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弧、弦、圆心角
【经典例题】
知识点一 利用“弧、弦、圆心角之间的关系定理”进行计算
【例1】如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数．
【分析】根据圆心角的性质和等式的性质解答即可．
【解答】解：∵在⊙O中，AC=BD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC，
∴∠1＝∠2＝30°．
知识点二 利用“弧、弦、圆心角之间的关系定理”进行证明
【例2】已知：如图，MN、PQ是⊙O的两条弦，且QN＝MP，求证：MN＝PQ．
【分析】圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【解答】证明：∵QN＝MP，
∴＝
∴＋＝＋
即＝
∴MN＝PQ
知识点三 利用弧、弦、圆心角之间的关系与垂径定理的综合运用
【例3】如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝
【分析】连结OM、ON，证明Rt△OMC≌Rt△OND，根据全等三角形的性质得到∠COM＝∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．
【解答】证明：连结OM、ON，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，
∴OC＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM=∠DON，
∴＝
知识点四 弧、弦、圆心角之间的关系与圆的对称性综合运用
【例4】如图所示，已知⊙O的半径是1，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，的度数为60°，的度数为30°，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值为( )
A. 2 B. C. D. 1
【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D．
【解答】解：连接DC′，
根据题意以及垂径定理，
得弧C′D的度数是120°，
则∠C′OD＝120°．
作OE⊥C′D于E，
则∠DOE＝60°，则
故选：B
【知识巩固】
1. 如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．
故选：D
2. P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，
∴∠A＝×32°＝16°，∠ADB＝×88°＝44°，
∵∠P＋∠A＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB－∠A＝44°－16°＝28°．
故选：B．
3. 如图，已知A，B，C，D是圆上的点，＝，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
【解答】解：连接BC，
∵＝
∴＋＝＋
∴＝
∴AC＝BD， 故选：C
4. 如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD＝4cm，则CN＝________cm
【解答】解：∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝4cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA ∴CM＝CN＝2cm，
5. 如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于__________
【解答】解：∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝2．
故答案为：2
【培优特训】
6. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于( )
A．40° B．45° C．55° D．80°
【解答】解：连接BF
∵的度数为30°
∴的度数为150°，∠AFB＝15°，
∵G是的三等分点
∴的度数为50°，
∴∠GBF＝25°，
∴∠GHF＝∠GBF＋∠AFB＝40°，
故选：A．
7. 如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC＝50°．则∠D＋∠E＝（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：
∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∴∠AOB＋∠AOC＝360°－100°＝260°，
∵∠D＝(∠BOC＋∠AOC)，∠E＝(∠BOC＋∠AOB)
∴∠D＋∠E＝(∠BOC＋∠AOC＋∠BOC＋∠AOB）
＝（260°＋100°＋100°）
＝230°．
故选：B．
8. 点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB－BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵
∴边
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵
∴
故选：D
9. 如图，C为弧AB中点，OA⊥CD于M，CN⊥DB于N，且BD为直径，ON＝2
求：（1）∠DOM的度数；（2）CD的长．
【解答】解：（1）∵OA⊥CD于M，
∴＝
∵＝
∴＝＝
∵BD为直径，
∴∠DOM＝×180°=60°；
（2）连接OC，
∵OA⊥CD，∠DOM＝60°，
∴∠D＝30°，
∴CD＝2CN
∵＝＝
∴∠CON＝60°，
∴∠OCN＝30°，
∵CN⊥DB于N，
∴OC＝2ON＝4
∴
∴CD＝2CN＝2×＝
10. 如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE＝OF，那么与的大小有什么关系？为什么？
【解答】（1）解：OE＝OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
∠EOB＝∠AOB，
∠FOD＝∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠EOB＝∠FOD，
在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE＝OF．
（2）解：＝，AB＝CD，∠AOB＝∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在Rt△BEO和Rt△DFO中
∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE＝DF，
由垂径定理得：AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD，
∴＝
【中考链接】
11. 如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
故选：A．
12. 如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( )
A．51° B．56° C．68° D．78°
【解答】解：∵＝＝，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD=34°，
∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×(180°－78°)＝51°．
故选：A．
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴的度数为50°
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弧、弦、圆心角
【经典例题】
知识点一 利用“弧、弦、圆心角之间的关系定理”进行计算
【例1】如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数．
【分析】根据圆心角的性质和等式的性质解答即可．
【解答】解：∵在⊙O中，AC=BD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC，
∴∠1＝∠2＝30°．
知识点二 利用“弧、弦、圆心角之间的关系定理”进行证明
【例2】已知：如图，MN、PQ是⊙O的两条弦，且QN＝MP，求证：MN＝PQ．
【分析】圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【解答】证明：∵QN＝MP，
∴＝
∴＋＝＋
即＝
∴MN＝PQ
知识点三 利用弧、弦、圆心角之间的关系与垂径定理的综合运用
【例3】如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝
【分析】连结OM、ON，证明Rt△OMC≌Rt△OND，根据全等三角形的性质得到∠COM＝∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．
【解答】证明：连结OM、ON，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，
∴OC＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM=∠DON，
∴＝
知识点四 弧、弦、圆心角之间的关系与圆的对称性综合运用
【例4】如图所示，已知⊙O的半径是1，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，的度数为60°，的度数为30°，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值为( )
A. 2 B. C. D. 1
【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D．
【解答】解：连接DC′，
根据题意以及垂径定理，
得弧C′D的度数是120°，
则∠C′OD＝120°．
作OE⊥C′D于E，
则∠DOE＝60°，则
故选：B
【知识巩固】
1. 如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2. P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
3. 如图，已知A，B，C，D是圆上的点，＝，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BE＝CD
C．AC＝BD D．BE＝AD
4. 如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD＝4cm，则CN＝________cm
5. 如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于__________
【培优特训】
6. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于( )
A．40° B．45° C．55° D．80°
7. 如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC＝50°．则∠D＋∠E＝（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
8. 点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，C为弧AB中点，OA⊥CD于M，CN⊥DB于N，且BD为直径，ON＝2
求：（1）∠DOM的度数；（2）CD的长．
10. 如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE＝OF，那么与的大小有什么关系？为什么？
【中考链接】
11. 如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( )
A．40° B．45°
C．50° D．60°
12. 如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( )
A．51° B．56°
C．68° D．78°
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________
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