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垂直于弦的直径
【经典例题】
知识点一 利用垂径定理证明某些结论
【例1】如图，△OAB中，OA＝OB，以O为圆心的圆交BC于点C，D。
求证：AC＝BD．
【分析】过O作OE⊥AB于E，则OE满足垂径定理，并且OE是等腰三角形底边上的高线，满足三线合一定理就可以得到．
【解答】证明：如图，过O作OE⊥AB于E，
∵OA＝OB，OE⊥AB于E
∴AE＝BE
又∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD
∴CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
即AC＝BD．
知识点二 运用垂径定理求涉及弦、半径、弦心距有关线段的长
【例2】如图，已知AD是圆O的直径，BC是圆O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝16，试求DE的长．
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：连接OB，设OB＝OA＝，则OE＝16－R，
∵AD⊥BC，BC＝16，
∴∠OEB＝90°，BE＝BC＝8，
由勾股定理得：
解得：R=10，
∴OE＝16-10＝6，
∴DE＝OD－OE＝10－6＝4．
知识点三 垂径定理应用图形及圆心位置不确定的分类讨论
【例3】已知，在半径为13的⊙O中，弦AB的长为24．
（Ⅰ）如图，求点O到AB的距离；
（Ⅱ）在⊙O中，弦MN的长为10，且MN∥AB，求MN与AB之间的距离
【分析】（I）如图1，作辅助线；首先求出BC的长度；直接运用勾股定理求出OC的长度，即可解决问题．
（II）分两种情况进行讨论：①弦AB和MN在圆心同侧；②弦AB和MN在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：（I）如图1，连接OB，过点O作OC⊥AB于点C；
则AC＝BC＝12；
由勾股定理得：OC2＝OB2－BC2
而OB＝13，BC＝12，
∴OC＝5，
则点O到AB的距离是5；
（II）分两种情况进行讨论：
①当弦AB和MN在圆心同侧时，如图2，
∵AB＝24cm，MN＝10cm，
∴AE＝12cm，MF＝5cm，
∵OA＝OM＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF－OE＝12－5＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图3，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，MF＝5cm，
∵OA＝OM＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF＋OE＝12＋5＝17cm；
∴AB与MN之间的距离为7cm或17cm．
知识点四 垂径定理的实际应用
【例4】如图：水平放置的圆柱形排水管道内，水面的宽度AB＝cm，水面的最大深度为3cm，求排水管道截面圆形的半径．
【分析】过O作OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由水面高度与水面宽度求出OA的长．
【解答】解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，可得出AC＝BC＝AB=cm，
水面的最大深度为3cm，则OC＝(OA－3)cm
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：
即
解得AO＝6cm，
答：排水管道截面圆形的半径6cm
知识点五 垂径定理在综合探究中的应用
【例5】如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m，宽AB为1m，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m，宽2.3m．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．
【分析】利用勾股定理求得EG，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可．
【解答】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下：
根据题意可知，如图，在AD上取G，使OG＝2.3m，
过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆于点E，
则GF＝AB＝1m，
圆的半径OE＝AD＝×8＝4m，
在Rt△OEG中，由勾股定理，得
所以点E到BC的距离为
故货车可以通过该隧道．
【知识巩固】
1. 如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC＝3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，OA＝5，OC＝3，
∵OC过圆心，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：C．
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B. C. 6 D. 8
【解答】解：连接OC，
由题意，得
OE＝OA－AE＝4－1＝3，
CD＝2CE＝
故选：B
3. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，
∴
∴CD＝OC－OD＝5－3＝2．
故选：A
4. 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM＝BM，
∵AB＝6，
∴AM＝3，
在Rt△AOM中，
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM＝5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B
5. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36＋(r－4)2，解得r＝6.5
故选：A．
【培优特训】
6. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A＝28°，则∠D＝__________
【解答】解：连接OC，
∵∠A＝28°，
∴∠COB＝56°，
∵在⊙O中，直径AB⊥弦CD，
∴∠D＝∠OCD＝90°－56°＝34°，
故答案为：34°．
7. 在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为___________
【解答】解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝OF－OE＝1cm；
②当弦A和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AF＝4cm，CE＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝4cm，OF＝3cm，
∴EF＝OF＋OE＝7cm．
故答案为：1cm或7cm．
8. 已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8，则AC的长为____________
【解答】解：连结OA，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAM中，OA＝5，
∴
当如图1时，CM＝OC＋OM＝5＋3＝8，
在Rt△ACM中，
当如图2时，CM＝OC－OM＝5－3＝2，
在Rt△ACM中，
故答案为或
9. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【解答】解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝r－18
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
r2＝302＋(r－18)2，
解得，r＝34；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP－PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：
A′E2＝A′O2－OE2，
即：A′E2＝342－302，
解得：A′E＝16．
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．
（1）求证：BF⊥AF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠CAB，∠EFA＝∠FAB，
∵∠E＝∠EFA，
∴∠FAB＝∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
∴△ABC≌△ABF（SAS），
∴∠AFB＝∠ACB＝90°，
∴BF⊥AF；
（2）解：当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．理由如下：
∵∠CAB＝60°，
∴∠FAB＝∠CAB＝∠CAB＝60°，
∴EF＝AD＝AE，
∴四边形ADFE是菱形
【中考链接】
11.（2017 广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，
∴∠OCE＝90°－40°＝50°．
故选：D．
12.（2018 张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝( )
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4cm．
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴
∴AE＝AO＋OE＝5＋3＝8cm．
故选：A
13.（2018 海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为___________
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE＝OM－ME＝OM－CF＝10－8＝2．
连接MC，则MC＝OA＝10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）
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垂直于弦的直径
【经典例题】
知识点一 利用垂径定理证明某些结论
【例1】如图，△OAB中，OA＝OB，以O为圆心的圆交BC于点C，D。
求证：AC＝BD．
【分析】过O作OE⊥AB于E，则OE满足垂径定理，并且OE是等腰三角形底边上的高线，满足三线合一定理就可以得到．
【解答】证明：如图，过O作OE⊥AB于E，
∵OA＝OB，OE⊥AB于E
∴AE＝BE
又∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD
∴CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
即AC＝BD．
知识点二 运用垂径定理求涉及弦、半径、弦心距有关线段的长
【例2】如图，已知AD是圆O的直径，BC是圆O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝16，试求DE的长．
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：连接OB，设OB＝OA＝，则OE＝16－R，
∵AD⊥BC，BC＝16，
∴∠OEB＝90°，BE＝BC＝8，
由勾股定理得：
解得：R=10，
∴OE＝16-10＝6，
∴DE＝OD－OE＝10－6＝4．
知识点三 垂径定理应用图形及圆心位置不确定的分类讨论
【例3】已知，在半径为13的⊙O中，弦AB的长为24．
（Ⅰ）如图，求点O到AB的距离；
（Ⅱ）在⊙O中，弦MN的长为10，且MN∥AB，求MN与AB之间的距离
【分析】（I）如图1，作辅助线；首先求出BC的长度；直接运用勾股定理求出OC的长度，即可解决问题．
（II）分两种情况进行讨论：①弦AB和MN在圆心同侧；②弦AB和MN在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：（I）如图1，连接OB，过点O作OC⊥AB于点C；
则AC＝BC＝12；
由勾股定理得：OC2＝OB2－BC2
而OB＝13，BC＝12，
∴OC＝5，
则点O到AB的距离是5；
（II）分两种情况进行讨论：
①当弦AB和MN在圆心同侧时，如图2，
∵AB＝24cm，MN＝10cm，
∴AE＝12cm，MF＝5cm，
∵OA＝OM＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF－OE＝12－5＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图3，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，MF＝5cm，
∵OA＝OM＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF＋OE＝12＋5＝17cm；
∴AB与MN之间的距离为7cm或17cm．
知识点四 垂径定理的实际应用
【例4】如图：水平放置的圆柱形排水管道内，水面的宽度AB＝cm，水面的最大深度为3cm，求排水管道截面圆形的半径．
【分析】过O作OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由水面高度与水面宽度求出OA的长．
【解答】解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，可得出AC＝BC＝AB=cm，
水面的最大深度为3cm，则OC＝(OA－3)cm
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：
即
解得AO＝6cm，
答：排水管道截面圆形的半径6cm
知识点五 垂径定理在综合探究中的应用
【例5】如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m，宽AB为1m，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m，宽2.3m．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．
【分析】利用勾股定理求得EG，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可．
【解答】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下：
根据题意可知，如图，在AD上取G，使OG＝2.3m，
过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆于点E，
则GF＝AB＝1m，
圆的半径OE＝AD＝×8＝4m，
在Rt△OEG中，由勾股定理，得
所以点E到BC的距离为
故货车可以通过该隧道．
【知识巩固】
1. 如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC＝3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B. C. 6 D. 8
3. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
5. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【培优特训】
6. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A＝28°，则∠D＝__________
7. 在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为___________
8. 已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8，则AC的长为____________
9. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．
（1）求证：BF⊥AF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
【中考链接】
11.（2017 广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
12.（2018 张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝( )
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
13.（2018 海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为___________
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