课件21张PPT。 4.1 因式分解北京师范大学出版社八年级数学下册整式乘法号因式分解号学习目标：1.经历从分解因数到分解因式的类比过程感受类比的方法.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系，感受因式分解在解决相关问题中的作用.2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.第一站：自学交流站1.根据导学提纲自学课本92页”做一做“以上部分；2.试着完成导学问题提纲前4题；3.独立完成后互相交流，先完成同学帮助困难同学.你会用简便方法计算吗？ （1） 736×95+736×5
解：原式=736×（95+5）
=736×100
=73600第二站：成果展示站（2） 992—1
解：原式 =（99+1）（99-1）
=100×98
=9800993-99能被100整除吗?
993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以，993-99能被100整除 .关键是把这个数式化成了几个数的积的形式，积中含有这个因数.a3-a能不能被哪些式子整除？这个式子化成了几个整式积的形式
ma+mb+mcm(a+b+c)x2+2x+1(x+1)2因式分解定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式，也叫因式分解.
2.分解的结果要以_____的形式表示； 温馨提示：4.分解前后左右两边相等.3.分解过程每个因式必须是整式；多项式积 1.分解的对象必须是_____；【即学即用】x2+4x+1=x(x+4+ )第三站：深化理解站计算下列算式:
(1)3x(x-1)= _____
(3)(m+4)(m-4)= ____
(4)(y-3)2= _______根据左面的算式填空:
(1)3x2-3x=_______
(2)ma+mb-m=
(3) m2-16=__________
(4) y2-6y+9=______
3x2-3xma+mb-mm2-16y2-6y+93x(x-1) (m+4)(m-4) (y-3)2(2)m(a+b-1) =______ 分解因式与整式乘法是互为逆运算关系.m(a+b-1)积和整式乘法分解因式1.（3a-y）(3a+y)是哪一个多项式因式分
解的结果____2.若x2+3x+m=(x+1)(x+2),则m的值为___【趁热打铁】9a2-y223.若关于x的多项式3x2+mx+n分解因式的结果为（3x+2)(x-1), 求m,n的值.【趁热打铁】解：（3x+2)(x-1)
=3x2-3x+2x-2
=3x2-x-2
所以，3x2-x-2=3x2+mx+n
所以，m=-1, n=-2
你学到了哪些知识？
1.因式分解定义
2.因式分解与整式乘法关系
你掌握了哪些方法？
你明白了什么道理？第四站：颗粒归仓站温馨提示：
每个因式必须是整式；
分解的对象必须是多项式；
分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
分解前后左右两边要相等.第五站：当堂达标站
1.先自主完成
2.再交流互助
当堂达标
1.看谁连得又快又准
x2-y2 (x+3)2
9-25 x 2 y(x -y)
x2+6x+9 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
2.下列从左到右变形哪些是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a-3)= a2-9
（2）m 2-4=( m+2)( m-2) 是
（3）a2-b2+1=( a+b)( a -b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）是3.分解因式的结果是x(x-1)的多项式是（c ）
A. x-x2 B. x2+x C. x2-x D. -x2-x
4.如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ D ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2
D．a2-b2=（a+b）（a-b）
5.若关于x的多项式x2+mx+5分解因式的结果为(x+5)(x+n)，求m,n的值.
6. 16.9× + 15.1× 能被4整除吗？ 整容机
代数诊所里来了两个整式：胖子 和瘦子 ，他俩一进门就对医生诉说起来：“我们俩从来没有生活在一起，长得一点也不像，可有人偏说我俩是双胞胎，我俩今天来的目的就是想检查一下，我们到底是不是双胞胎．”
医生点点头：“你俩跟我来！”然后把胖子 送到一台机器前，机器上方写着“分解因式机”，他把送到机器面前一照，图像很快就在屏幕上显示出来．
惊讶地叫起来：“怎么图像与我是一模一样呀？这是怎么回事呀？”
医生说：“这没有什么奇怪的，你们俩其实就是双胞胎，只不过你通过了这种分解因式机整过容罢了．”
到底怎么回事呢？请预习下节提公因式法讲解.轻松一刻作业：A组：习题4.1第1、2、3题B组：习题4.1第1、2、3、4题终点站教学设计
教学目标: 1.经历从分解因数到分解因式的类比过程感受类比的方法.
2. 经历用几何图形解释因式分解的意义的过程,发展几何直观.
3.了解分解因式的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系;
4.感受分解因式在解决相关问题中的作用.
教学重点和难点：
重点：因式分解的概念
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系解决问题.
教法与学法指导：
教法：引导发现，组织交流，适时点拨，当堂训练．
学法：小组竞学，先自主学习再合作交流，归纳发现探索新知．
课前准备：
教师准备：多媒体课件、导学案．
学生准备：相关知识链接：1.整式：_______和_______统称为整式，_______________________叫单项式，_____________________叫做多项式.
2.复习因数分解和整式乘法的公式并尝试完成导学案．
创设问题情境,引入新课
整式乘法号因式分解号
师：整式乘法号与因式分解号动车在逆向行驶中，那么，数学意义上的因式分解是什么呢？它与整式乘法什么关系呢？这节课我们就来共同乘因式分解号动车探索一下其中的奥秘吧.（播放动车鸣笛声）在这里首先祝大家旅途愉快.
生：热情高涨，欣赏逆向行驶的两动车，小声自语整式乘法号与因式分解号.
【教师板书课题：4.1因式分解】
【设计意图】通过图片让学生初步感受整式乘法与因式分解关系，并渗透本章的重要思想方法——类比，同时也为本节课的学习情境的创设做好铺垫．
师：首先，我们来到第一站：自学交流站.请同学们根据导学问题自学课本92页“做一做”以上部分，然后小组交流，先完成同学帮助困难同学.
导学问题提纲：（多媒体出示）
你会用简便运算完成下列各题吗？
问题1： 736×95+736×5 992-1
2. 993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？每一步的依据是什么？
3.92页“做一做”中左右部分他们的面积都如何表示？相等吗？
你知道什么是因式分解吗？分解因式的对象是什么?分解的结果什么形式？
(生快速按导学提纲自主学习，5分钟后小组交流)
【设计意图】通过自主学习，小组合作从因数分解，几何直观角度归纳获得因式分解的意义.授人以鱼不如授之以渔，授之以渔不如授之以欲．学生从具体内容入手，引发真正有效的学习活动，真正让学生学有所思，具有较强操作性.
下面我们来到第二站：成果展示站：
问题1： 1. 736×95+736×5 2. 992-1
【设计意图】学生对用简便方法进行计算相当熟悉．设计此问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算 ——因数分解这一特殊算法，通过类比自然过渡从而为因式分解的掌握和理解作下铺垫.
问题2：
(1)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？
能被哪些正整数整除关键是把993-99化成了怎样的形式？
探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：
你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？这样变形是为了达到什么样的目的？
【设计意图】问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义,这一环节的设置体现了知识螺旋上升的思想,“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法得到a3-a=(a-1)×a×(a+1)，这个过程对学生来说很自然的从分解因数过渡到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.
问题3：
师：以上同学们完成的都很出色，对于拼图你感兴趣吗？看以下左右部分他们的面积都如何表示？相等吗？哪一小组展示一下结果
生:ma+mb+mc=m(a+b+c)
生:x2＋2x+1=(x+1)2
【设计意图】用拼图前后面积不变解释因式分解的意义，培养学生的几何直观，丰富其对因式分解的理解，学生对图形也比较感兴趣，课堂气氛高涨.
问题4：你知道什么是因式分解吗？
你能从定义中解决以下几个问题吗？（1）分解因式的对象是什么（即左边是什么形式）?(2)分解的结果什么形式？
分解因式除了注意以上两点之外还需注意：（1）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数（2）必须分解到每个因式不能再分解为止.
【教师板书分解因式应注意的四点】
【设计意图】本环节前两个问题的设置旨在引导学生从定义出发加深对因式分解的理解，对于后两点需教师点拨引导才能理解，教师能不讲处则不讲，多放手让学生去发现，去探索.
即学即用：下列各式从左到右的变形哪些是因式分解？
（1）(2)(3)(4)(5)(6)见课件
跟踪练习1.下列各式从左到右的变形其中是因式分解的是:
（1） （2）
（3） （4）
2.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）
（3）a2－4=（a+2）（a－2） （4）x2－3x+2=x（x－3）+2
【设计意图】通过跟踪练习，使学生更好的理解因式分解的概念。
深化理解站，快！比一比，哪小组率先揽胜.
1.计算
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b-1)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；
（4）（y-3）2= ；
2.根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x= ；
（2）ma+mb-m= ;
（3）m2-16= ；
（4）y2-6y+9= ．
思考讨论：（1）第一部分是什么运算？第二部分呢？
（2）相对应题左右两边分别是什么关系？
（3）因式分解与整式乘法有什么关系？
【设计意图】通过这组互逆关系的练习，可以渗透整式乘法与因式分解的关系，认识这一关系很重要，有了这样的认识，就可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确.此过程教师只点拨一下即可,把主动权交给学生,充分发挥学生的主动性.
趁热打铁：1.（3a-y）(3a+y)是哪一个多项式因式分解的结果_____
2.若x2+3x+m=(x+1)(x+2),则m的值为__
3.若关于x的多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，求的值.
(第3题一名学生到黑板完成，其余学生做到导学案上，师巡视，发现有困难的同学给以点拨，学生出现错误不直接指出，要求学生自纠或其他学生帮纠.)
第四站颗粒归仓站
师：乘坐着因式分解号动车，浏览了一路的风景，你是不是满载而归呢？
请整理一下本节课的所学，写在导学案上．
我掌握的概念： ；
我学会的方法： ；
我还懂得了： ．
(学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励．)
【设计意图】全班交流心得，进行归纳总结，有利于学生相互学习，相互促进，共同提高，再者加强反思意识，明确本节课收获和疑惑，便于今后再进步.
第五站当堂达标站
课件出示当堂检测题，要求学生在导学案上5分钟内独立完成。
1.看谁连得又快又准
x2-y2 . (x+3)2
9-25 x 2 y(x -y)
x2+6x+9 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
2.下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a-3)= a2-9（2）m 2-4=( m+2)( m-2)
（3）a2-b2+1=( a+b)( a -b)+1（4）2πR+2πr=2π（R+r）
3.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)分解因式，一个因式是(m-1),则另一个因式是（ ）
A. B. C. 2 D.
4.如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a+b）（a-b）
若关于x的多项式x2+mx+5分解因式的结果为(x+5)(x+n)，求的值.
6. 16.9×+15.1×能被4整除吗？
【设计意图】结合本节课重难点，设置不同梯度的检测题，学生限定时间独立完成，师生纠错，使学生了解自己学习的掌握情况，也便于教师的学情分析.
六、布置作业，课后促学
A组：习题4.1 第1题第2题第3题．
B组：习题4.1 第4题．
【设计意图】分层作业的设置满足不同层次学生学习数学的需要，使各层次学生都能运用所学知识解决问题，既巩固所学，又都能感受到成功的喜悦.
板书设计
4.1因式分解
因式分解的定义：
注意问题：(
(
(
④
因式分解与整式乘法关系：
互逆
学生展示：
达标测试
1.看谁连得又快又准
x2-y2 . (x+3)2
9-25 x 2 y(x -y)
x2+6x+9 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
2.下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a-3)= a2-9 （2）m 2-4=( m+2)( m-2)
（3）a2-b2+1=( a+b)( a -b)+1（4）2πR+2πr=2π（R+r）
3.分解因式的结果是x(x-1)的多项式是（ ）
A. x-x2 B. x2+x C. x2-x D. -x2-x
4.如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a+b）（a-b）
5.若关于x的多项式x2+mx+5分解因式的结果为(x+5)(x+n)，求的值.
6. 16.9×+15.1×能被4整除吗？
