第2章 对称图形——圆
2．1 第1课时 圆的概念、点和圆的位置关系
知识点 1 圆的定义
1．下列条件中，能确定圆的是( )
A．以已知点O为圆心画圆
B．以1 cm为半径画圆
C．经过已知点A，且半径为2 cm画圆
D．以点O为圆心，1 cm为半径画圆
2．教材练习第2题变式与已知点A的距离为5 cm的点所组成的平面图形是______________．
知识点 2 点与圆的位置关系
3．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝ 3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．无法确定
4．点P到圆上某点的最大距离为8 cm，最小距离为6 cm，则这个圆的半径为________．
5．如图2－1－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A，B，M三点中在圆外、圆上、圆内的点分别是哪些？试说明理由．
图2－1－1
6．已知点A的坐标为(2，0)，点P在直线y＝x上运动．当以点P为圆心，PA长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为( )
A．(1，－1) B．(0，0)
C．(1，1) D．(，)
图2－1－2
7．如图2－1－2，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．若以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )
A．2 ＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D．5＜r＜
8．习题2.1第4题变式如图2－1－3，已知△ABC，△ABD，△ABE都是以AB为斜边的直角三角形，则点A，B，C，D，E在同一个圆上吗？为什么？
图2－1－3
9．某矿区爆破时，导火索燃烧的速度是0.9 cm/s，点导火索的工作人员需要跑到离爆破点120 m以外的安全区域．如图2－1－4，点O处是炸药，OA为导火索，长度为18 cm，工作人员在A处点燃导火索后，便迅速向安全区域跑出．
(1)如果你是工作人员，你应该朝哪个方向跑，才能最快到达安全区域？画出示意图；
(2)若工作人员每秒钟跑6.5 m，则他能否在爆破前到达安全区域？为什么？
图2－1－4
详解详析
1．D [解析] ∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴D选项正确，故选D.
2．以点A为圆心，5 cm为半径的圆
3．B [解析] 因为点到圆心的距离小于圆的半径，所以点A在圆的内部，故选B.
4．7 cm或1 cm
5．解：在圆外的是点B，在圆上的是点M，在圆内的是点A.理由如下：
∵∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，
∴AB＝＝2 cm.
∵CM是中线，∴CM＝AB＝ cm，
∴点M在圆上．
∵AC＝2 cm＜ cm，
∴点A在圆内．
∵BC＝4 cm＞ cm，∴点B在圆外．
6．C [解析] 如图，过点A作AP垂直于直线y＝x，垂足为P，此时PA最小，则以点P为圆心，PA长为半径的圆的面积最小．过点P作PM⊥x轴，垂足为M.
在Rt△OAP中，
∵∠OPA＝90°，∠POA＝45°，
∴∠OAP＝45°，
∴PO＝PA.
∵PM⊥x轴于点M，
∴OM＝MA＝OA＝1，
∴PM＝OM＝1，
∴点P的坐标为(1，1)．故选C.
7．B [解析]
如图，∵AD＝2 ，AE＝AF＝，AB＝3 ，
∴AB＞AE＝AF＞AD，
∴当＜r＜3 时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B.
8．解：点A，B，C，D，E在同一个圆上．
理由：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，OE.
∵△ABC，△ABD，△ABE都是以AB为斜边的直角三角形，
∴CO，DO，EO分别为Rt△ABC，Rt△ABD，Rt△ABE斜边上的中线，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴点A，B，C，D，E在同一个圆上．
9．解：(1)应该沿OA方向跑，才能最快到达安全区域，如图所示：
(2)能．理由如下：
导火索燃烧的时间为＝20(s)，此时工作人员跑的路程为20×6.5＝130(m)．
因为130＞120，所以工作人员能在爆破前到达安全区域．
第2章 对称图形——圆
2．1 第2课时 与圆有关的概念
知识点 1 与圆有关的概念
1．图2－1－5中有________条直径，________条非直径的弦，图中以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条．
图2－1－5
图2－1－6
2．如图2－1－6，图中的弦有__________，圆心角∠AOD所对的弧是________，弦AB所对的弧有____________．
图2－1－7
3．如图2－1－7，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中的弦有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
4．下列说法中，错误的是( )
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
5．如图2－1－8，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC.求证：BA＝BC.
图2－1－8
知识点 2 与圆心角有关的计算
6．[2017·张家界] 如图2－1－9，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC.若∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是( )
A．30° B．45° C．55° D．60°
图2－1－9
图2－1－10
7．如图2－1－10，AB为⊙O的直径，∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的弦为________________．
8．如图2－1－11，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，求∠AOD的度数．
图2－1－11
9．如图2－1－12，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．
图2－1－12
10．教材习题2.1第8题变式如图2－1－13，四边形PAOB是矩形，且点A在OM上，点B在ON上，点P在以点O为圆心的上，且不与点M，N重合，当点P在上移动时，矩形PAOB的形状随之变化，则AB的长( )
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．不变 D．不能确定
图2－1－13
图2－1－14
11．如图2－1－14，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.
12．如图2－1－15所示，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
图2－1－15
13．教材“思考与探索”变式如图2－1－16，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC.
(1)求∠AOB的度数；
(2)求∠EOD的度数．
图2－1－16
14．已知：如图2－1－17，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：∠OBA＝∠OCD.
图2－1－17
15．某公园计划建一个形状如图2－1－18①所示的喷水池．
(1)有人建议改为图②所示的形状，且外观直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较这两种方案，哪一种方案需要的材料多(即比较哪个周长更长)?
(2)若将三个小圆改成n个小圆，结论是否还成立？请说明理由．
图2－1－18
详解详析
1．1 2 4 4
2．AB，BC ，
3．B 4.C
5．证明：如图，连接OA，OC.
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO.
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAO＝∠BCO.
又∵OB＝OB，∴△OAB≌△OCB，
∴BA＝BC.
6．D
7．AC，CD，DB [解析] 图中共有3条非直径的弦：AC，CD，DB，由条件可知△AOC，△BOD，△COD都是等边三角形，所以有OA＝AC＝CD＝DB.
8．解：∵∠BOC＝110°，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝70°.
∵AD∥OC，OD＝OA，
∴∠D＝∠A＝∠AOC＝70°，
∴∠AOD＝180°－70°－70°＝40°.
9．：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°.
∵CB＝CD，
∴∠BDC＝∠B＝50°，
∴∠BCD＝80°，
∴∠ACD＝10°.
10．C
11．50 [解析] ∵在⊙O中，OB＝OD＝OE＝OC，∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠CEO.
∵∠A＝65°，
∴∠ODB＋∠CEO＝∠B＋∠C＝115°，
∴∠DOB＋∠EOC＝(180°－2∠B)＋(180°－2∠C)＝360°－2(∠B＋∠C)＝130°，
∴∠DOE＝180°－(∠DOB＋∠EOC)＝50°.
12．[解析] 连接OC，由∠OBC＝40°，利用等腰三角形两底角相等求出∠OCB的度数．由三角形内角和定理及∠AOB＝50°求出∠AOC的度数．再利用等腰三角形两底角相等可求∠OAC的度数．
解：连接OC.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－40°－40°＝100°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝50°＋100°＝150°.
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝(180°－∠AOC)＝15°.
13．解：(1)∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB，
∴∠AOB＝∠A＝20°.
(2)如图，∵∠2＝∠A＋∠1，∠1＝∠A，
∴∠2＝2∠A.
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠EOD＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.
14．[全品导学号：54602066]证明：过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N.
∵PO平分∠EPE，
∴OM＝ON.
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL)，
∴∠OBA＝∠OCD.
15． (1)设大圆的直径为d，周长为l，图②中三个小圆的直径分别是d1，d2，d3，周长分别是l1，l2，l3，
则l＝πd＝π(d1＋d2＋d3)＝πd1＋πd2＋πd3＝l1＋l2＋l3，
所以图①中一个大圆的周长与图②中三个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料一样多．
(2)将三个小圆改成n个小圆，结论仍成立．
理由如下：设大圆的直径为d，周长为l，n个小圆的直径分别是d1，d2，…，dn，周长分别是l1，l2，…，ln，
则l＝πd＝π(d1＋d2＋…＋dn)＝πd1＋πd2＋…＋πdn＝l1＋l2＋…＋ln，
所以图①中一个大圆的周长与n个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料一样多．
