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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§2.3《用公式法求解一元二次方程》（原题卷）
一.选择题:(每小题5分 共25分)
1. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
2. 下列方程中，原方程无解的是（ ）
A. x2+3x+7=0 B. x2-4=0 C. x2+x-1=0 D. -x2+2x-1=0
3.a，b，c为常数，且（a-c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 有一根为0
4.y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（ ）
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根
5.已知α是一元二次方程-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ）
A. 0＜α＜1 B. 1＜α＜1.5 C. 1.5＜α＜2 D. 2＜α＜3
二.填空题:(每小题5分 共25分)
6. 已知关于x的方程的一个根是2，那么c＝____________，另一根为________．
7. 菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积为 ___________.
8.如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是____________．
9.方程（x+1）（x-2）=1的根是____
10.关于x的方程kx2-4x-4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为__________．
三、解答题:(每小题10分 共50分)
11.利用公式法解下列方程：
（1）x2+12x-15=0 （2）
(3)－3x 2＋6x＝1 （4）4y2=12y+3
12.已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值．
13.已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
14.定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：-3☆2=（-3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况．
15.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2-4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=-，…第一步
x2+x+（）2=-+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2-4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ．
用配方法解方程：x2-2x-24=0．
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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§2.3《用公式法求解一元二次方程》（解析卷）
一.选择题:(每小题5分共25分)
1. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】解：∵a=2，b=﹣3，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×5=﹣31＜0，∴方程没有实数根．故选C．
2. 下列方程中，原方程无解的是（ ）
A. x2+3x+7=0 B. x2-4=0 C. x2+x-1=0 D. -x2+2x-1=0
【答案】A
【解析】解：A．∵x2+3x+7=0，∴a=1，b=3，c=7，∵△=9-28＜0，∴方程无实数根，本选项符合题意；
B．∵a=1，b=0，c=-4，∴△=0+16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意；
C．∵a=1，b=1，c=-1，∴△=1+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意；
D．∵a=-1，b=2，c=-1，∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项符合题意；
故选A．
3.a，b，c为常数，且（a-c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 有一根为0
【答案】B
【解析】试题分析：由（a-c）2＞a2+c2得出－2ａｃ＞０，因此△＝ｂ２－4ａｃ＞０，所以方程有两个不相等的实数根，故答案选Ｂ.
4.y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（ ）
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】∵y=x+1是关于x的一次函数,
，
.
∴方程没有实数根；
故选A.
5.已知α是一元二次方程-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ）
A. 0＜α＜1 B. 1＜α＜1.5 C. 1.5＜α＜2 D. 2＜α＜3
【答案】C
【解析】试题分析：解一元二次方程x2﹣x﹣1=0可得，因α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，所以α=；又因2＜＜3，所以1．5＜＜2，故答案选C．
二.填空题:(每小题5分共25分)
6. 已知关于x的方程的一个根是2，那么c＝____________，另一根为________．
【答案】(1). 8, (2). 4
【解析】解：∵方程x2-6x+c=0的一个根为2，设另一个为a，∴2+a=6，2a=c，解得：a=4，c=8，则c=8，方程的另一根是4．故答案为：8；4．
7. 菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积为 ___________.
【答案】24
【解析】解：x2﹣14x+48=0，解得：x=6或x=8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．
8.如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是____________．
【答案】；
【解析】∵关于x的方程x2 3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=( 3)2 4×1×k=9 4k=0，
解得：k=.
故答案为：.
9.方程（x+1）（x-2）=1的根是____
【答案】
【解析】试题分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
试题解析：解：整理得：x2﹣x﹣3=0，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，x=，x1= ，x2=，故答案为：x1= ，x2=．
10.关于x的方程kx2-4x-4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为__________．
【答案】1；
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，
解得k＞-1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．
故k的最小整数值为1.
三、解答题:(每小题10分共50分)
11.利用公式法解下列方程：
（1）x2+12x-15=0 （2）
(3)－3x 2＋6x＝1 （4）4y2=12y+3
【答案】（1） ；（2）；
（3）；（4）.
【解析】试题分析：方程整理成一般形式后，用求根公式计算即可．
试题解析：解：（1）a=1，b=12，c=-15．△=b2-4ac=122+4×1×15＞0，x==，∴，；
（2）a=3，b=﹣6，c=-12，∴△=b2﹣4ac=36+4×3×12＞0，x= =，∴，；
（3）整理得：－3x 2＋6x-1=0，a=-3，b=6，c=-1，∴△=b2﹣4ac=36-4×3×1=24，x==，∴，；
（4）整理得：4y2-12y-3=0，a=4，b=﹣12，c=-3，∴△=b2﹣4ac=144+4×4×3＞0，y==，∴， ．
12.已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】
【解析】根据题意，得
（2m-1） -16=0
4m -4m-15=0
（2m+3）（2m-5）=0
2m+3=0或2m-5=0
m=或m=
13.已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】试题分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
14.定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：-3☆2=（-3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况．
【答案】见解析
【解析】试题分析：根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论．
试题解析：∵2☆a的值小于0，∴＜0，解得：a＜0．
在方程中，△=≥﹣8a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
15.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2-4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=-，…第一步
x2+x+（）2=-+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2-4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第 四步开始出现错误；事实上，当b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ．
用配方法解方程：x2-2x-24=0．
【答案】第四步, x=; x1=6，x2=-4．
【解析】试题分析：（1）观察嘉淇的解法找出出错的步骤，写出求根公式即可；
（2）利用配方法求出方程的解即可．
试题解析：解：（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x= ；
故答案为：四；x=；
（2）x2﹣2x=24，配方得：x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得：x﹣1=±5，解得：x1=6，x2=﹣4．
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