1.1.1正弦定理教学设计
一、教学内容解析
《正弦定理》是高中课程人教A版数学(必修5)第一章第一节内容，教学安排二个课时，本节为第一课时内容。学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。教师带领学生从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜想-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。课本按照从简原则和最近发展区原则，采用“作高法”证明了正弦定理。教学过程中，为了发展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。
正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛。因此，正弦定理的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
二、学生学情分析
我所任教的班级为学校的实验班,学生基础较好,思维比较活跃。正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理,体会正弦定理的多种证明方法,开拓视野。
三、教学目标定位
1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；
2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。
3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。
教学重点：正弦定理的探索与发现。
教学难点：正弦定理证明及简单应用。
四、教学策略
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。
五、教学过程
教学环节
评价任务
教学内容
设计意图
（一） 实例引入 激发动机
获取学生解直角三角形的知识的掌握情况，评价学生设计方案的合理性。
观察学生的解决问题的完成过程，并让学生分享展示结果，评价学生的转化化归能力，对后续证明的影响。
引例1：展示图片,建于北宋时代的龙泉塔八角九级,同学们知道塔高是多少吗?借助皮尺与测角仪两种工具,不登塔你能否获得塔高?
引例2：比萨斜塔是意大利比萨城大教堂的独立式钟楼,倾斜角度约4度, 类似引例1 中办法,在塔倾斜方向的地面上距离塔底105米处观测点测得塔尖的仰角为,能否得到塔身长度?
引例1：引导学生从熟知的直角三角形出发，解决实际问题，为后续处理一般三角形埋下伏笔。
引例2：对于一般三角形，学生比较熟悉转化为直角三角形解决，转化化归的思想为后续正弦定理证明埋下伏笔。
学习环节
评价任务
学习活动
设计意图
评价学生前后知识串联的熟练程度和对新问题的探究欲望。
引例2数学模型：在中，，,.求边长.
问题：再看这个数学问题，已知三角形的部分边长和内角，求其他边长和内角。这个问题其实是解斜三角形的边角关系问题。但是没有学过，我们知道在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，那么我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
培养学生数学建模思维。
在新问题产生时，学生根据已有的知识是迷茫的，有疑惑的，这时也是产生知识缺陷，急需新知的时候，恰如其分的勾起了学生的求知欲。
（二） 观察发现
评价学生利用三角函数定义串联三边和三个内角数量关系是否准确合理。
探究一：直角三角形边角数量关系
（引导学生利用正弦函数定义，关键是引导学生把两个正弦等式糅合在一起。）
探究二：斜三角形边角数量关系
实验1：如图，在等边中，,对应边的边长，验证是否成立？
从已有的知识结构出发，不让学生在思维上出现跳跃，逐层递进，通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点，再对特殊的斜三角形进行验证，过渡到一般的斜三
学习环节
评价任务
学习活动
设计意图
（二）
实验探究
评价学生实验的完成情况，和实验结果的准确性，对实验结果的认可。
评价展示过程，观察学生的感知情况，把握信息的情况。
实验2：如图，在等腰中，,，对应边的边长，验证是否成立？
实验3：借助多媒体动态演示，引导发现随着三角形的任意变换，的值相等。
猜想：通过这样的一些实验，我们可以猜想对于任意的斜三角型也存在这样的边角数量关系：；
问题：但是并没有经过严密的数学推导，那么如何证明这个结论呢？
角形边角关系的探究。让学生亲自体验数学实验探究的过程，逐层递进，体会数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。
多媒体技术的引入演示，让学生更加直观感受到变换，加深理解。
大胆猜想，激发学生探索未知世界的勇气。
经历猜想到证明的过程，让学生体会到数学新知识的获得仅仅靠猜想
学习环节
评价任务
学习活动
设计意图
（二）
猜想证明
评价学生证明过程的展示，证明方法和解决思路的能力。
评价学生证明正弦定理的方法的掌握程度。
评价学生对生成概念的理解的准确程度。
证明方法1——作高法和面积法
引导学生利用熟悉的解直角三角形知识对锐角三角形边角数量关系进行证明，学生展示证明过程，并用不同的方法进行说明。
证明方法2——外接圆法
引导学生思考外接圆中直角的生成，并进一步鼓励学生课下对其他证明方法的搜集和整理。
概念生成：
展示正弦定理的定义：我们把三角形边角关系的这条性质称为正弦定理（law of sines），即在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即。
和演绎推理是不够的，必须经过严密的数学推导进行证明才可以。在这个过程中，也进一步促进学生数学思维品质的提升。
多种方法的证明，拓宽学生思维，进一步加深对正弦定理的理解。
让学生加深对正弦定理概念的准确理解
学习环节
评价任务
学习活动
设计意图
（三） 首尾呼应 解决引例
评价学生正弦定理解决引例的情况，和前后不同解决方法对比的优越性。
带领学生利用正弦定理解三角形，演示解题过程，解决引例2中的疑问，引导学生对前后方法进行对比，体会正弦定理的应用。
借助解决过程给出定义：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
让学生了解三角形的概念，形成知识的完备性。回过头来，解决引例中的问题，让学生体会学习正弦定理新知识解决实际问题的方便，激发学生不断探索新知识的欲望。
（四） 学以致用 归类总结
关注学生能够使用规范的数学语言和符号表述解题过程，能够顺利使用正弦定理，体现正弦定理的工具性。
评价学生利用正弦定理解决问题的掌握情况。
引导学生利用正弦定理解决例题并展示，教师展示规范的解题过程。
例1： 。
引导学生归纳正弦的第一个主要应用
例2：在中，已知解三角形。
引导学生归纳正弦的第二个主要应用。
通过例题归纳出正弦定理在解三角形中的两个主要应用，形成用正弦定理解三角形的思路，解决问题，提升学习热情，体验学习乐趣。
学习环节
评价任务
学习活动
设计意图
（五） 总结升华 提升素养
评价学生的分享内容，把握学生对所学知识的理解程度。
提问学生，总结分享收获：
正弦定理的内容;
正弦定理的应用;
转化化归思想、分类讨论思想、方程思想等.
通过学生的总结，突出本节课所学的知识和能，提炼学习过程中渗透的数学思想方法，感受学习成功的喜悦。
有助于加深学生对本节课重点核心知识和数学思想方法的把握，提升学生的数学素养。
（六） 布置作业 课下探究
关注学生作业的完成情况，进一步跟进学生的学习和思考。
1、正弦定理的其他证明方法；
2、通过以下题目，在已知三角形两条边和其中一条的对角的条件下探究三角形解的情况：
(在中，已知,，，求;
(在中，已知,，，求;
(在中，已知,，，求;
课堂的学习时间有限，课后的练习和探究除了能够加深对本节课重点知识的巩固，还可以让学生的学习延伸到课外，获取更多数学知识，培养学生探究的兴趣。
正弦定理
【学习目标】
掌握正弦定理的内容及其证明方法.
会运用正弦定理解斜三角形中的简单问题.
【学习重点】正弦定理的发现、证明与简单应用
一.问题呈现
引例1：建于北宋时代的龙泉塔八角九级,塔高是多少呢?借助皮尺与测角仪两种工具,不登塔能否获得塔高?
引例2：比萨斜塔是意大利比萨城大教堂的独立式钟楼,倾斜角度约4度, 在塔倾斜方向的地面上距塔底105米处的观测点测得塔尖的仰角为,能否得到塔身长度?
二.正弦定理的的发现与探索
【观察发现】直角三角形边角数量关系
在直角三角形ABC中，内角A, B, C的对边的长分别a,b,c.则各角的正弦如何表示？
sinA= ,sinB= ,sinC= =
c= = =
【验证确认】:斜三角形边角数量关系
实验1：如图，在等边中，,对应边的边长，验证是否成立？
实验2：如图，在等腰中，,，对应边的边长，验证是否成立？
【猜想】:
【证明】:
三.正弦定理的应用:
引例2：比萨斜塔是意大利比萨城大教堂的独立式钟楼,倾斜角度约4度, 在塔倾斜方向的地面上距塔底105米处的观测点测得塔尖的仰角为,能否得到塔身长度?()
【解三角形】______________________________________________________________________________
练习:在中,已知解三角形.
例2. 在中,已知解三角形.
【小结】
【作业】
探索整理正弦定理的其他证明方法.
通过以下题目，在“已知三角形两条边和其中一边的对角”
的条件下进一步探究正弦定理的应用：
(1)在中,已知,求.
(2)在中,已知,求.
(3)在中,已知,求.
练习:在中,已知,求.
解:根据正弦定理,,
,
当时,,
当时,,
课件16张PPT。第一章 解三角形人教A版必修五1671年,两个法国天文学家测出地球与月球之间的距离大约为385400km,他们是怎样测出两者之间的距离的呢?在数学发展史上,受到天文测量,航海测量和地理测量等方面实践活动的推动,解三角形的理论得到不断发展,并用于解决许多测量问题.1.1.1 正弦定理学习目标:
1. 掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2. 会运用正弦定理解斜三角形中的简单问题.
ACB43.35米CBA比萨斜塔,倾斜角度约4度105米观察：在直角三角形ABC中，内角A, B, C的对边的长分别a,b,c.则各角的正弦如何表示？
任意三角形猜想:定理:证明?正弦定理（law of sines）
在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.
即CBA比萨斜塔,倾斜角度约4度105米解三角形:一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 (solving triangles) .1、探索整理正弦定理的其他证明方法；2、通过以下题目，在“已知三角形两条边和其中一边的对角”的条件下进一步探究正弦定理的应用：作业: 2、正弦定理的主要应用：
(1)已知三角形的两角及一边，解三角形；
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形； 3、转化化归思想、分类讨论的思想、方程思想等. 1、正弦定理的内容( ) 及其证明方法;小结:在锐角三角形中由向量加法的三角形法则
