课件16张PPT。书写过程分析思路一.王戎的故事 王戎(生于魏青龙元年，卒于晋永兴二年，233-305)字睿冲，琅琊临沂人。晋司徒、封安丰县侯，出身魏晋高门琅琊王氏。他是”竹林七贤”之一。 情景 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。 路边苦李 小故事小伙伴问王戎:“这就奇怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”王戎运用了怎样的推理方法?如果你就是王戎，应该如何回答2.2.2反证法什么是“反证法”？
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾因此说明假设不成立，从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。①反设；②归谬； ③结论。反证法是间接证明的一种基本方法试一试 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设结论不成立，即：
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,
∠C ___ 60°,
则∠A+∠B+∠C＞180 °.这与
_____________________相矛盾.
所以______不成立，所求证的
结论成立.＜＜＜三角形内角和等于180° 假设 用反证法证明命题：三角形内角中，至少有一个
不大于 60°时.假设正确的是 （ ）
A. 假设三内角都不大于60°
B. 假设三内角都大于60°
C. 假设三内角至少有一个大于60°
D. 假设三内角至多有两个大于60° B. 小于或等于至少有一个——
至少有三个——
至少有n个——
最多有一个——常用的互为否定的表述方式：一个也没有至多有两个至多有(n-1)个至少有两个≥1＜1≥3＜3≥n＜n≤1＞1准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x,成立等于某个﹁p或﹁q
﹁p且﹁q
存在某x，
不成立
典型例题例2练习其中导出矛盾是关键，常见的归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。①反设；②归谬； ③结论。1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
分析思路书写过程正难则反 英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：归谬法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！谢谢指导 选修2-2 反证法教学设计
一、教学目标
1.知识与能力
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.
2.过程与方法
了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.
3.情感、态度、价值观
培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力.让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感.
二、教学重点与难点
重点：1、理解反证法的概念.
2、掌握反证法证题的步骤及体会反证法证明命题的思路方法
3、能利用反证法证明相关的数学问题。
难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。
三、学法指导
通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，总结反证法证题的基本步骤。反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.
四、【教学过程】
一、引入新课
上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。一般的，我们用综合法来书写过程，用分析法来书写步骤，那么还用没有其他的证明方法呢？
2、情景创设-----王戎的故事
王戎(生于魏青龙元年，卒于晋永兴二年，233-305)字睿冲，琅琊临沂人。晋司徒、封安丰县侯，出身魏晋高门琅琊王氏。他是”竹林七贤”之一.
小故事-----《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。
小伙伴问王戎:“这就奇怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?” 假如你就是王戎，应该如何回答 ？
【设计意图】通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。
王戎运用了怎样的推理方法?
二、探究新知
反证法是间接证明的一种基本方法。
（1）反证法定义：
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾因此说明假设不成立，从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
（2）反证法证题的基本步骤：
1．假设原命题的结论不成立；（假设）
2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）
3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）
三、理解新知
写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.
【设计意图】能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设结论不成立，即：∠A___ 60°, ∠B __60°,∠C __ 60°,则∠A+∠B+∠C＞180 °.这与___________________相矛盾.
所以______不成立，所求证的结论成立.
变式练习: 用反证法证明命题：三角形内角中，至少有一个不大于 60°时.假设正确的是 （ ）
A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至少有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
常用的互为否定的表述方式：
至少有一个_______ 至少有三个________
至少有n个________ 最多有一个________
【设计意图】理清至多和至少弄清反设词，为用反证法证明做好铺垫。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?
结论词
反设词
结论词
反设词
不等于
任意的
不是
至少有一个
都是（全是）
至多有一个
大于
至少有n个
小于
至多有n个
p且q
p或q
对所有x,成立
对任何x，不成立
四、运用新知
【设计意图】：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单，让学生明确用反证法证明问题的基本步骤。
【五】巩固提高
【设计意图】由于上一章学习的函数，希望学生利用反证法解决函数问题，尤其是解决零点问题方法---求单调性来找矛盾.
练习.已知。求证：中至少有一个小于2.
【设计意图】：结论中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法.
五、课堂小结
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
其中导出矛盾是关键，常见的归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾.
引用英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：归谬法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！点题总结.
六、作业
课本91页A组1（存在唯一性问题）、4
七、 板书设计
练习
反证法
步骤： 典例
例1
练习
例2
练习
反证法练习
班级____________ 姓名____________ 分数___________
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
7．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
10．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________．
11．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于．
