. 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（ ）
A. B. C. 或 D. a＋b或a－b
【解答】解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时时，圆的直径是a＋b，因而半径是；当此点在圆外时，圆的直径是a－b，因而半径是．则此圆的半径为 或
故选：C
8. 如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定
【解答】解：设小明走的半圆的半径是R．则小明所走的路程是：πR．
设小红所走的两个半圆的半径分别是：与，则．小红所走的路程是：．因而a＝b．
故选：A．
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
【解答】解：连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA＝AB＝cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：
∴
由勾股定理得：
则AD的长为1cm，AC的长为cm。
10. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC．求证：BA＝BC．
【解答】证明：连OA、OC，如图，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO，
∵B0平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAO＝∠BCO，
∴△OAB≌△OCB，
∴AB＝BC．
【中考链接】
11. 如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【解答】解：π×12×
＝π×1×
＝π．
故选：B
12. 采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，至少需要导火线的长度是（ ）
A．70厘米 B．75厘米 C．79厘米 D．80厘米
【解答】解：设导火线的长度是x厘米，得到，则x≥80cm．
故选：D．
13. 在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有_______个。
【解答】解：坐标轴上到圆心距离为5的点有4个，由勾股定理，四个象限中，到圆心距离为5的点有8个，共12个，如图所示．
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圆的基本概念和性质
【经典例题】
知识点一 圆的有关概念
【例1】下列判断结论正确的有（ ）
（1）直径是圆中最大的弦．
（2）长度相等的两条弧一定是等弧．
（3）面积相等的两个圆是等圆．
（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等弧的定义，直径、弦的定义、等圆进行分析，解答即可．
【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径；
（5）圆上任意两点间的部分叫弧．错误；
故选：B．
知识点二 利用圆的定义证明共圆问题
【例2】已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．
【分析】分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME＝MD＝MC＝MB，可证得结论．
【解答】证明：连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
知识点三 圆的概念在实际生活中的应用
【例3】原来人们常用炸药开山筑路，一次利用炸药爆破时，使用了导火索引爆的方式进行，导火索长120cm，点燃后燃烧的速度为1cm/s，点火后点火人以6m/s向远处跑，他要跑到500m外才安全，那么他能跑到安全区吗？
【分析】首先计算导火索燃烧完的时间和人跑到安全区以外的时间，然后对和进行比较，若，他能跑到安全区；若，他不能跑到安全区。
【解答】解：∵
∴导火索燃烧完的时间：
人跑500m的时间：
∵
∴他能跑到安全区以外。
答：人能以6m/s的速度跑到500m以外的安全区。
知识点四 圆中的有关计算
【例4】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【分析】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE＋∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C＋∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE＋∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C＋∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
【知识巩固】
1. 给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长。其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（ ）
A．圆是轴对称图形 B．直径是圆中最长的弦
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形
3. 如图，在⊙O中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．以上均不正确
4. 过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或无数条
5. 如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【培优特训】
6. 如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是__________
7. 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（ ）
A. B. C. 或 D. a＋b或a－b
8. 如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
10. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC．求证：BA＝BC．
【中考链接】
11. 如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
12. 采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，至少需要导火线的长度是（ ）
A．70厘米 B．75厘米 C．79厘米 D．80厘米
13. 在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有_______个。
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