第2章 对称图形——圆
2.2 第1课时 圆的旋转不变性
知识点 1 圆的旋转不变性
1．一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与________重合．圆是中心对称图形，它的对称中心是________．
知识点 2 弧、弦、圆心角的关系
2．如图2－2－1，在⊙O中，＝，∠AOB＝122°，则∠AOC的度数为( )
A．122° B．120° C．61° D．58°
3．下列结论中，正确的是( )
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B．等弧所对的圆心角相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．长度相等的两条弧是等弧
图2－2－1
图2－2－2
4．如图2－2－2，在⊙O中，若C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．如图2－2－3，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠COD的度数是________．
图2－2－3
图2－2－4
6．教材练习第1题变式如图2－2－4，AB是⊙O的直径，＝＝，∠BOC＝40°，则∠AOE＝________°.
7．在⊙O中，若弦AB的长恰好等于半径，则弦AB所对的圆心角的度数为________．
8．教材习题2.2第4题变式如图2－2－5，在⊙O中，AB，CD是两条直径，弦CE∥AB，的度数是40°，求∠BOD的度数．
图2－2－5
9. 已知：如图2－2－6，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD.求证：∠AOC＝∠DOB.
图2－2－6
10．如图2－2－7，在⊙O中，CD为⊙O的直径，＝，E为OD上任意一点(不与点O，D重合)．求证：AE＝BE.
图2－2－7
11．在同圆中，若和都是劣弧，且＝2，则弦AB和弦CD的大小关系是( )
A．AB＝2CD
B．AB＞2CD
C．AB＜2CD
D．无法比较它们的大小
12．[2016秋·无锡校级月考] 如图2－2－8，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，过点M，N分别作CM⊥AB，DN⊥AB.
求证：＝.
图2－2－8
13．如图2－2－9，在△ABO中，∠A＝∠B，⊙O与OA交于点C，与OB交于点D，与AB交于点E，F.
(1)求证：＝；
(2)写出图中所有相等的线段(不要求证明)．
图2－2－9
14．如图2－2－10，＝，C，D分别是半径OA，OB的中点，连接PC，PD交弦AB于E，F两点．
求证：(1)PC＝PD；
(2)PE＝PF.
图2－2－10
15．如图2－2－11所示，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
(2)如果OE＝OF，那么AB与CD的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
图2－2－11
1．自身 圆心
2．A
3．B [解析] A．同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，有可能是一条优弧和一条劣弧，故本选项错误；B.正确；C.在两个同心圆中，同一个圆心角所对的弧不相等，故本选项错误；D.长度相等的两条弧，弯曲程度不同，就不能重合，就不是等弧，故本选项错误．故选B.
4．A [解析] ∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠B＝∠A＝50°，∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.∵C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°.故选A.
5．120° [解析] ∵＝，∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠AOB＝60°.∵BD是⊙O的直径，∴∠BOD＝180°，∴∠COD＝180°－∠BOC＝120°.
6．60 [解析] 由＝＝，可得∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝40°，所以∠AOE＝180°－3×40°＝60°.
7．60°
8．解：如图，连接OE.∵的度数是40°，
∴∠EOC＝40°.
∵OE＝OC，∴∠C＝70°.
∵CE∥AB，
∴∠BOC＝∠C＝70°，
∴∠BOD＝110°.
9．证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，
即∠AOC＝∠DOB.
10．证明：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE.
∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.
在△AOE和△BOE中，∵OA＝OB，∠AOE＝∠BOE，OE＝OE，
∴△AOE≌△BOE，∴AE＝BE.
11．C [解析] 如图，取的中点E，连接AE，BE，∴＝2＝2，
∴AE＝BE.
∵＝2，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝CD，
∴AE＋BE＝2CD.
∵AE＋BE＞AB，
∴2CD＞AB.
故选C.
12．证明：连接OC，OD，如图．
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND，
∴∠COM＝∠DON，
∴＝.
13．解：(1)证明：连接OE，OF，则OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE.
∵∠A＝∠B，∴∠AOE＝∠BOF，∴＝.
(2)OA＝OB，OC＝OD，AC＝BD，AE＝BF，AF＝BE.
14．证明：(1)连接PO.
∵＝，∴∠POC＝∠POD.
∵C，D分别是半径OA，OB的中点，
∴OC＝OD.
又∵PO＝PO，
∴△PCO≌△PDO，
∴PC＝PD.
(2)∵△PCO≌△PDO，
∴∠PCO＝∠PDO.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，
∴∠AEC＝∠BFD，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF.
15．解：(1)OE＝OF.理由如下：
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，AB＝CD，
∴OE＝OF(全等三角形对应边上的高相等)．
(2)AB＝CD，＝，∠AOB＝∠COD.
理由如下：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
在Rt△AOE和Rt△COF中，
∵OE＝OF，OA＝OC，
∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL)，
∴AE＝CF.
同理BE＝DF，
∴AB＝CD，
∴＝，∠AOB＝∠COD.
第2章 对称图形——圆
2.2 第2课时 圆的轴对称性
知识点 1 圆的轴对称性
1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．
知识点 2 垂径定理
2．如图2－2－12，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中不一定正确的是( )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.＝ D．△OCE≌△ODE
3．在⊙O中，非直径的弦AB＝8 cm，OC⊥AB于点C，则AC的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
图2－2－12
图2－2－13
4．教材习题2.2第5题变式如图2－2－13，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图2－2－14，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
图2－2－14
图2－2－15
6．如图2－2－15，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．
7．[2017·长沙] 如图2－2－16，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．
图2－2－16
图2－2－17
8．如图2－2－17是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，外圆半径OC⊥AB于点D交外圆于点C.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是________cm.
9．[2016秋·盐都区月考] 已知：如图2－2－18，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.
(1)求⊙O的半径；
(2)若P是AB上的一动点，试求OP的最大值和最小值．
图2－2－18
10．如图2－2－19，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
图2－2－19
图2－2－20
11．如图2－2－20，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为D.要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AD＝BD
B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB
12．如图2－2－21，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．
图2－2－21
图2－2－22
13．[2017·遵义] 如图2－2－22，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．
14．已知：如图2－2－23，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：
(1)圆心O到AQ的距离；
(2)线段EF的长．
图2－2－23
15．如图2－2－24，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？
图2－2－24
16．如图2－2－25，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．
图2－2－25
详解详析
1．过圆心的任意一条直线 无数
2．B 3.B 4.A
5．D [解析] ∵CE＝2，DE＝8，
∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，∴OE＝3.
∵AB⊥CD，∴在Rt△OBE中，BE＝＝4，∴AB＝2BE＝8.故选D.
6．4
7．5 [解析] 如图，连接OC.设OC＝x.∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴CE＝DE＝3.在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，即x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，故⊙O的半径为5.
8．50
9．解：(1)如图，连接AO，过点O作OD⊥AB于点D.
∵弦AB的长为8，
∴AD＝4.
∵圆心O到AB的距离为3，
∴DO＝3，
∴AO＝＝＝5，
∴⊙O的半径是5.
(2)∵P是AB上的一动点，
∴OP的最大值是5，最小值是3.
10．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD.连接OC，OA.
∵OE＝6，∴CE＝＝2 ，AE＝＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2 .
11．B
12．4 [解析] ∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理，得AC＝PC，PD＝BD，
∴CD是△APB的中位线，
∴CD＝AB＝×8＝4.
13.
14．解：(1)过点O作OH⊥EF，垂足为H.
∵OH⊥EF，∴∠AHO＝90°.
在Rt△AOH中，
∵∠AHO＝90°，∠PAQ＝30°，∴OH＝AO.
∵BC＝10 cm，∴BO＝5 cm.
∵AO＝AB＋BO，AB＝3 cm，
∴AO＝3＋5＝8(cm)，
∴OH＝4 cm，即圆心O到AQ的距离为4 cm.
(2)连接OE.在Rt△EOH中，
∵∠EHO＝90°，∴EH2＋OH2＝EO2.
∵EO＝BO＝5 cm，OH＝4 cm，
∴EH＝＝＝3(cm)．
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF＝2EH＝6 cm.
15．解：如图，连接ON，OB.
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．
∵AB＝7.2 m，
∴BD＝AB＝3.6 m.
设OB＝OC＝ON＝r m，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，
∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．
∵船宽3 m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5 m，
∴OE＝＝＝3.6(m)，
∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1 m＞2 m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
16．解：如图，连接BC，OB，OC，当点P位于BC与MN的交点处时，PA＋PC的值最小，为BC的长度，过点C作CH⊥AB于点H.
根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，
OF＝＝＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，根据勾股定理，得BC＝7 ，
则PA＋PC的最小值为7 .
