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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§2.5《一元二次方程的根与系数的关系》（原题卷）
一.选择题:(每小题5分 共25分)
1. 若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）
A. ﹣4 B. 3 C. - D.
2.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1.x2，则m2（）=（ ）
A. B. - C. 4 D. ﹣4
3. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
4.方程的两个根是2和－4，那么= ，= . （ ）
A. m＝－2，n＝8 B. m＝－2，n＝－8 C. m＝2，n＝8 D. m＝2，n＝－8
5.判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二.填空题:(每小题5分 共25分)
6. 已知：一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一根为____
7. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_________
8.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______
9.方程2x2-3x-1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=____________．
10.关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_____．
三.解答题:(每小题10分 共50分)
11. 已知方程的两根为.，且 >,求下列各式的值:
（１）x12 +x22； （2）； （3）； （4）.
12.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
13.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
14.关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
15.已知在关于x的分式方程=2①和一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k.m.n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1.x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1.x2，满足x1（x1-k）+x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
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【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§2.5《一元二次方程的根与系数的关系》（解析卷）
一.选择题:(每小题5分 共25分)
1. 若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）
A. ﹣4 B. 3 C. - D.
【答案】D
【解析】
故选D.
2.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1.x2，则m2（）=（ ）
A. B. - C. 4 D. ﹣4
【答案】D
【解析】∵关于的一元二次方程：有两个实数根，
∴.
∴.
故选D.
3. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】试题分析：已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，可得x12﹣2x1﹣1=0，再由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1 x2=﹣1，所以x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．故答案选D．
4.方程的两个根是2和－4，那么= ，= . （ ）
A. m＝－2，n＝8 B. m＝－2，n＝－8 C. m＝2，n＝8 D. m＝2，n＝－8
【答案】D
【解析】∵x1+x2=-m=2-4,
∴m=2.
x1·x2=n=2×(-4),
∴n=-8.
故选D.
5.判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】C
【解析】试题分析：∵一元二次方程式x2－8x－a＝0的两个根均为整数，
∴△＝64＋4a，△的值若可以被开平方即可，
A.△＝64＋4×12＝102，＝，此选项不对；
B.△＝64＋4×16＝128，＝，此选项不对；
C.△＝64＋4×20＝144，＝12，此选项正确；
D.△＝64＋4×24＝160，＝，此选项不对．
故选：C．
二.填空题:(每小题5分 共25分)
6. 已知：一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一根为____
【答案】4
【解析】设方程另一根为t，
根据题意得2+t=6，
解得t=4.
故答案为4.
7. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_________
【答案】3
【解析】试题分析：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，
∴a＋b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9，
∴c＝3，
即直角三角形的斜边长为3．
故答案为3．
8.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______
【答案】1
【解析】解：设方程另一根为a，则a+3=4，解得：a=1，故答案为：1．
9.方程2x2-3x-1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=____________．
【答案】
【解析】∵是方程的两个实数根，
∴.
∴.
10.关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_____．
【答案】m＞
【解析】试题解析：关于x的一元二次方程的两实数根之积为负，
解得：
故答案为：
三.解答题:(每小题10分 共50分)
11. 已知方程的两根为.，且 >,求下列各式的值:
（１）x12 +x22；（2）；
（3）；（4）.
【答案】(1)13;(2);(3)17;(4)2
【解析】试题分析：根据根与系数的关系得到x1 x2=-2；x1+x2=3，（1）.（3）利用完全平方公式来变形，（2）先通分，（4）根据多项式乘多项式的乘法乘开，然后利用整体代入得思想进行计算；
解：∵x1.x2是方程x -3x-2=0的两个实数根，
∴x1 x2=-2；x1+x2=3，
(1)x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=3 -2×(-2)=9+4=13.
(2) .
(3)(x1-x2) = (x1+x2) -4 x1 x2=3 -4×（-2）=17.
(4)(x1+1)(x2+1)=x1 x2+ (x1+x2)+1=(-2)+ 3+1=2.
12.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
【答案】3
【解析】试题分析：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，
∴a＋b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9，
∴c＝3，
即直角三角形的斜边长为3．
故答案为3．
13.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【答案】（1）m＜；（2）-1
【解析】试题分析：(1).对于一元二次方程+bx+c=0，当△=-4ac0时，方程有两个不相等的实数根，当△=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当△=-4ac0时，方程没有实数根.(2).对于一元二次方程+bx+c=0的两根和，则+=-，.
试题解析：(1).∵方程有两个不相等的实数根 ∴ △>0 即 22-4×1×2m>0 解得：m<
(2).∵ x1+x2=-2 (x1+x2 )2 -2 x1x2=2m
又∵ x12+x22=8 ∴ (x1+x2 )2 -2 x1x2=8 即 (-2)2-2×2m=8 解得 m=-1
14.关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析;(2) k=2
【解析】试题分析：
（1）①当k=1时，原方程是一元一次方程，其有解；②当时，原方程是一元二次方程，列出“根的判别式的表达式”，并证明其值为非负数即可可得出原方程一定有实数根；综合①②可得结论；
（2）由原方程有两根可知：“”，根据“一元二次方程根与系数的关系”列出“两根和与两根积的表达式”代入S=2中得到关于“k”的方程，解方程求出“k”的值即可.
试题解析：
（1）①当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；
②当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2
=4k2﹣8k+8
=4（k﹣1）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根；
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）∵原方程有两根实数根，
∴原方程为一元二次方程，.
由根与系数关系可知，，，
若S=2，则，即，
将，代入整理得：，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2．
15.已知在关于x的分式方程=2①和一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k.m.n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1.x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1.x2，满足x1（x1-k）+x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【答案】（1）k≥-1且k≠1且k≠2；（2）x1=0，x2=3；（3）成立
【解析】试题分析：（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1.x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可；（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
试题解析：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0， ∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1.x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1.x2是整数，k.m都是整数， ∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣， ∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1， ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0， x2﹣3x+2=0， （x﹣1）（x﹣2）=0， x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1.x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=±， ∴|m|≤2不成立．
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