课件24张PPT。课 程：1.1.1正弦定理 学 科：数学 年 级：高一 版 本：人教版 学习目标：1.通过观察、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；
2.能证明正弦定理，了解正弦定理的推导方法；
3.初步掌握正弦定理的两个重要应用。如图，设A、B两点在河的两岸，测量者只有皮尺和测角仪两种工具，无法跨河测量，你能否利用现有工具和解三角形知识，测量A、B两点距离的吗？情景引入复习三角形中的边角关系1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系大角对大边,大边对大角（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角） 1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？探究1 直角三角形边角数量关系两等式间有联系吗？思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?探究2 斜三角形边角数量关系小组1小组2教师展示一般三角形（几何画板）猜想对于任意的斜三角形也存在以下边角数量关系：证明如图: 作AB上的高是CD, 根椐
三角形的定义, 得到ED钝角三角形呢？正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：是否还有其他证明正弦定理得方法？证法二：作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,∵
而∴同理∴ha证法三：应用：定义： 一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。类型一：应用1：正弦定理:已知三角形的任意两个角与一边，解三角形。在 中，若
则 的值分别为？变式练习1：类型二应用2：正弦定理:已知三角形的任意两个角与一边，解三角形。已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形。变式练习2：课堂小结：1.正弦定理及其证明方法 2.正弦定理的主要应用：
已知三角形的两角及一边，解三角形；
已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形；3.化归思想、分类讨论的思想、方程思想等.达标练习：答案：课后作业：1、阅读课本：P8--9
2、书面作业
必做题： P10习题1.1 A组 1，2 选做题：1已知 2已知方程的两根之积等于两根之和，且为三角形的两边，分别为的对角，试判断三角形的形状。《正弦定理》教学设计
正弦定理
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解正弦定理的探索和证明及运用公式解决简单的解三角形问题.
教学目标
知识与技能目标：在创设情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推导并证明正弦定理，简单运用正弦定理解三角形的两类问题。
过程与方法目标：引导学生通过观察，类比，思考，练习，总结，形成认识，归纳出正弦定理培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，体会数形结合的思想。
情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过生生、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生的学习兴趣。
重点: 正弦定理的探索和证明及其应用.
难点：正弦定理的推导与证明及其简单应用.
教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.
易错易混点：根据函数值求角度的大小会忽略角度的范围.
拓展点：如何求三角形外接圆的半径.
教具准备 多媒体课件和三角板
课堂模式 学案导学
一、引入新课
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？
（2）设A、B两点在河的两岸，测量者只有皮尺和测角仪两种工具，无法跨河测量，你能否利用现有工具和解三角形知识，测量A、B两点距离的吗？
教师引导：
若如果借助直角三角形如何求解？
直角三角形可以借助直角三角函数关系，完成AB求解
那么一般三角形中如何求解AB。
若两点在河的两岸，测量者为了计算两点之间距离.在的同侧河岸选定一个点,测量的距离是 . 根据这些数据能解决这个问题吗？
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具。
引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。
这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。
【师生活动】
师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？
先从一般三角形中的边角关系，认识三角形中的边角关系
从角的关系、边的关系、边角关系三个方面认识。
生：“大角对大边，大边对大角”等，完成学案中基础知识的填写。
师：“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？下面我们看一下直角三角形中的边角关系？
生：学生完成直角三角形中的边角关系。
引出课题：“正弦定理”
【设计意图】从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
【设计说明】让学生体会三角形中的边角关系，从而找到确定的数量关系。
二、探究新知
1、 特殊入手，探究证明 ：
师：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
生：在直角三角形ABC中，
师：有没有一个量可以把三个式子联系起来？
生：边c可以把他们联系起来，即，也就是说在Rt△ABC中
师：由此，我们可以发现在直角三角形中，各个边与它所对的角之间存在着某一确定的数量关系。 那么斜三角形也存在这种关系么？
2、分组讨论：
让学生观察这二个等式，分组讨论，找到它们之间的等量关系。
小组1 ：
在等边中，验证是否成立？
小组2：
在等腰中，验证是否成立？
根据式中都有的数据，学生可以得到：
【设计意图】从特殊三角形各角的正弦入手，鼓励、引导学生积极主动地思考，激发学生思维，从而发现正弦定理。学生分组讨论，以提高课堂氛围，同时锻炼学生合作交流的能力。
接着，提出的问题：这个结论对任意三角形也成立吗？学生大胆提出猜想，引出第三环节，深入探究，证明猜想，引导学生进一步对任意三角形作探究。
3、深入探究，证明猜想
利用《几何画板》向学生展示一个任意三角形，并且显示的值，通过改变这个三角形的形状、大小，它们的值改变但均相等，因此我们可以猜想：对任意三角形ABC，都有：
4、推广拓展，探究证明 ：
问题：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “与、 与”的关系呢？
师：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？
生：如图，过C作AB边上的高线CD，化归为两个直角三角形问题，这样我们就可以得到“与、 与、与”的关系式:
师：钝角三角形中又该如何推导正弦定理？
教师提醒学生注意：
证明：由，
即
又因为
又因为
所以
证明二：（外接圆法）如图所示，
∴，
同理 =2R，＝2R.
证明三：（等积法）学生尝试用面积证明正弦定理
学生课下完成证明。
【设计意图】在探究的过程中，发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想。
三、理解新知
师：从上面的探究，我们得到下面的定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
分析：
（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。
（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
师：那么我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？
生：已知三角形的两边与其中一边的对角或者两角与任意一边。
师：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边和角。
师：下面我们来看正弦定理的一些应用。
四、运用新知
例1 在中，已知解三角形
解：根据三角形内角和定理,
根据正弦定理，
[设计意图] 培养学生灵活应用的能力及良好的解题习惯，体会正弦定理的作用，已知两角一边解三角形。
变式练习1：在中，若，则的值分别为？
学生完成在学案上。
总结：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
例2：在中，已知，求
解：根据正弦定理，
或
当时，
当时，
变式练习2：在中，已知
学生完成到学案上
总结：已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．对于已知两边及一对角的情况，让学生感受三角形存在不同解的情况。从而为下一节课做好铺垫，让学生可以阅读课本探究与发现，寻找出现多解的原因.
达标练习：
1.在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2．在中，，则（ ）
A． B. C. D.以上答案都不对
3．在中，，则的值为
4．在中，，则
5．在中，已知，求.
五、课堂小结
师：本节课学习了哪些知识、哪些数学思想方法？
生：1、这节课我们主要学习了正弦定理,以及两类应用正弦定理解决的解三角形问题.
2、通过本节课学习,在研究数学问题时要掌握从特殊到一般、数形结合以及分类讨论的数学思想.
[设计意图]总结提升，重点突出，为学生明确学习的方向，加强学习方法的指导，做到“授人以渔”．
六、布置作业
1、阅读课本：P8--9
2、书面作业
必做题： P10习题1.1 A组 1，2
选做题：1. 已知ABC中，A=60°，，求
2. 已知方程的两根之积等于两根之和，且为三角形的两边，分别为的对角，试判断三角形的形状。
3．课外思考
已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？（分析后可以阅读课本第8、9页内容）
[设计意图]分散难点，循序渐进，在课后让学生先行思考，后面可适当探究。
七、教后反思
1.在正弦定理的教学中，引导学生采用各种方法证明，一题多解开阔思路．对于例题和练习，引导学生发现已知三角形的两边一对角会出现多解的情况，从而自然为下一节做好铺垫，在不知不觉中培养了学生的发现问题，分析问题，解决问题的能力．
2.教学过程中，借助数学学案，学生提前完成学案，对本节知识有了整体的了解和认识，然后借助课堂引导，使学生认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，充分体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。
3.教学情境设计来源生活实际，并应用到生活实际，强调了数学应用意识。通过创设教学情境，激活了学生思维。
4.过程中发现学生做题效率低，计算能力有待加强，平时教学中适当提高学生的做题效率。
5.作为数学教师，激发学生学习数学的热情同时，应不断提高学生分析问题，解决问题的能力。
八、板书设计
1.1.1正弦定理
正弦定理
例1
变式1
例2
变式2
1.1.1正弦定理
班级：______________;姓名:______________
【学习目标】
1.正弦定理的内容和证明.
2.掌握正弦定理的简单应用.
3．化归思想、分类讨论思想等理解.
【学习过程】
一、引例：在中，，求边长
二、复习：
（一）三角形中的边角关系
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
三、正弦定理证明
1在锐角三角形中，设推理
2在钝角三角形中，设推理
四、应用
例1：在中，已知，解三角形
变式练习1：在中，若，则的值分别为？
例2：在中，已知，求
变式练习2：在中，已知，解三角形。
【达标练习】
1．在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2．在中，，则（ ）
A． B. C. D.以上答案都不对
3．在中，，则的值为
4．在中，，则
5．在中，已知，解三角形
【课堂总结】
【作业】
选做题1. 已知ABC中，A=60°，，求
2. 已知方程的两根之积等于两根之和，且为三角形的两边，分别为的对角，试判断三角形的形状。
