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2019年中考几何专题精讲精练教师版
专题一 正方形内的两对边上动点连线段模型及练习
一、知识储备：
1、 两点之间线段最短
2、 平移与翻折性质
3、 平行线等分线段定理
4、 线段垂直平分线定理
5、 勾股定理
6、 三角形全等判定与性质
7、 特殊四边形性质与判定
8、 直角三角形斜边上中线等于斜边一半
二、方法与技巧：平移构造、中点构造、化折为直、方程思想等
三、基本几何模型与变式：
中考原题：（2018·湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．
解：（1）证明：在正方形ABCD中， AD＝AB，∠DAB＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，,∴△DAF≌△ABE（SAS）
（2）∵△DAF≌△ABE,∴∠ADF＝∠BAE,又∠DAF＝90°,∴∠DAO＋∠BAE＝90°,∴∠DAO＋∠ADF＝90°,∴∠AOD＝90°
结构探究一：如图，E,F分别是正方形ABCD边AD,CD上一动点，
(1) 若AF=BE时，则有AF⊥BE
(2) 若AF⊥BE时，则有AF=BE
结构探究二：如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,CD上的动点，M,N分别是AD,BC边上的动点，连EF,MN
（1）当MN⊥EF时，则有MN=EF
（2）：当MN=EF时，则有MN⊥EF
证明：探究一：如图，当MN⊥EF时，
过A作AK∥MN交BC于K，过B作BG∥EF交CD于G，∵ABCD为正方形，∴AB∥CD,AD∥BC，∠ABC=∠C=90°;由AB∥CD，AK∥MN可得AMNK为平行四边形,∴AK=MN,AK⊥EF;同理可证BEFG为平行四边形； ∴∠AKB+∠KBG=∠BAK+∠AKB=90°, ∴∠KBG=∠BAK;在△ABK和△BCG中，,∴△ABK≌△BCG(ASA), ∴AK=BG，又AK=MN,BG=EF，∴EF=MN;
探究二：如图，当MN=EF时，过A作AK∥MN交BC于K，过B作BG∥EF交CD于G，∵ABCD为正方形，∴AB∥CD,AD∥BC，∠ABC=∠C=90°;由AB∥CD，AK∥MN可得AMNK为平行四边形,∴AK=MN,同理可证BEFG为平行四边形；∴AK=MN=EF=BG，在△ABK和△BCG中，,∴△ABK≌△BCG(HL), ∴∠KBG=∠BAK;而∠BAK+∠AKB=90°, ∴∠AKB+∠KBG=90°, ∴AK⊥BG,又EF∥BG，∴AK⊥EF，而AK∥MN，∴MN⊥EF
提炼模型：正方形内相对两边上动点连线段，如果这两条线段垂直，则必相等；反之，如果这两条线段相等，那么则一定垂直；
方法总结：平移是一种重要的数学方法，利用平移构造转化，补成全等图形和平行四边形。
模型运用：
跟进练习1：如图，E,F分别是正方形ABCD边AB,CD边上动点，K在BC边上，且BK=3,连EF，将正方形沿EF翻折后得四边形EFGK，D与G对应且A点恰与K重合，正方形边长为9
（1）求折痕EF长
（2）求DF长
解：(1)连AK，由翻折可知，EFGK与EADF关于EF对称，∴AK⊥EF，则可作BM∥EF，回到正方形内对边连线段垂直模型证明知AM=EF,在△ABK中，由勾股定理可知AK=,则折痕MN=
(2) 由翻折可知AE=EK,设AE=x,则BE=9-x, 由得，得x=5, ∴BE=4,由模型证明过程知FM=BE=4,CM=BK=3, ∴DF=DC-FM-CM=9-4-3=2
跟进练习2： 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD,CD上两个动点，满足AF=BE．连接AF与BE交于点H．若正方形的边长为6，求线段DH长度的最小值_．
解：如图，由正方形内对边线段模型可知BE=AF时有AE⊥AF,∴∠AGB=90°,△ AGB为直角三角形，取AB中点O,
∴OG=AB=3，OD=;由两点之间线段最知可知，GD≤DO-OG=所以当OGD三点共线时取等号，即DG最小值为
跟进练习3：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，求线段DH长度的最小值是_．
解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，由 可得△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2．同理可证△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°-90°=90°．
取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=3，在Rt△AOD中，OD=
由两点之间线段最短可知，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，DH的最小值为OD-OH=
跟进练习4：（2018·济宁）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N．若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
解：（1）CF＝2DG．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，∠ADC＝90°．
∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴DE＝AD，CF＝BC．∴DE＝CF＝CD．
∵∠ADC＝90°，EH⊥DF，∴∠CDF＋∠EDF＝90°，∠DEG＋∠EDF＝90°．∴∠CDF＝∠DEG．
在Rt△FCD中，tan∠CDF＝＝．在Rt△DEG中，tan∠DEG＝．∴＝．∴CF＝2DG．
（2）如答图所示．在NB上取NQ＝NC，连接DQ交MN于点P．∵MN∥CD，CD⊥BC，∴MN⊥BC．又∵NQ＝NC，∴PC＝PQ．∴PD＋PC＝PD＋PQ＝DQ．由“两点之间，线段最短”知，此时PD＋PC最短．又∵CD＝10，∴此时△PDC的周长＝PD＋PC＋CD＝PD＋PC＋10最短．∵MN∥CD，∴∠MHD＝∠CDF．∴tan∠MHD＝＝tan∠CDF＝．∴MH＝2MD．设MD＝，则MH＝．同理ME＝2MH＝．∴DE＝．∴CD＝2DE＝＝10．∴＝1．∴CQ＝2DM＝2．在Rt△CDQ中，由勾股定理得DQ＝＝＝．∴△PDC周长的最小值为．
跟进练习5：（2018·聊城市）如图，正方形ABCD中， E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.
（1）求证：AE=BF.
（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长.
解答过程：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，
，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；
（2）由（1）得△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∵正方形边长是5，BE=2，∴DF=CD﹣CF= CD﹣BE=5﹣2=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF====．
跟进练习6：(2018·常德)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO＝NO；
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM＝AB；
（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当ME⊥EC时，求证：AN2＝MC．AC
SHAPE \* MERGEFORMAT
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，OD＝OA，∵DH⊥AE，∴∠ODN＝∠NAH，∴△DON≌△AOM，∴OM＝ON．
（2）∵BD⊥AC，EN∥BD，∴EN⊥AC，∠DNE＝∠NDO，∵∠ADC=900,∴D，A，N，E四点在同一个圆上，∴∠DNE＝∠DAE=∠NDO，∵DN⊥AE，∠DMH＝∠BMA=∠BAM，∴MB＝AB;
（3）连接NM并延长交AD于G，仿照（1）易证OM＝ON，DM＝CN，∴MN∥DC，∴△AGN为等腰直角三角形，所以AN2＝2GN2．∵DN⊥AE，EN⊥CD，BD⊥AC，∴△DEH∽△DNE，O，N，H，M四点共圆，∴DE:DN＝DH:DE，所以DE2＝DN·DH＝DM·DO，所以2DE2＝DM·2DO＝CN·AC，所以AN2＝CN·AC
跟进练习7：在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；
（2）求证：ME+NF=EF．
解：（1） 如图1，过N作NG⊥AB于G，∴四边形AGND是矩形，∴NG=AD，∴AB=AD=GN，∵AP⊥MN，∴∠AEM=90°，∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△ABP与△NGM中，，∴△ABP≌△NGM，∴MN=AP，在Rt△ABP中，AB=9，BP=3，∴AP=，∴MN=；
（2）证明：如图2，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T连接AF，PF，∵MN垂直平分AP，∴AE=PE，AF=PF，∵PH∥AB，∴∠MAE=∠HPE，在△AME与△PHE中，，∴△AME≌△PHE，∴ME=HE，∵∠TDF=∠FBP=45°，∴TD=TF，FS=BS，∵四边形ABST是矩形，∴BS=AT，∴FS=AT，在Rt△FPS与Rt△ATF中，， ∴Rt△FPS≌Rt△ATF，∴PS=TF，∴PS=TD，∵四边形TSCD是矩形，∴TD=SC，∴PS=SC，∵PH∥TS∥CD，∴HF=FN，∴ME+NF=EF．
跟进练习8：如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP=MN；
如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．
（1）求证：EF=ME+FN；
（2）若正方形ABCD的边长为2，分别求出线段EF的最小值和最大值．
解：（1）AP=MN，理由如下：如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形，∵BH=AP，∴MN=AP
（2）连接FA，FP，FC∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA=FC，又∵FE垂直平分AP， ∴FA=FP，∴FP=FC，∴∠FPC=∠FCP，∵∠FAB=∠FCP，∴∠FAB=∠FPC，∴∠FAB+∠FPB=180°，∴∠ABC+∠AFP=180°，∴∠AFP=90°，∴FE=AP，又∵AP=MN∴ME+EF=AP，∴EF=ME+FN
（3）由（2）有，EF=ME+FN，
∵MN=EF+ME+NF，∴EF=MN，∵AC，BD是正方形的对角线，∴BD=2，
当点P和点B重合时，EF最小=MN=AB=1，
当点P和C重合时，EF最大=MN=BD=，
跟进练习9：如图，正方形ABCD中，点P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，点M为垂足，交两边于点E、F，连接PN，
求证：
（1）∠DNP=∠DAP；
（2）PC=BN；
（3）为常数；
（4）MN=MF+NE．
解：（1）过N作ST‖BC分别交AB、DC于S、T，如图所示：则ST⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=ST，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴△BSN是等腰直角三角形，∴SB=SN，∠BNS=45°，∴SA=TN，∵线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，∴AN=PN，在△RtASN和Rt△NTP中，∴Rt△ASN≌Rt△NTP（HL），∴∠SAN=∠TNP，∵∠SAN+∠ANS=90°，∴∠TNP+∠ANS=90°，∴∠ANP=90°，∴∠PAN=45°，∴∠SAN+∠DAP=45°，∴∠DAP=45°-∠SAN，∵∠DNT=∠BNS=45°，∴∠DNP=∠DNT-∠PNT=45°-∠TNP，∴∠DNP=∠DAP；（2）由（1）得：PC=PT+TC=SN+SB，△BSN是等腰直角三角形，SB=SN，∴PC=SN+SB=BN；
（3）正确；设正方形ABCD的边长为a，
则DP+DC=2a-PC=2a-BN=（a-BN），DN=BD-BN═a-BN，
∴；
（4）正确；过P作AD的平行线交MN于K，如图所示：∵AM=PM，∴MF=MK，由（1）得：PT=SN=SB=CT，TN∥BC∥PK，∴NE=NK，∴MN=MF+NE；
跟进练习10：如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCD边OC与x轴正半轴重合，OA边与y轴正半轴重合，E是线段OC上一动点，连AE，作EF⊥AE交∠DCO外角平分线于P,
(1) 求证：AE=EP
(2) 若正方形边长为5，E(m,0)在y轴上是否存在一点M，使四边形DMEP为平行四边形？若存在，用t表示M点的坐标；并判断是否存在t，DMEP为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由
解：（1）如图，在OA边上取OB=OE，则△BOE为等腰直角三角形，∴∠OBE=45°,∴∠ABE=135°;∵CP是∠C外角的平分线，∴∠DCP=45°,∴∠ECP=135°, ∴∠ECP=∠ABE又AO-OB=OC-OE,则AB=EC; ∵AE⊥EP, ∴∠PEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°, ∴∠PEC=∠OAE,在△ABE和△ECP中，,∴△ABE≌△ECP，∴AE=PE;
(2)如图2，过E作EM∥DP交AO于M,若DMEP是矩形，则必有ME=DP，∠DME=90°,作PN⊥OC于N, PG⊥CD于G,则易证PGCN为正方形，在△AOE和△ENP中，,∴△AOE≌△ENP，∴OE=PN; ∴PG=OE; 在Rt△DGP和Rt△MOE中，,∴Rt△AOE≌Rt△ENP，∴OM=DG;∵OE=t，则CG=PG=OE=t, ∴DG=OM=5-t,AM=t,由∠DME=90°可得∠AMD+∠OME=∠AMD+∠ADM=90°, ∴∠OME=∠ADM, ∴Rt△AOE～Rt△ENP, ∴,即，得t=0, ∴E在线段OC上运动时，存在M(5-t,0)使得PDME为平行四边形，但不可能使PDME为矩形
跟进练习11：在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．
（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是等腰直角三角形；
（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断△QPM的形状并加以证明；
（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．
解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC=45°，∵点M、N分别为BC、AP的中点，∴MN∥AC，∴∠BQM=∠BOC=90°，∴∠QMB=45°，∴△QPM是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．
（2）①如图2，
②△QPM的形状是等腰三角形，如图3，延长BC至E，使CE=BP，连接AE，∵PB=CE，∴PB+BC=CE+BC，即CP=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，在△DCP和△ABE中，
∴△DCP≌△ABE，∴∠DPC=∠E，∵M为BC的中点，∴MB=MC，∴MB+BP=MC+CE，即MP=ME，∴M为PE的中点，∵N为AP的中点，∴MN∥AE∴∠NMP=∠E，∴∠DPC=∠NMP，∴QM=QP，∴△QPM是等腰三角形．
（3）求解思路如下：a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE=BP，连接AE，如图4．
b，由（2）可得QM∥AE，可证
c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而．
d，可得．
e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′=BP=CE，设BP′=BP=CE=x，由AD=BC=2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．
跟进练习12：(2017·宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．
（1）当OM经过点A时，
①请直接填空：ON不可能（可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）
②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形．
（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．
解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，
∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，
∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，
∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，
∴ON不可能过D点，
故答案为：不可能；
②∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，
∴四边形EFCH为矩形，
∵∠MON=90°，
∴∠EOF=90°-∠AOB，
在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，
∴∠EOF=∠BAO，
在△OFE和△ABO中
∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，
又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；
（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，∴△PKO∽△OBG，∵S△PKO=4S△OBG，
∴,∴OP=2，∴S△POG=OG OP=×1×2=1，
设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=1，
∴b=，
∴
∴当a2=时，△OBG有最大值，此时S△PKO=4S△OBG=1，∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．
图1
图2
图3
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2019年中考几何专题精讲精练学生版
专题一 正方形内的两对边上动点连线段模型及练习
一、知识储备：
1、 两点之间线段最短
2、 平移与翻折性质
3、 平行线等分线段定理
4、 线段垂直平分线定理
5、 勾股定理
6、 三角形全等判定与性质
7、 特殊四边形性质与判定
8、 直角三角形斜边上中线等于斜边一半
二、方法与技巧：平移构造、中点构造、化折为直、方程思想等
三、基本几何模型与变式：
中考原题：（2018·湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．
结构探究一：如图，E,F分别是正方形ABCD边AD,CD上一动点，
(1) 若AF=BE时，则有AF⊥BE
(2) 若AF⊥BE时，则有AF=BE
结构探究二：如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,CD上的动点，M,N分别是AD,BC边上的动点，连EF,MN
（1）当MN⊥EF时，则有MN=EF
（2）：当MN=EF时，则有MN⊥EF
提炼模型：正方形内相对两边上动点连线段，如果这两条线段垂直，则必相等；反之，如果这两条线段相等，那么则一定垂直；
方法总结：平移是一种重要的数学方法，利用平移构造转化，补成全等图形和平行四边形。
模型运用：
跟进练习1：如图，E,F分别是正方形ABCD边AB,CD边上动点，K在BC边上，且BK=3,连EF，将正方形沿EF翻折后得四边形EFGK，D与G对应且A点恰与K重合，正方形边长为9
（1）求折痕EF长
（2）求DF长
跟进练习2： 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD,CD上两个动点，满足AF=BE．连接AF与BE交于点H．若正方形的边长为6，求线段DH长度的最小值_．
跟进练习3：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，求线段DH长度的最小值是_．
跟进练习4：（2018·济宁）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N．若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
跟进练习5：（2018·聊城市）如图，正方形ABCD中， E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.
（1）求证：AE=BF.
（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长.
跟进练习6：(2018·常德)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO＝NO；
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM＝AB；
（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当ME⊥EC时，求证：AN2＝MC．AC
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跟进练习7：在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；
（2）求证：ME+NF=EF．
跟进练习8：如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP=MN；
如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．
（1）求证：EF=ME+FN；
（2）若正方形ABCD的边长为2，分别求出线段EF的最小值和最大值．
跟进练习9：如图，正方形ABCD中，点P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，点M为垂足，交两边于点E、F，连接PN，
求证：
（1）∠DNP=∠DAP；
（2）PC=BN；
（3）为常数；
（4）MN=MF+NE．
跟进练习10：如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCD边OC与x轴正半轴重合，OA边与y轴正半轴重合，E是线段OC上一动点，连AE，作EF⊥AE交∠DCO外角平分线于P,
(1) 求证：AE=EP
(2) 若正方形边长为5，E(m,0)在y轴上是否存在一点M，使四边形DMEP为平行四边形？若存在，用t表示M点的坐标；并判断是否存在t，DMEP为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由
跟进练习11：在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．
（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是等腰直角三角形；
（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断△QPM的形状并加以证明；
（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．
跟进练习12：(2017·宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．
（1）当OM经过点A时，
①请直接填空：ON不可能（可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）
②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形．
（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．
图1
图2
图3
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