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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§2.4《用因式分解法求解一元二次方程》（解析卷）
一.选择题:(每小题5分 共25分)
1. 方程x2＝x的根为( )
A. x＝1 B. x1＝1，x2＝0 C. x＝－1 D. x1＝－1，x2＝0
【答案】B
【解析】解：，x（x-1）=0，∴x1＝1，x2＝0．故选B．
2.若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为（ ）
A. 4或-2 B. 4 C. -2 D. -4
【答案】B
【解析】解：，∴，∴或（舍去），∴．故选B．
3.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
【答案】B
【解析】试题分析：解，得(x-5)(x-7)=0，∴x1=5,x2=7
又∵3,4,7不能组成三角形；∴x=5
则周长为3+4+5=12，故选B
4.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A. (2x－2)(3x－4)＝0，∴2－2x＝0或3x－4＝0
B. (x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1
C. (x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D. x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
【答案】A
【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤依次分析各项即可判断.
A.(2x－2)(3x－4)=0，∴2－2x=0或3x－4=0，本选项正确；
B.(x+3)(x－1)=1，x2－x+3x－3－1=0，x2+2x－4=0，故错误；
C.(x－2)(x－3)=2×3，x2－3x－2x+6－6=0，x2－5x=0，x(x－5)=0，故错误；
D.x(x+2)=0，∴x=0，x+2=0，故错误；
故选A.
5.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11
【答案】D
【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选D．
二．填空题:(每小题5分 共25分)
6.方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．
【答案】1或
【解析】原方程可化为为：，
∴或，
∴或.
7.关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为_____．
【答案】x1=4，x2=﹣1
【解析】∵方程是关于的一元二次方程，
∴ ，解得：，
∴原方程为：，化简得：，解得：.
∴原方程的解为：.
8.若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．
【答案】5
【解析】试题解析：∵a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，
∴a2-5a+m=0①，a2-5a-m=0②，
①+②，得2（a2-5a）=0，
∵a＞0，
∴a=5．
9.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对（x，-2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=___________．
【答案】-5或1
【解析】解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为：﹣5或1．
10.若方程x2-7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是_______________．
【答案】5
【解析】解：解方程x2﹣7x+12=0，解得x=3，x=4；由勾股定理得：斜边长==5．故答案为：5．
三．解答题:(每小题10分 共50分)
11. 解方程：
①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；
②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；
③（x+3）（x﹣1）=5；
④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．
【答案】①x1=1+，x2=1﹣②x1=1，x2=﹣③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1
【解析】试题分析：
（1）、（2）按题中指定方法解答即可；
（3）先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可；
（4）根据方程特点用“因式分解法”解方程即可.
试题解析：
①移项得：x2﹣2x=
配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2=，
∴x﹣1=±
∴ x1=1+，x2=1﹣．
② ∵在方程4x2﹣3x﹣1=0中，a=4，b=﹣3，c=﹣1，
∴ △ =9+16=25
x=，
∴x1=1，x2=﹣．
③原方程整理得：x2+2x﹣8=0，
(x+4)(x﹣2)=0，
∴ x1=﹣4，x2=2．
④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0，
(5y﹣5)(y+1)=0，
∴ y1=1，y2=﹣1．
12.读题后回答问题：
解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：
解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.
请回答：
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？
(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．
【答案】(1)不正确;(2) x1＝3，x2＝－5
【解析】试题分析：（1）错误.因为丢了解.
(2)正确应该因式分解.
试题解析：
解(1)因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x＋5＝0时，方程两边仍相等．
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x－3)(x＋5)＝0，
∴x1＝3，x2＝－5.
点睛：解方程易错点
例如：(1)
x(x-1)=0,
.
切不可直接两边约分.
(2)x (x-1)=12
(x-4)(x+3)=0
x=4,x=-3
需要化成一元二次方程的一般形式，再选择适合的方法计算,很多学生会错误的直接计算，而漏掉根.
13.若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
【答案】(1) x1=2，x2=-4;(2) x1=2，x2=-4;(3)
【解析】试题分析：要注意a※b=4ab新定义的运算方法，把已知数按照运算法则代入即可求值，后两问将数值代入后得到了两个方程，解方程即可．
试题解析：解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60；
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，4x2+8x﹣32=0，即x2+2x﹣8=0，∴x1=2，x2=﹣4；
（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=．
14.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长．
【答案】14.
【解析】试题分析：将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
试题解析：解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2，∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．
15.用“十字相乘法”解方程：
（1）x2-4x＋3＝0；（2）x2-2x-3＝0；（3）10x2-x-3＝0；（4）(x＋6)(x-7)＝14
【答案】（1）；（2）；(3);(4)
【解析】试题分析：把方程整理成一般形式，用十字相乘法分解因式即可．
试题解析：解：（1）（x-3）（x-1）=0，∴，；
（2）（x+1）（x-3）=0，∴，；
（3）（2x+1）（5x-3）=0，∴，；
（4），∴（x+7）（x-8）=0，∴，．
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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§2.4《用因式分解法求解一元二次方程》(原题卷）
一.选择题:(每小题5分 共25分)
1.方程x2＝x的根为( )
A. x＝1 B. x1＝1，x2＝0 C. x＝－1 D. x1＝－1，x2＝0
2.若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为（ ）
A. 4或-2 B. 4 C. -2 D. -4
3.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
4.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A. (2x－2)(3x－4)＝0，∴2－2x＝0或3x－4＝0
B. (x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1
C. (x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D. x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
5.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11
二．填空题:(每小题5分 共25分)
6.方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．
7.关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为_____．
8.若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．
9.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对（x，-2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=___________．
10.若方程x2-7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是_______________．
三．解答题:(每小题10分 共50分)
11. 解方程：
①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；
②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；
③（x+3）（x﹣1）=5；
④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．
12.读题后回答问题：
解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：
解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.
请回答：
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？
(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．
13.若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
14.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长．
15.用“十字相乘法”解方程：
（1）x2-4x＋3＝0；（2）x2-2x-3＝0；（3）10x2-x-3＝0；（4）(x＋6)(x-7)＝14
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