课件29张PPT。第2节 一次函数
第1课时 正比例函数的图像和性质第十二章 一次函数1．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的________函数．特别地，当b＝0时，称y是x的________函数．一次正比例2．(1)正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过________的直线，也称它为直线y＝kx；
(2)画y＝kx的图象时，一般选________和________两点画直线，简称两点法．原点原点(1，k)3．(1)当k>0时，直线y＝kx经过第________象限，从左向右________，y随x的增大而________．
(2)当k<0时，直线y＝kx经过第________象限，从左向右________，y随x的增大而________．一、三上升增大二、四下降减小1．(中考?上海)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ D．y＝1知识点一次函数与正比例函数的定义C2．(宿州期中)已知函数y＝(m＋2)x|m|－1是正比例函数，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1B3．已知函数y＝(k＋1)x＋k2－1.当k________时，它是一次函数；当k________时，它是正比例函数．≠－1＝1点拨：
当k＋1≠0，即k≠－1时，它是一次函数．当k＋1≠0，且k2－1＝0，即k＝1时，它是正比例函数．4．(马鞍山12中期中)列出下列函数关系式，并判断是否为正比例函数．
(1)圆的面积S与其半径r；
(2)面积为常数S，长方形的长y与宽x；
(3)某报纸售价为每份0.5元，每卖一份报纸可得20%的利润，其利润y(元)与出售份数x(份)的关系式；(4)冲一卷胶卷手续费3元，洗一张照片0.3元，冲一卷胶卷、洗x张照片与所需费用y(元)的关系式．
解：(1)S＝πr2，不是正比例函数．
(2)y＝ ，不是正比例函数．
(3)y＝0.1x，是正比例函数．
(4)y＝0.3x＋3，不是正比例函数5．当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象大致是( )2知识点正比例函数的图象A6．(中考?南宁)已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)， 则m的值为( )
A. B．3 C．－ D．－3B点拨：
点(1，m)在直线y＝3x上，所以将x＝1，y＝m代入y＝3x，可得m＝3×1＝3.故选B.7．(中考?丽水)在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是( )
A．M(2，－3)，N(－4，6)
B．M(－2，3)，N(4，6)
C．M(－2，－3)，N(4，－6)
D．M(2，3)，N(－4，6)A8．(中考?湖州)放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(千米)与所用时间t(分钟)的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是________千米/分钟．0.29．(中考?陕西)设正比例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增大而减小，则m等于( )
A．2 B．－2 C．4 D．－43知识点正比例函数的性质B10．(中考?广州)已知正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则下列不等关系中恒成立的是( )
A．y1＋y2＞0 B．y1＋y2＜0
C．y1－y2＞0 D．y1－y2＜0
C11．(马鞍山11中期中)已知正比例函数y＝(k－2)x.
(1)若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是________．
(2)若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________． k＜2 k>212.如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则系数k，m，n的大小关系是______________． k＞m＞n13．已知函数y＝(m－1)xm2－3是正比例函数．
(1)若函数表达式中y随x的增大而减小，求m的值；
(2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值；
(3)分别画出(1)(2)问中函数的图象．解：(1)由题意知m2－3＝1，且m－1<0，故m＝－2.
(2)由题意知m2－3＝1，且m－1>0，故m＝2.
(3)略．点拨：
本题易忽略条件而直接得出m＝±2.14．(中考?福州)在同一直角坐标系中，分别作出下列函数的图象：y＝2x，y＝ x，y＝x，y＝－ x， y＝－2x，并通过观察图象，看它们离x轴的远近与x的系数之间有什么关系．解：各函数的图象如图所示．在正比例函数y＝kx中，k的绝对值越小，直线越靠近x轴；k的绝对值越大，直线越远离x轴.15．(当涂太白中学期中)如图，正方形ABCD的边长为2，P为DC上一动点，设DP＝x，求三角形APD的面积y与x的函数关系式，并画出函数的图象．解：由题意可知三角形APD为直角三角形，
∴S三角形APD＝ ×2?x＝x，即y＝x.
∵点P在DC上移动且要构成三角形APD，
∴0∴y＝x(0(1)放入一个小球后水桶中水面升高________ cm；
(2)求放入小球后(水未溢出)水桶中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的一次函数关系式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)水桶中至少放入几个小球时才有水溢出？解：(1)2
(2)因为每放入一个小球后，水面升高2 cm，所以y＝30＋2x.
(3)由30＋2x＝49得x＝9.5，即水桶中至少放入10个小球时才有水溢出．课件48张PPT。第12章 一次函数第2节 一次函数
第1课时 正比例函数的图象和性质课堂讲解课时流程12一次函数与正比例函数的定义
正比例函数的图象
正比例函数的性质逐点
导讲练课堂小结在上节，遇到过这样一些函数：
h=30t+1800; Q= -25t+300;
y=2x; y=-2x;
s=80t.
这些函数有什么共同特点？1知识点一次函数与正比例函数的定义知1－讲1.定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)
的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx(k
为常数，且k≠0)，所以说正比例函数是一种
特殊的一次函数．知1－讲2. 要点精析：一次函数y＝ kx＋b(k≠0)的结构特征：
①k≠0；②自变量x的次数是1；
③常数项b可以是任意实数．知1－讲例1 下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
(1) y＝－2x2；(2)y＝ ；(3)y＝3x2－x(3x－2)；
(4)x2＋y＝1； (5)y＝－ .导引：先看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断．解：(1)因为x的指数是2，所以y＝－2x2不是一次函数． (2)因为
所以 是一次函数．
(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数．知1－讲知1－讲 (4)x2＋y＝1，即y＝1－x2.因为x的指数是2，
所以x2＋y＝1不是一次函数．
(5)因为y＝－ 不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，
所以它不是一次函数．判断函数式是否为一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数表达式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数．知1－讲知1－讲例2 〈原创易错题〉已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2 －(m＋n－8)；
(1)当m、n为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．知1－讲导引：(1)由一次函数的定义，结合原函数式的特征知：①二次项的系数必为0，即n2－4＝0；
②(2n－4)xm－2必为一次项，即m－2＝1，
2n－4≠0；
(2)写出表达式，运用代入法求函数值．知1－讲解：(1)由题意，得 解得m＝3，n＝－2.
所以当m＝3，n＝－2时函数是一次函数．
(2)由(1)得此一次函数的表达式为y＝－8x＋7.当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.知1－讲根据一次函数的定义求待定字母的值时，要注意：
(1)函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；
(2)隐含条件：自变量(一次项)的系数不为0.1.定义：一般地，形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数，叫做正比例函数；其中k叫做比例系数．
要点精析：(1)判断一个函数是否为正比例函数的方法：看这个函数是否满足以下两个条件：
①所给等式是形如y＝kx的等式；
②比例系数k是常数，且k不等于0.
同时满足这两个条件，它就是正比例函数．知1－讲 (2)正比例函数反映的是两个变量之间的关系，是正比例函数关系．
2．易错警示：
(1)正比例函数y＝kx中，k≠0，x的指数为1；
(2)自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数
中自变量的取值范围是全体实数，但在实际问
题中，注意自变量的取值要有实际意义.知1－讲例3 写出下列问题的函数表达式，并判断哪些是正比例函数．
(1)已知圆的周长C是半径r的函数；
(2)油箱中有油30 L，若油均匀流出，150 min流尽，则油箱中余油量Q(L)是流出时间t(min)的函数；
(3)小明以4 km/h的速度匀速前进，则他所走的路程s(km)是时间t(h)的函数；知1－讲(4)某种商品每件进价100元，售出时每件获得20%的
利润，销售额y(元)是售出商品数量x(件)的函数． 解：(1)C＝2πr，是正比例函数．
(2)Q＝30－ t，不是正比例函数．
(3)s＝4t，是正比例函数．
(4)y＝(100＋100×20%)x＝120x，是正比例函数．(1)根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成函数表达式的形式．
(2)判断是否为正比例函数的依据：即看两个变量的比是不是常数，即是不是形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数．知1－讲例4 已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k＝________．
导引：根据正比例函数的定义，此函数表达式应满足：
(1)变量x的指数为1，即|k|－1＝1，所以k＝±2；
(2)比例系数k－2≠0，即k≠2.综上，k＝－2.
－2知1－讲 由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指数为1；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为0这一条件.知1－讲1 下列函数中，y是x的一次函数的是( )
A．y＝x2＋2x B．y＝－
C．y＝x D．y＝ ＋1知1－练C下列函数：①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝ ， ④y＝x2中，一次函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4知1－练B已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，
则m的值是( )
A．－3 B．3 C．±3 D．±2
知1－练A4 下列问题中，变量之间的关系是正比例函数关系
的是( )
A．长方形的面积固定，长和宽之间的关系
B．正方形的面积和边长之间的关系
C．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间
的关系
D．匀速运动中，路程和时间之间的关系知1－练D (中考·凉山州)已知函数y＝2x2a＋b＋a＋2b是正 比例函数，则a＝________，b＝________.5知1－练2知识点正比例函数的图象知2－讲例1 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的
图象： y= x, y=x , y=3x.解：列表(为便于比较，三个函数值计算表排在一起)知2－讲如图，过两点（0, 0），（1， ）画直线，
得y= x的图象；
过两点（0, 0），（1, 1）
画直线，得y=x的图象；
过两点（0, 0），（1, 3）
画直线，得y=3x的图象.知2－讲例2 在同一直角坐标系中，画出函数y＝5x，y＝x的图象
解：列表：描点、连线，如图所示知2－讲 正比例函数y＝kx(k是常数，且k≠0)的图象是一条经过原点及(1，k)的直线，通常作正比例函数的图象是过(0，0)和(1，k)两点画直线，但也可以变通，选点应以便于计算和描点为原则．知2－讲(中考·北海)正比例函数y＝kx的图象如图所示，
则k的取值范围是( )
A．k>0 B．k<0
C．k>1 D．k<11知2－练A正比例函数y＝x的大致图象是( )2知2－练C已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x＝－1时，y＝－2，则它的图象大致是( )3知2－练C3知识点正比例函数的性质 学过了上面例1及练习后可以看出，当k取
不同的数值时，就确定正比例函数y=kx(k为常数，
且k≠0)在坐标系中有不同的位置.你能从中归纳
出怎样的规律？知3－讲 图象：正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的图象是
一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.
性质：当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从
左向右上升，y随着x的增大而增大，
当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，
从左向右下降，y随着x的增大而减小．知3－讲例3 〈广东珠海〉已知函数y＝3x的图象经过点A (－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1____y2(填“＞”“＜”或“＝”)．＞导引：方法一：把点A，点B的坐标分别代入函数y＝3x，求出y1，y2的值比较大小即可．
方法二：画出正比例函数y＝3x的图象，在函数图象上标出点A，点B，利用数形结合思想来比较y1，y2的大小．知3－讲如图，观察图象，
显然可得y1＞y2.
方法三：根据正比例函数的
增减性来比较函数值的大小．
根据正比例函数的性质，
当k＞0时，y随x的增大而增大，即可得y1＞y2.知3－讲 正比例函数的图象上两点的纵坐标的大小与比例系数以及横坐标的大小有关；比例系数是正数时，
函数值随自变量的增大而增大；比例系数是负数时，
函数值随自变量的增大而减小．知3－讲本例的解法中，
方法一是用求值比较法；
方法二是利用数形结合思想，用“形”上的点的纵坐标位置来比较“数”的大小；
方法三是利用函数的增减性来比较大小．知3－讲 例4 已知正比例函数y＝k1x与y＝k2x的图象如图，
比较k1与k2的大小．
导引：两个函数的自变量取
相同的数值，当所取
的数是正数时，比较两
个函数值的大小即可得k1、k2的大小．知3－讲解：在正比例函数y＝k1x图象位于第一象限的射线上
取一点A，设点A的坐标是(a，k1a)，
过点A引x轴的垂线交正比例函数y＝k2x的图象于
一点B，x轴上的垂足是H，
所以点B的坐标是(a，k2a)，
由于k1a＞k2a，且a＞0，因此k1＞k2.知3－讲 利用正比例函数的图象比较比例系数的大小，可以在一条直线上取一点A，通常使得这点的横坐标是1，过这点引x轴的垂线，交另一直线于一点B，比较两点纵坐标的大小即可．知3－讲例5 若正比例函数y＝(3k－5)x及y＝
(5k－3)x的图象如图所示，
则k的取值范围是________ ．导引：由正比例函数的图象及性质知：3k－5＜0，即k
＜ ；5k－3＞0，即k＞ . 综合两个不
等式的解集，得 ＜k＜ .(1)由正比例函数的性质y随x的增大而增大或减小，可以
判断比例系数的符号，当y随x的增大而增大时，比例
系数k大于0，反之比例系数k小于0；
(2)由正比例函数的图象过一、三象限还是过二、四象限
可以判断比例系数的符号，当直线过一、三象限时，
k＞0，当直线过二、四象限时，k＜0.知3－讲关于函数y＝－2x，下列判断正确的是( )
A．图象经过第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．若(x1，y1)，(x2，y2)是该函数图象上的两点，
则当x1y2
D．不论x为何值，总有y<01知3－练C一次函数和正比例函数：
一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫做
一次函数，其中x是自变量，y是x的函数．
特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的
正比例函数．
说明：(1)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包
括正比例函数；(2)判断一个函数是否是一次函数，必
须将其化成最简形式．画正比例函数图象的技巧：
(1)由于两点确定一条直线，因此画正比例函数y＝kx (k≠0) 的图象时，我们一般选(0，0)和(1，k)这两点．
(2)列表时，点(x，y)可任意选取适合y＝kx的点，但为方便描点，坐标通常取整数．注意：有些图象根据自变量取值范围的不同而有所变化，或是一条射线，或是一条线段，或是直线上的一些点．例如正比例函数y＝2x(x≥0)的图象是一条射线．
