第2章 对称图形——圆
2.5 第1课时 直线与圆的位置关系
知识点 1 直线与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为5，则下列能反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
图2－5－1
2．已知半径为5的圆，其圆心到某直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
3．已知⊙O的直径为13 cm，如果圆心O到直线l的距离为5.5 cm，那么直线l与⊙O有________个公共点．
4．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是________．
5．教材例1变式在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，以点A为圆心，r为半径画圆．根据下列r的值，判断圆与BC所在直线的位置关系：
(1)r＝4； (2)r＝6； (3)r＝8.
6．如图2－5－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝5，⊙O的半径为1，圆心O在AB上运动(不与点A，B重合)．圆心O在什么位置时，⊙O分别与直线BC相交、相切、相离？
图2－5－2
知识点 2 直线与圆的位置关系的应用
7．⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点．若圆心O到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是( )
A．d＜R B．d＞R C．d≥R D．d≤R
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆．若⊙C与直线AB相切，则r的值为( )
A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm
9．已知直线l与半径为2的⊙O的位置关系是相离，则点O到直线l的距离的取值范围在数轴上的表示正确的是( )
图2－5－3
10．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
图2－5－4
11．如图2－5－4所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为________．
12．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 cm，AC＝12 cm，以点C为圆心，作半径为R cm的圆．
(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离？
(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切？
(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交？
(4)当R为何值时，⊙C与线段AB只有一个公共点？
13．如图2－5－5，已知⊙O与BC相切，点C不是切点，AO⊥OC，∠OAC＝∠ABO，且AC＝BO，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
图2－5－5
14．在同一平面内，已知点O到直线l的距离为6，以点O为圆心，r为半径画圆．
(1)当r＝________时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于2；
(2)若⊙O上有且只有2个点到直线l的距离为2，则r的取值范围是________；
(3)随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数有哪些变化？求出相对应的r的值或取值范围．
15．如图2－5－6，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，求r的取值范围．
图2－5－6
详解详析
1．B
2．C [解析] ∵圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，3<5，即d＜r，
∴直线与圆的位置关系是相交．
3．2
4．相离 [解析] 设⊙O的半径是r cm.
∵⊙O的面积为9π cm2，
∴πr2＝9π，∴r＝3(负值已舍去)．
∵点O到直线l的距离d为π cm，
∴d＞r.
∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
5．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB＝AC＝10，∴BD＝BC＝8.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝6，
即圆心A到直线BC的距离d＝6.
(1)当r＝4时，d＞r，⊙A与BC所在直线相离；
(2)当r＝6时，d＝r，⊙A与BC所在直线相切；
(3)当r＝8时，d＜r，⊙A与BC所在直线相交．
6． 解：过点O作OD⊥BC，垂足为D.
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
在Rt△ODB中，∠B＝30°，
∴OB＝2OD.
当0当OD＝1，即OB＝2时，⊙O与直线BC相切；
当OD>1，即27．D 8.B
9． A [解析] ∵直线l与半径为2的⊙O的位置关系是相离，
∴点O到直线l的距离d的取值范围是d＞2.故选A.
10．C [解析] 圆心是(3，2)，半径是3，则圆心到y轴的距离d＝3＝r，圆心到x轴的距离d＝2＜r，所以圆与y轴相切，与x轴相交．
11．1或5 [解析] 当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.
故答案为1或5.
12．解：根据题意画图，然后过点C作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 cm，AC＝12 cm，
∴AB＝＝＝13(cm)，
而CD·AB＝AC·BC，则CD＝ cm.
(1)当0(2)当R＝时，⊙C和直线AB相切；
(3)当R＞时，⊙C和直线AB相交；
(4)当R＝或513．解：直线AB与⊙O的位置关系是相离．理由：如图，过点O作OD⊥AB，交BA的延长线于点D.
在△OAC与△DBO中，
∴△OAC≌△DBO(AAS)，
∴OC＝OD，
∵⊙O与BC相切，点C不是切点，
∴OC＞半径，
∴OD＞半径，
∴直线AB与⊙O的位置关系是相离．
14．解：(1)4
(2)4＜r＜8
(3)当0＜r＜4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为0；
当r＝4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为1；
当4＜r＜8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为2；
当r＝8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为3；
当r＞8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为4.
15．连接BD.
在Rt△ABD中，∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝5.
由题意可知3＜r＜5.
第2章 对称图形——圆
2.5 第2课时 切线的性质与判定
知识点 1 切线的性质
1．如图2－5－7所示，PA切半圆O于点A，如果∠P＝40°，那么∠AOP的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．140°
图2－5－7
图2－5－8
2．[2017·吉林] 如图2－5－8，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )
A．15 B．6 C．7 D．8
3．如图2－5－9，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P.若∠P＝40°，则∠D的度数为________．
图2－5－9
图2－5－10
4．[教材习题2.5第5题变式] 如图2－5－10，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为________．
5．[2016·盐都区一模] 如图2－5－11，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝，求AD的长．
图2－5－11
知识点 2 切线的判定
6．如图2－5－12，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D.AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切吗？请说明理由．
图2－5－12
7．[教材习题2.5第7题变式] 如图2－5－13，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC＝BC.求证：BC是⊙O的切线．
图2－5－13
8．如图2－5－14，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°.
(1)求∠ADC的度数；
(2)求证：AE是⊙O的切线．
图2－5－14
9．如图2－5－15，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )
A．40° B．35° C．30° D．45°
图2－5－15
图2－5－16
10．[2016·无锡锡北片一模] 如图2－5－16，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝_________°.
图2－5－17
11．[2016·宜兴三模] 如图2－5－17，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，⊙O的半径为4.P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP＝x (0≤x≤10)，PQ2＝y，则y与x之间的函数关系式为____________．
12．[2017·济宁] 如图2－5－18，已知⊙O的直径AB＝12，AC＝10，D是的中点．过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求AE的长．
图2－5－18
13．如图2－5－19，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC，交AB于点D.
(1)作⊙O，使⊙O经过A，C，D三点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
图2－5－19
14．如图2－5－20，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E，F，且CF＝AC.
(1)求∠ACB的度数；
(2)若AC＝8，求△ABF的面积．
图2－5－20
详解详析
1．B [解析] ∵PA为半圆O的切线，∴∠PAO＝90°.∵∠P＝40°，∴∠AOP＝90°－40°＝50°.
2．D 3.115° 4.
5．解：(1)∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°.
∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠COD＝2∠CAD.
∵∠D＝2∠CAD，
∴∠D＝∠COD＝45°.
(2)由(1)可知∠D＝∠COD，
∴CD＝OC＝OA＝.
∵∠OCD＝90°，
∴OD＝＝＝2，
∴AD＝OA＋OD＝＋2.
6．解：AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切．理由：如图，过点P作PE⊥AB于点E.
∵P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB，∴PE＝PD，
∴AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切．
7．证明：∵PC＝BC，∴∠CPB＝∠CBP，
而∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠APO.
∵OC⊥OA，∴∠A＋∠APO＝90°，
而OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，
∴∠CBP＋∠ABO＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
8． (1)∵∠B与∠ADC都是所对的圆周角，
∴∠ADC＝∠B＝60°.
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，
即BA⊥AE.
∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．
9．C [解析] 如图，连接OD.在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＋∠BAD＝180°，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°.
又∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°.
∵过点D的切线PD与直线AB交于点P，
∴∠PDO＝90°，
∴∠ADP＝30°.故选C.
10．50
11．y＝x2－x＋48
[解析] 连接OQ，OP，过点O作OM⊥AB于点M，由勾股定理求出OB，再用面积法求得OM，然后，用勾股定理求得AM，则可求PM，利用OP2＝PQ2＋OQ2＝PM2＋OM2，列出等式即可解决问题．
12．解：(1)证明：如图，连接OD.∵D是的中点，
∴＝，
∴∠BOD＝∠BAE，
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)如图，过点O作OF⊥AC于点F.
∵AC＝10，
∴AF＝CF＝AC＝×10＝5.
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴FE＝OD＝AB.
∵AB＝12，∴FE＝6，
∴AE＝AF＋FE＝5＋6＝11.
13． (1)如图所示：
(2)直线BC与⊙O相切．
理由如下：连接OC.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠COB＝∠A＋∠ACO＝2∠A＝60°，
∴∠COB＋∠B＝60°＋30°＝90°，
∴∠OCB＝90°，
即OC⊥BC.
又∵BC经过半径OC的外端点C，
∴直线BC与⊙O相切．
14．[全品导学号：54602100]解：(1)连接CD.
∵AB是⊙C的切线，切点为D，
∴CD⊥AB.
∵CF＝AC，CF＝CE，
∴AE＝CE，
∴ED＝AC＝EC，
∴ED＝EC＝CD，
∴∠ECD＝60°，∴∠A＝30°.
∵AC＝BC，∴∠ACB＝120°.
(2)过点F作FM⊥AB于点M.
∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AB＝2AD.
∵AC＝8，∠A＝30°，CD⊥AB，
∴CD＝4，AD＝4 ，
∴AB＝8 ，CF＝CD＝4，
∴AF＝AC＋CF＝12.
在Rt△AFM中，由∠A＝30°，可得MF＝AF＝6，
∴S△ABF＝AB·MF＝×8 ×6＝24 .
第2章 对称图形——圆
2.5 第3课时 三角形的内切圆
知识点 1 三角形内切圆的概念
图2－5－21
1．[2017·广州] 如图2－5－21，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
知识点 2 三角形内切圆的应用
2．教材练习第1题变式如图2－5－22，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝( )
A．59° B．31° C．124° D．121°
图2－5－22
图2－5－23
3．如图2－5－23，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______°，∠B＝______°，∠C＝______°.
4．教材例4变式如图2－5－24，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F.若∠A＝70°，则∠EDF的度数为________．
5．△ABC的三边长分别为a，b，c，⊙I是△ABC的内切圆，半径为r，则S△ABC＝______________．
6．已知直角三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的内切圆半径是________．
图2－5－24
图2－5－25
7．如图2－5－25，已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
8．如图2－5－26，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，求∠BOC的度数．
图2－5－26
9．如图2－5－27，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，BD与ID相等吗？为什么？
图2－5－27
图2－5－28
10．[2016·河北] 如图2－5－28为4×4的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
11．[2017·武汉] 已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( )
A. B. C. D．2
12．如图2－5－29，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．
图2－5－29
13．如图2－5－30，在等腰三角形ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB，BC分别相切于点D，E.
(1)⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由；
(2)若AB＝5，BC＝4，求⊙O的半径．
图2－5－30
14．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝(其中a，b，c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积)，并给出了证明．
例如：在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴p＝＝6，
∴S＝＝＝6.
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图2－5－31，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.
(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆半径r.
图2－5－31
详解详析
1．B 2.D
3．50 60 70
4．55° [解析] 连接OE，OF.∵∠A＝70°，⊙O与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，
∴∠EOF＝180°－70°＝110°，
∴∠EDF＝∠EOF＝55°.
5.r(a＋b＋c)
6．1
7．
[解析] 设⊙O与BC的切点为D.连接OC，OD.
∵CA，CB都与⊙O相切，
∴∠OCD＝∠OCA＝30°.
在Rt△OCD中，CD＝BC＝1，∠OCD＝30°，
∴OD＝.
8．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°.
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCA，
∴∠OBC＋∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°.
9．解：BD＝ID.
理由：连接BI.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∴＝，
∴∠BAD＝∠DBC.
∵∠BID＝∠BAI＋∠ABI，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠IBD＝∠BID，
∴BD＝ID.
10．B [解析] 由图可得OA＝OB＝OC，所以点O是△ABC的外心．故选B.
11．C
12．解：(1)证明：如图，连接OB，OC，OE.
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，
又∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，∴BE＝CE.
(2)如图，连接OD，OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.
又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．
在Rt△OBD和Rt△OBE中，
∴△OBD≌△OBE，
∴BD＝BE，同理CE＝CF.
设OD＝AD＝AF＝r，
则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.
在△ABC中，∠A＝90°，
∴BC＝＝2 .
又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2 ，解得r＝2－，
∴⊙O的半径是2－.
13．解：(1)⊙O是△ABC的内切圆．
理由：∵⊙O与AB相切于点D，
连接OD，则OD⊥AB于点D，过点O作OF⊥AC于点F.
∵AE是底边BC上的高，
∴AE也是顶角∠BAC的平分线，
∴OF＝OD，∴⊙O与AC相切于点F.
又∵⊙O与BC相切，
∴⊙O是△ABC的内切圆．
(2)连接OB，OC，设⊙O的半径为r.
∵D，E，F是切点，∴OD＝OE＝OF＝r.
由题意得AB＝AC＝5，EC＝BE＝AB＝2.
在Rt△ABE中 ，AE＝＝，
∴r(AC＋BC＋AB)＝AE·BC，
解得r＝.
14．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p＝＝＝10，
∴S＝＝＝10 ，
故△ABC的面积10 .
(2)∵S＝r(BC＋AC＋AB)，
∴10 ＝r(5＋6＋9)，解得r＝，
故△ABC的内切圆半径r＝.
第2章 对称图形—圆
2.5 第4课时 切线长定理
知识点 切线长定理的应用
1．如图2－5－32，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若∠P＝60°，PA＝2，则弦AB的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图2－5－32
图2－5－33
.如图2－5－33，CD是⊙O的切线，切点为E，AC，BD分别与⊙O相切于点A，B.如果CD＝7，AC＝4，那么BD等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[教材习题2.5第13题变式] 如图2－5－34，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切．若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于( )
A．5 B．8 C．10 D．12
4．已知线段PA，PB分别切⊙O于点A，B，的度数为120°，⊙O的半径为4，则线段AB的长为( )
A．8 B．4 C．6 D．8
图2－5－34
图2－5－35
.如图2－5－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数为________．
6．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠AOP＝50°，则∠PAB＝________°，∠OPB＝________°.
图2－5－36
图2－5－37
7．如图2－5－37，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，若⊙O的半径为5，OP＝13，则△PDE的周长为________．
图2－5－38
8．如图2－5－38，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD的度数为________．
9．如图2－5－39，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点．如果⊙O的半径为5，∠OPA＝30°，求两条切线的夹角∠APB的度数及切线PA的长．
图2－5－39
图2－5－40
10．[2016·梁溪区一模] 如图2－5－40，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
A. B. C. D．2
11．如图2－5－41，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°.求∠P的度数．
图2－5－41
12．如图2－5－42，△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝5 cm，BC＝9 cm，AC＝6 cm，求AE，BF和CD的长．
图2－5－42
13．如图2－5－43，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线CD切⊙O于点E.
(1)试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系；
(2)若∠P＝α，求∠COD的度数．
图2－5－43
14．如图2－5－44，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.
图2－5－44
15．如图2－5－45，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.
(1)求证：OM＝AN；
(2)若⊙O的半径R＝3，PB＝9，求OM的长．
图2－5－45
详解详析
1．B
2． C
3．C
4． B
5．20° [解析] ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝×(180°－40°)＝70°.由PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，得∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－70°＝20°.
6．50 40
7．24 [解析] ∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥PA.
在Rt△OAP中，根据勾股定理，得AP＝12，∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝24.
8．60° [解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，
∴OP＝PA－OA＝4.
∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，
∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC.
∵OP＝2OC，∴∠OPC＝30°，
∴∠CPD＝60°.
9．解：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB，
∴∠APB＝2∠OPA＝60°.
在Rt△AOP中，
可求得OP＝2OA＝10，
∴PA＝＝5 .
10． A [解析] 如图，连接OE，OF，ON，OG.
在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.
又∵OE＝OF＝OG，
∴四边形AFOE，四边形FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3.
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5－2－MG＝3－MN.
在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，
∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，
∴MN＝，∴DM＝3＋＝.
故选A.
11．解：连接AB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠ACB＝20°.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°－20°＝70°.
∵PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝70°，
∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝40°.
12．解：∵⊙O与△ABC的三边都相切，
∴AE＝AD，BE＝BF，CD＝CF.
设AE＝x cm，BF＝y cm，CD＝z cm，
则解得
即AE＝1 cm，BF＝4 cm，CD＝5 cm.
13．解：(1)△PCD的周长＝2PA.理由如下：
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周长＝PD＋DE＋PC＋CE＝PB＋PA＝2PA，即△PCD的周长＝2PA.
(2)如图，连接OA，OE，OB.
由切线的性质，得OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，BD＝DE，AC＝CE.
∵OA＝OE＝OB，
易证△AOC≌△EOC，△EOD≌△BOD，
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝(∠AOE＋∠BOE)＝∠AOB.
∵∠P＝α，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB＝180°－α，
∴∠COD＝90°－α.
14解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E.
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD.
又∵DO平分∠ADC，
∴OE＝OA.
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)过点D作DF⊥BC于点F.
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD＝BF，AB＝DF.
又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴AD＝DE，BC＝CE，
∴CD＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13.
在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋FC2，
∴DF＝＝12，
∴AB＝12，
∴⊙O的半径R为6.
15．解：(1)证明：如图，连接OA，则OA⊥PA.
∵MN⊥PA，
∴MN∥OA.
∵OM∥PA，
∴四边形ANMO是平行四边形．
又∵MN⊥AP，
∴?ANMO是矩形，
∴OM＝AN.
(2)如图，连接OB，则OB⊥PB，
∴∠OBM＝∠MNP＝90°.
∵四边形ANMO是矩形，
∴OA＝MN.
又∵OA＝OB，
∴OB＝MN.
∵OM∥AP，∴∠OMB＝∠MPN，
∴△OBM≌△MNP，∴OM＝MP.
设OM＝x，则MP＝x，AN＝x.
∵PA＝PB＝9，∴NP＝9－x.
在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2，
解得x＝5，即OM＝5.
