第2章 对称图形——圆
2.4 第1课时 圆周角的概念与性质
知识点 1 圆周角的定义
1．下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
图2－4－1
知识点 2 圆周角的性质及运用
2．教材练习第2题变式如图2－4－2，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则所对的圆周角有________个，分别为________________，它们之间的数量关系是________，所对的圆心角有________个，为________．若∠BAC＝35°，则∠BDC＝________°，∠BOC＝________°.
图2－4－2
图2－4－3
3．[2017·衡阳] 如图2－4－3，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上．如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
A．26° B．30° C．32° D．64°
4．[2017·哈尔滨] 如图2－4－4，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是( )
A．43° B．35° C．34° D．44°
图2－4－4
图2－4－5
5．[2017·武威] 如图2－4－5，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32，则∠C＝_______.
6．[2017·随州] 如图2－4－6，已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB的两侧，连接AD，CD，OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝____.
图2－4－6
图2－4－7
7．[2017·包头] 如图2－4－7，A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝________°.
8．如图2－4－8，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是上一点，连接BD，E是BD上一点，且BE＝CD.求证：∠AED＝∠ADE.
图2－4－8
9．如图2－4－9所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE.求证：∠D＝∠B.
图2－4－9
10．如图2－4－10，在⊙O中，直径CD⊥弦AB.若∠C＝25°，则∠ABO的度数是( )
A．25° B．30° C．40° D．50°
图2－4－10
图2－4－11
11．[2016·吴江青云中学二模] 如图2－4－11，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E.若∠C＝15°，AB＝6 cm，则⊙O的半径为________cm.
12．已知：如图2－4－12，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且＝，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交其延长线于点E.
求证：DE＝BF.
图2－4－12
13．如图2－4－13，在半径为5 cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝50°，∠APD＝80°.
(1)求∠ABD的大小；
(2)求弦BD的长．
图2－4－13
14．如图2－4－14所示，AD是⊙O的直径．
图2－4－14
(1)如图(a)，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是________，∠B2的度数是________；
(2)如图(b)，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
(3)如图(c)，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．
详解详析
1．C
2．3 ∠BAC，∠BEC，∠BDC 相等 1 ∠BOC 35 70
3．C 4.B
5．58 6.35 7.20
8．证明：在△ABE和△ACD中，
∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE.
9．证明：∵AB，CD是⊙O的直径，
∴∠AOD＝∠COB，
∴＝.
又∵DF＝BE，∴＝，
∴－＝－，即＝，
∴ ＋＝＋，
即＝，
∴∠D＝∠B.
10．C [解析] ∵在⊙O中，直径CD⊥弦AB，
∴＝，
∴∠DOB＝2∠C＝50°.
∴∠ABO＝90°－∠DOB＝40°.
11．6 [解析] 连接OA，如图所示，则∠AOE＝2∠C＝30°.∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3 cm，∴OA＝2AE＝6 cm，即⊙O的半径为6 cm.
12．证明：∵＝，
∴∠BAC＝∠EAC，CB＝CD.
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴CE＝CF.
在Rt△CED和Rt△CFB中，
∴Rt△CED≌Rt△CFB(HL)，
∴DE＝BF.
13．：(1)∵∠APD是△APC的外角，∠CAB＝50°，∠APD＝80°，
∴∠C＝∠APD－∠CAB＝80°－50°＝30°，
∴∠ABD＝∠C＝30°.
(2)过点O作OE⊥BD于点E，则BD＝2BE.
∵∠ABD＝30°，OB＝5 cm，
∴OE＝OB＝ cm，
∴BE＝ cm，
∴BD＝2BE＝5 cm.
14．(1)22.5° 67.5°
(2)∵圆周被6等分，
∴＝＝，且它们所对的圆心角都为360°÷6＝60°.
∵直径AD⊥B1C1，则的度数为30°，
∴∠B1＝15°，
∠B2＝×(30°＋60°)＝45°，
∠B3＝×(30°＋60°＋60°)＝75°.
(3)∠Bn＝＝.
第2章 对称图形——圆
2.4 第2课时 特殊的圆周角
知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度
1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为( )
A．80° B．60° C．50° D．40°
图2－4－15
图2－4－16
2．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为( )
A．50° B．40° C．45° D．60°
3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.
图2－4－17
图2－4－18
4．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝ ∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.
5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．
图2－4－19
知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长
6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( )
A. cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
图2－4－20
图2－4－21
7．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．
8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
图2－4－22
9．如图2－4－23，⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径，它交另一腰AC于点E，交BC于点D.求证：BC＝2DE.
图2－4－23
图2－4－24
10．如图2－4－24，AB是半圆的直径，D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB是⊙O的弦，AB＝5，C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是________．
图2－4－25
图2－4－26
12．如图2－4－26，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC＝∠AEC；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．
13．如图2－4－27，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
图2－4－27
14．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
图2－4－28
15．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.
(1)∠E的度数为________；
(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
图2－4－29
1．C [解析] 因为AB是⊙O的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C.
2．A [解析] ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝∠ACD＝40°，
∴∠BAD＝180°－90°－40°＝50°.
3．90 [解析] 连接AC，则∠ACB＝90°.
根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2，
∴∠1＋∠2＝∠ACB＝90°.
4．80
5．解：如图，连接BC，则∠ADC＝∠B.
∵∠ADC＝50°，
∴∠B＝50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝40°.
∵∠CEB＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD＝60°，
∴∠CEB＝60°＋40°＝100°.
6．B
7．13
8．解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，∴∠AEP＝45°.
∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形．
(2)∵△ABC和△APE均是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，
∴∠CAP＝∠BAE.
在△APC和△AEB中，
∴△APC≌△AEB，∴PC＝EB.
∵PE是⊙O的直径，∴∠PBE＝90°，
∴PC2＋PB2＝EB2＋PB2＝PE2＝4.
9．证明：连接AD，BE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BD＝DC，
即BC＝2DC.
∵∠DAE＝∠DBE，∠ADE＝∠ABE，
∴∠DEC＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C，
∴DE＝DC，∴BC＝2DE.
10．C [解析] 连接BD.
∵D是的中点，即＝，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°.
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°－25°＝65°.
11.
12．①②④⑥
13．解：(1)∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝20°.
又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°.
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝(180°－∠AOD)＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝35°.
(2)在Rt△ABC中，BC＝＝.
∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
即OE⊥AC，∴AE＝EC.
又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝.
∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD－OE＝2－.
14． (1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又∵CD＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D.
(2)设BC＝x，则AC＝x－2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即(x－2)2＋x2＝42，
解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，
∴BC＝1＋.
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE.
∵CD＝BC，
∴CE＝BC＝1＋.
15． (1)如图①，连接OD，OC，BD.
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DBC＝30°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠E＝90°－30°＝60°.
(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.
(3)如图③，连接OD，OC.
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝∠BED＝60°.
第2章 对称图形——圆
2.4 第3课时 圆的内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1．如图2－4－30所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BCD＝110°，则∠BAD的度数为( )
A．140° B．110° C．90° D．70°
图2－4－30
图2－4－31
2．如图2－4－31，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D的度数是( )
A．60° B．90° C．120° D．30°
4．如图2－4－32，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A．45° B．50° C．60° D．75°
图2－4－32
图2－4－33
.如图2－4－33，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且∠D＝130°，则∠BAC＝________°.
6．如图2－4－34，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠DCE＝________°.
图2－4－34
7．如图2－4－35，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝________°.
图2－4－35
图2－4－36
8．如图2－4－36，△ABC为⊙O的内接等边三角形，D为⊙O上一点，则∠ADB＝________°.
9．如图2－4－37，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
图2－4－37
10．已知：如图2－4－38，四边形ABCD是圆的内接四边形，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.求证：AB＝AC.
图2－4－38
11．[2016·淮安清河区二模] 如图2－4－39，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，∠AED＝115°，则∠B的度数是( )
A．50° B．75° C．80° D．100°
图2－4－39
图2－4－40
12．如图2－4－40，⊙O是钝角三角形ABC的外接圆，连接OC.已知∠BAC＝y°，∠BCO＝x°，则y与x之间的函数表达式为______________(不必写出自变量的取值范围)．
13．教材练习第3题变式如图2－4－41，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝________．
14. [2016·南京高淳区一模] 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为________．
图2－4－41
图2－4－42
15．[2016·南京溧水区一模] 如图2－4－42，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.点E在上，则∠E＝________°.
16．如图2－4－43，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．
(1)求证：DB＝DC；
(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．
图2－4－43
17．如图2－4－44，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
图2－4－44
详解详析
1．D [解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＋∠BAD＝180°(圆内接四边形的对角互补)．
又∵∠BCD＝110°，
∴∠BAD＝70°.故选D.
2．B [解析] ∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
而∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD.
而∠BAD＝105°，
∴∠DCE＝105°.
故选B.
3．B [解析] ∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，
∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x.
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
即2x＋4x＝180°，解得x＝30°，
∴∠B＝3x＝90°，
∴∠D＝180°－∠B＝180°－90°＝90°.故选B.
4． C
5．40 [解析] ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠B＝180°－∠D＝50°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝40°.
6．65 [解析] ∵∠BOD＝130°，
∴∠A＝∠BOD＝65°.
∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝65°.
7．70 [解析] ∵∠ABC＝100°，∠P＝30°，
∴∠PAB＝∠ABC－∠P＝70°.
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠C＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＋∠PAB＝180°，
∴∠C＝∠PAB＝70°.
8．120.
9．证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE.
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，
∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．
10．证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE.
∵∠FDE＝∠ADB＝∠ACB，∠CDE＝∠FDE，∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
11．D [解析] ∵四边形ACDE是圆内接四边形，
∴∠AED＋∠ACD＝180°.
∵∠AED＝115°，
∴∠ACD＝65°.
∵∠CAD＝35°，
∴∠ADC＝80°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝100°，故选D.
12．y＝x＋90
13．140°
14． 130°或50°
15．125
16． (1)证明：∵∠DCB＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，
∴∠DCB＝∠DAE.
∵∠DBC＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，
∴∠DBC＝∠CAD＝∠DAE＝∠DCB，
∴DB＝DC.
(2)答案不唯一，如：
若F为BC的中点，则DF经过圆心．
理由：∵△DBC是等腰三角形，F是BC的中点，
∴DF是底边BC的垂直平分线．
∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点，
∴DF必过圆心．
17． (1)证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，
∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，
即∠ADC＝∠ABC.
(2)∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECD＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠ECD.
∵∠EDC＝∠A＋∠F，
∠EDC＋∠E＋∠ECD＝180°，
∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°.
又∵∠E＝∠F＝42°，∴∠A＝48°.
(3)由(2)中的结论可知2∠A＋∠E＋∠F＝180°，
∴2∠A＋α＋β＝180°，解得∠A＝90°－(α＋β)．
