一元二次方程的根与系数究竟有何关系
一、一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝。
方法归纳：（1）如果方程x2＋px＋q＝0的两个实数根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q。
（2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0或（x－x1）（x－x2）＝0。
二、一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）验根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：
（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2；
（2）＋＝；
（3）＋＝＝；
（4）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；
（5）x1－x2＝±＝±。
总结：
1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。
2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
例题1 已知方程x2－2x－1＝0，则此方程（ ）
A. 无实数根 B. 两根之和为－2
C. 两根之积为－1 D. 有一根为－1＋
解析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。
A. ＝（－2）2－4×1×（－1）＝8＞0，则该方程有两个不相等的实数根。故本选项错误；B. 设该方程的两根分别是α、β，则α＋β＝2。即两根之和为2，故本选项错误；C. 设该方程的两根分别是α、β，则αβ＝－1。即两根之积为－1，故本选项正确；D. 根据求根公式x＝1±可知，原方程的两根是（1＋）和（1－），故本选项错误。故选C。
答案：C
点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。
例题2 设x1、x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，求x13＋2014x2－2013的值。
解析：由原方程可知x2＝x＋2013，x＝x2－2013；x12＝x1＋2013，x1＝x12－2013。由根与系数的关系可知x1＋x2＝1，根据以上关系代入求值即可。
答案：∵x2－x－2013＝0，∴x2＝x＋2013，x＝x2－2013。
又∵x1、x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根
∴x1＋x2＝1
∴x13＋2014x2－2013
＝x1?x12＋2013x2＋x2－2013
＝x1?（x1＋2013）＋2013x2＋x2－2013
＝x12＋2013x1＋2013x2＋x2－2013
＝（x1＋2013）＋2013x1＋2013x2＋x2－2013
＝x1＋x2＋2013（x1＋x2）＋2013－2013
＝1＋2013
＝2014
点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。
利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为x1、x2，则
（1）当≥0且x1x2＞0时，两根同号，即
（2）当＞0且x1x2＜0时，两根异号，即
例题 如果关于x的方程x2－px－q＝0（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
解析：∵p、q是正整数，且＝p2＋4q＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。又∵x1·x2＝－q＜0，∴此方程两根异号。这个方程的正根为，即＜3。解得q＜9－3p，其正整数解是：、、、、、、。故选C。
答案：C
点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式⊿≥0，然后再依据x1x2和x1＋x2的正负情况进行判断。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知（x＋a）（x－b）＝x2＋2x－1，则ab＝（ ）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
2. 已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
3. 已知m、n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若（m－1）（n－1）＝－6，则a的值为（ ）
A. －10 B. 4 C. －4 D. 10
*4. 设x1、x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为（ ）
A. 5 B. －5 C. 1 D. －1
*5. 若m、n是方程x2－2x＋1＝0的两个实数根，则－的值是（ ）
A. ±2 B. ±4 C. ±6 D. ±8
**6. 若方程x2＋2px－3p－2＝0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12＋x1＝4－（x22＋x2），则实数p的可能的值为（ ）
A. 0或－1 B. 0 C. 0或－4 D. －4
二、填空题
7. 若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝__________。
8. 已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α＋3）（β＋3）＝__________。
*9. 已知实数a、b不相等，并且a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，则＋＝__________。
**10. 已知关于x的方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2。则正确的结论是__________。（填上你认为正确结论的所有序号）
三、解答题
11. 已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2、m。求m、n的值。
*12. 已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋（2m＋3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，试求m的值。
**13. 已知α、β是方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，试求α3＋5β＋10的值。
**14. 已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1、x2。
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。
**15. 已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1、x2满足︱x1︱＝x2，求实数m的值。
一、选择题
1. C 解析：注意本题ab不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。
2. C 解析：设方程的另一个根为x1，由题意可知x1＋2＝6，所以x1＝4，即方程的另一根为4。
3. C 解析：根据题意得：m＋n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m＋n）＋1＝－6，∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4，故选C。
*4. B 解析：由题意可知x1＋x2＝－3，x1x2＝－3，∴＋＝＝＝－5。
*5. D 解析：由已知得m＋n＝2，mn＝1，则（m－n）2＝（m＋n）2－4mn＝（2）2－4＝16，∴m－n＝±4。∴－＝＝＝±8。
**6. B 解析：∵原方程有两个不相等的实数根，∴＝（2p）2＋4（3p＋2）＞0，即p2＋3p＋2＞0，且x1＋x2＝－2p，x1x2＝－3p－2。又∵x12＋x1＝4－（x22＋x2），即x12＋x22＋x1＋x2＝4，∴（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）＝4，即（－2p）2＋2（3p＋2）－2p＝4，∴4p2＋4p＝0，解得p＝0或－1。当p＝0时＞0，当p＝－1时＝0（舍去），所以p的可能的值为0。
二、填空题
7. 5 解析：由x1x2＝－5且x1＝－1，得x2＝5。
8. 9 解析：∵α＋β＝1，αβ＝－3，∴（α＋3）（β＋3）＝αβ＋3（α＋β）＋9＝－3＋3×1＋9＝9。
*9. 23 解析：∵a、b满足a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，即a、b是x2＋1＝5x的两个实数根，整理此方程为x2－5x＋1＝0，根据根与系数的关系可知a＋b＝5，ab＝1。∴＋＝＝＝23。
**10. ①② 解析：①∵方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0中，＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，∴x1≠x2，故①正确；②∵x1x2＝ab－1＜ab，故②正确；③∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝ab－1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2ab＋2＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，即x12＋x22＞a2＋b2。故③错误；综上所述，正确结论的序号是：①②。
三、解答题
11. 解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2、m，∴，解得，即m、n的值分别是1、－2。
*12. 解：根据条件知：α＋β＝－（2m＋3），αβ＝m2，∴＋＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0，所以有，解得m＝3。
**13. 解：∵α是方程x2＋2x－1＝0的根，∴α2＝1－2α。∴α3＝a2·a＝（1－2α）α＝α－2α2＝α－2（1－2α）＝5α－2，又∵α＋β＝－2，∴α3＋5β＋10＝（5α－2）＋5β＋10＝5（α＋β）＋8＝5×（－2）＋8＝－2。
**14. 解：（1）∵原方程有两个实数根，＝[－（2k＋1）]2－4（k2＋2k）＝4k2＋4k＋1－4k2－8k＝1－4k≥0，∴k≤。∴当k≤时，原方程有两个实数根。（2）假设存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立。理由如下：∵x1、x2是原方程的两个实数根，∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2＋2k。由x1·x2－x12－x22≥0得3x1·x2－（x1＋x2）2≥0。∴3（k2＋2k）－（2k＋1）2≥0，整理得：（k－1）2≤0，∴只有当k＝1时，上式成立。又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立。
**15. 解：原方程可变形为：x2－2（m＋1）x＋m2＝0，∵x1、x2是方程的两个实数根，∴≥0，即4（m＋1）2－4m2≥0，∴8m＋4≥0，m≥－。又x1、x2满足︱x1︱＝x2，∴x1＝x2或x1＝－x2，即＝0或＞0且x1＋x2＝0，由＝0，即8m＋4＝0，得m＝－。由x1＋x2＝0，即2（m＋1）＝0，得m＝－1（不合题意，舍去）。∴当︱x1︱＝x2时，m的值为－。
三招判定切线
直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力！
第一招：确定直线和圆交点的个数。
如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。
第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。
说明：
第三招：利用切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：
点A是直线AB与圆O的公共点，如果OA⊥AB，那么直线AB是圆O的一条切线。
说明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。
例题1 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的圆P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm，如果圆P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当圆P的运动时间t（秒）满足什么条件时，圆P与直线CD相切？
解析：要想保证圆P与直线CD相切，就要使点P到直线CD的距离等于1cm。符合条件的圆有两个，圆心分别在点O的两侧。
答案：如下图
（1）当圆P运动到点P1时，可得，又因为∠AOC=30°，所以 =2cm，所以圆P运动到圆所用的时间（秒）；
（2）当圆P继续向B运动，当点P到达点P2时，F P2=1cm同理可得：（秒）。
点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。
例题2 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点D、E，且。判断直线与圆O的位置关系，并证明你的结论。
解析：本题是常见的切线问题，根据图形中各个角的关系得出∠ODB=90°即可。
答案：直线与⊙O相切。证明如下：
如图，连结OD。∵∠C=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°。又∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°。∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°。∴直线BD与⊙O相切。
点拨：若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点的半径，再证其与直线垂直。
直线和圆相切中的辅助线
切线的判定定理是比较常用的一个定理，用该定理证明问题时，往往用到辅助线。这部分的辅助线主要包括：“作半径”、“作垂线段”。
满分训练 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，CD为半径画圆，判断⊙D与AB的位置关系并说明理由。
解析：根据角平分线的性质，可得点D到AC和AB的距离相等，即圆心D到AB的距离等于圆的半径。
答案：作DF⊥AB，垂足为点F，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DC，即圆心D到AB的距离等于圆的半径，所以⊙D与AB相切。
点拨：“证半径”就是计算圆心到直线距离的过程，“作垂线，证半径”是解这一类题的另一种常用思路。
（答题时间：30分钟）
1. 已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当时，直线l与⊙O的关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对
2. 若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
3. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径的圆必与（ ）
A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相离
4. 矩形的两条邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交
6. 以等腰三角形顶角的顶点为圆心，顶角平分线为半径的圆，必与底边（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定
*7. 圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，r、d是方程的两根，则直线l与圆O的位置关系是 。
8. 如图，已知45°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作，若点M在OB上运动，当OM= cm时，圆M与OA相切。
*9. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F。求证：直线EF是⊙O的切线。
*10. 在同一平面直角坐标系中有5个点：（1，1），（，），（，1），（，），（0，）。
（1）画出△的外接圆⊙，并指出点与⊙的位置关系；
（2）若直线经过点（，），（0，），判断直线与⊙的位置关系。
**11. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC。
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F。
求证：FD＝FG
**12. 如图，AB是圆O的直径，BCAB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD//OC，弦DFAB于点G。
（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线。
**13. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC。
（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r。
1. B 解析：根据直线和圆的位置关系的性质可得，当时，直线l与⊙O的关系为相切。
2. A 解析：点O到射线AB的距离为10×=5cm，即d＜r，所以圆与射线AB的位置关系是相交。
3. C 解析：点到x轴的距离为1，正好等于圆的半径，即该圆必与x轴相切。
4. D 解析：该圆的半径为2.5，圆心到矩形的另外三边的距离都为2.5，所以三边都和圆相切。
5. B 解析：点C到线段AB的距离为2cm，即圆C的半径，所以⊙C与AB的位置关系是相切。
6. C 解析：等腰三角形顶角的顶点到底边的距离为顶角平分线的长度，正好等于圆的半径，即底边与该圆相切。
*7. 相离或相交 解析：解方程的两根为4和5；当r=4，d=5时，直线l与⊙O的位置关系是相离，当d=4，r=5时，直线l与⊙O的位置关系是相交。
8. 2 解析：⊙M与OA相切时，设切点为D，则OD=MD=2cm，又因为45°，所以OM===2。
*9. 证明：连接OE，
∵OB=OE，∴∠B=∠OEB。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴∠OEB=∠C。
∴OE∥AC。∵EF⊥AC，∴OE⊥EF。∴直线EF是⊙O的切线。
*10. 解析：（1）所画⊙如图所示。由图可知，⊙的半径为。连结，
∵，∴点在⊙上。
（2）直线与⊙相切。理由如下：连结。
∵直线过点（，），（0，），∴，，。
∴。∴△是直角三角形，且。∴。
∴直线与⊙相切。
**11. 证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90o，∴∠CAB+∠ABC＝90o。
∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90o，即MA⊥AB。∴MN是半圆的切线。
（2）∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD。∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90o，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90o。∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG。
**12. 证明：（1）∵，∴。∴，∴。
（2）连接。
由（1）知，在和中，，。
∴。∴。
又∵，∴，即是的切线。
**13. 解析：（1）连接OA，OD，
则OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC =90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90°，∴OA⊥AC。
∴AC是⊙O的切线。
（2）∵⊙O半径是r。
当F在半径OE上时，OD=r，OF=8－r，
在Rt△DOF中，r2+（8－r）2=（）2。∴（舍）
当F在半径OB上时，OD=r，OF=r－8，
在Rt△DOF中，，∴，（舍）
即⊙O的半径r为。
三招教你求阴影面积
在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措．求不规则图形面积主要是通过转化，将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算． 以下三招可以助你一臂之力！
第一招：直接法
将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．这是求面积的常用方法．不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其中：
1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．
2. 扇形面积公式：若设⊙O半径为R，则圆心角为n°的扇形的面积公式为：
又因为n°的圆心角所对的弧长为：，所以．
说明：公式中n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
例如：如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4cm，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积．
解析：图中阴影部分面积为：以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB面积；而弓形面积等于扇形AOB面积减去△AOB面积．
解：∵OA＝4cm，∠O＝90°，OB＝4cm，∴（cm2），
又，所以，
而，
故．
第二招：割补法
1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积．
例如：如图（1），在以AB为直径的半圆上，过点B做半圆的切线BC，已知AB=BC=，
连结AC，交半圆于D，则阴影部分图形的面积是______．
解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因，所以可进行割补转化．
解：连接DB，因为AB=BC， ，如图（2），所以 AD=DB=DC，所以
把弓形AD割补到弓形DB处，则图（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中Rt△BDC的面积．
因此．
2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体，然后利用相关图形的面积公式整体求出．
例如：如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？
解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是1，是等圆，可把五个扇形割补到同一个圆中．
解：因为，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°
所以．
第三招：等积变形
把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积．例如：
如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求图中阴影部分的面积．
解析：图中阴影部分可看作弓形BC面积与三角形ABC面积的和，而△ABC不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC将△ABC移形，连接OC、OB，则S△OCB＝S△ACB．则阴影部分面积为扇形AOB面积．
解：连接OB、OC，如图，
因为BC∥OA，所以△ABC与△OBC在BC上的高相等，所以，
所以，又∵AB是⊙O的切线，所以OB⊥AB，而OB＝2，OA＝4，所以∠AOB＝60°，由BC∥OA得∠OBC＝60°，所以△OBC为等边三角形，∠BOC＝60°，
．
例题 如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1、O2、O3、O4分别OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为（ ）
A. 8 B. 4 C. 4π+4 D. 4π－4
解析：如图将AD、DB、BC、CA、OE、O3E连接起来，得到一个对角线为4的正方形，由割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面积．
解：连接AD，DB，BC，CA，．故选A．
答案：A
点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等，把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、转化思想．割补法是转化法的一种．
求旋转问题中的阴影面积
满分训练 （江苏中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．
解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊图形的面积的和或差来求．
解：∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29．∴S阴影＝S扇形BCB1＋S△A1B1C－S△ABC－S扇形ACA1 ．∵△ABC旋转得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S阴影＝S扇形BCB1－S扇形ACA1＝－＝（cm2），故答案为．
答案：
点拨：扇形面积的计算公式：S＝，S＝lR，求阴影面积（或不规则图形面积）时常用图形割补的方法（图形变换），或用几个特殊图形的面积的和或差来求．利用旋转变换将所求面积转化为两个扇形的面积之差是解题关键。
（答题时间：30分钟）
1. （德州中考）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB?90?，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A. ? B. ?? C. D. ??
2. 如图，点E是BC的中点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
*3. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E． B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
*4. 在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB、AC为直径作半圆，过点B、A、C作弧，如图所示，若AB=4，AC=2，，则S3－S4的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等⊙A、⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．
6. 如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 （π≈3．14，结果精确到0．1）
*7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2． 将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B、A、C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 ．
8. 如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 ．（结果保留）
**9. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证EF是⊙O的切线；（2）求证AC2=AD·AB
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上的一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．
（1）求证：∠A=2∠DCB；⑵求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
**11. 如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
**12. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°
（1）求证：DP是⊙O的切线；⑵若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
13. 如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
1. C 解析：因为扇形AOB的半径为1，∠AOB?90?，所以AB=，△AOB的面积为，扇形AOB的面积为，所以弓形的面积为，又因为半圆的面积为，所以阴影部分的面积为：－（）=．故选C．
2. C 解析：连接AE、OD，∵AB是直径，∴AE⊥BC．∵点E是BC的中点，∴AB=AC．在△AEB与△AEC中，AE=AE，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴Rt△AEB≌Rt△AEC，∴AB=AC（SAS）∴△ABC是等腰三角形．∵∠BED=120°，∴∠BAD=60°（圆内接四边形的对角互补），∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴AD=OA=2，∴点D是AC的中点，∴DE=2（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），∵∠BAE=30°，∴BE=AB=2，∴DE=BE，∴=，∴=．又∵DE是△ABC的中位线，∴△CDE是边长为2的等边三角形，∴===． 故选C．
3. D 解析：如下图所示：连接OB、OE、BE、BD．设半圆的半径为R．
∵B、E是半圆弧的三等分点，∴∠DOB＝∠BOE＝∠EOA＝60°．
∵弧BE的长为，∴，解得R＝2．∴S扇形OBE＝＝××2＝．
∵AD是半圆O的直径，∴∠ABD＝90°．在Rt△ABD中，∠BAD＝∠DOB＝30°，
∴AB＝AD·cos∠BAD＝4×＝．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝∠BOE＝30°，
∴BC＝AB＝，AC＝AB·cos∠BAC＝×＝3．∴S△ABC＝AC·BC＝×3×＝．∵OB＝OE，∠BOE＝60°，∴△BOE是等边三角形，
∴∠BEO＝60°＝∠EOA，∴BE∥AD，∴S△ABE＝S△OBE，
∴S阴影＝S△ABC－S△ABE－S弓形OBE＝S△ABC－S△OBE－S弓形OBE＝S△ABC－S扇形OBE
＝． 故选D．
4. D 解析：∵S1+S3=πAB2=2π ①，S2+S4=πAC2=π ②，∴①－②得：（S1－S2）+（S3－S4）=，∵， ∴S3－S4=－=．故选D．
5. 解析：∵∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=10∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°，由等圆可知⊙A、⊙B的半径为5，根据扇形的面积计算公式，可得阴影部分的面积等于
+===
6. 7.2 解析：依题意，得扇形的半径＝＝，圆心角∠ABA′＝90°，∴图中阴影部分的面积＝扇形的面积－直角三角形的面积＝－×2×3＝π×13－3≈×3．14×13－3＝10．205－3≈7．2．
7. 解析：＝＝＝．
8. 解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为，所以，图中阴影部分面积的和为=．
9. 解析：⑴证明：连接OC，
∵AD⊥EF，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵∠DAC=∠BAC，∴∠CAD=∠ACO，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ACO =90°即∠OCD=90°，∴EF是⊙O的切线.
⑵证明：连接BC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．①∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°－2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°．②，由①②得：∠ACD－∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADC=90°．在Rt△ACD与△RtACB中，∵∠B=∠ACD ∠ACB=∠ADC，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．
⑶∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°，∵∠ACD=30°，∴∠OCA=60°，∵OC=OA，∴△ACO是等边三角形，∴AC= OC=2，∠AOC=60°，
在Rt△ADC中，∵∠ACD=30°，∴AD=1，CD=，S阴影= S梯形OCDA－ S扇形OCA=．
10. 解析：（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切于点D，∴∠ODB=90°，∴∠B+∠DOB=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DOB，
∵OC=OD，∴∠DOB=2∠DCB，∴∠A=2∠DCB;
（2）在Rt△ODB中，∵OD=OE，OE=BE，∴cos∠B==，∴∠DOB=60°．
∵BD=OB·sin60°=2．∴S扇形ODE==π，S阴影=S△DOB－S扇形ODE=2－π．
11. 解析：（1）CD与圆O相切，理由为：
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD与圆O相切；
（2）连接EB，
由AB为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD，F为EB的中点，∴OF为△ABE的中位线，∴OF=AE=，即CF=DE=，在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，则S阴影=S△DEC=××=．
12. 解析：⑴连接OD、DB，
∵∠ACD=60°∴∠ABD=60°．又∵OB=OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD=60°．
又∵∠APD=30°，∴∠ODP=90°，∴OD⊥DP，又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
⑵由⑴知△ODP为Rt△，∠APD=30°，∴tan30°=，∴DP=．
∴S阴影=S△ODP-S扇形=OD?DP－=×3×-=-
答：阴影部分的面积为cm．
13. 解析：如下图，连接OC，过点O作OG⊥BC于点G，交半圆周于点D．
易知直线BC、OD是两条弧BOC与BDC所围成的图形的对称轴，故OG＝OC，从而∠OCG＝30°，∠COG＝∠GOB＝60°，∠AOC＝60°．由对称性易知，弧OFB与半径OB组成的弓形面积等于弧OEC与半径OC组成的弓形面积，因此，S阴影部分＝S扇形OAC＝＝．
与圆有关的动态问题
与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。
在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：
1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。
3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例题1 如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。
解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA＝2OP，∴∠OAP＝30°。故选A。
答案：A
点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。
例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
解析：考虑用特殊值验证的方法。
解：可以采用特殊值的方法来“破题”，比如当x＝1时，△APO恰为正三角形，此时面积为，达不到，这样就排除了选项B、D；由于比较接近，所以只有选项A符合要求。
答案：A
点拨：可以发现，在这种解法中，特殊值（y＝1）至关重要；此外，数学的直观能力、题感在这道题也体现得比较充分，这也是本题选择以客观题（即不必展示过程）形式出现的原因。正如史宁中教授所说：“数学上有很多问题我们能看出结果，但要说得真切是困难的！”
例题3 如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝，DE＝，下列能表示与函数关系的图象大致是（ ）
解析：本题若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂。若注意分析y随x的变化而变化的趋势，与各选项的图象逐一比对，则能迅速解决。
解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小。故选A。
答案：A
点拨：本题是一个以圆为背景的动点问题，若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂；但若仔细观察、分析可以发现：随着x的值逐渐增大，y经历了一个先变大再变小的过程，这样就能快速解决问题。
与圆有关的动态问题中的切线
动态问题一般是图形在运动中产生函数问题或规律问题，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从“动”中找出问题的隐含规律。
满分训练 半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l 相切于点F，DC在l上。
（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点，
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是____；
②如图2，当E、A、D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M、N分别是边BC、AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围。
解析：本题综合考查了动态问题、圆、特殊平行四边形的判定、相似三角形的判定、三角函数、一元二次方程的解法等知识。
解：（1）①如图1，因为切线BE是⊙O的切线，所以OE⊥BE于E，又OA＝AB＝OE＝2，易得∠EBA＝30°；
②如图2，∵直线l与⊙O相切于F，∴∠OFD＝ 90°。
∵正方形ADCB中，∠ADC＝ 90°，∴OF//AD。∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形。
∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形。∴DA ⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴E、A、D三点在同一直线上。∵E、A、D三点在同一直线上，∴EA⊥OB。
∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO。又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE。
∴。∴OE2＝ OA·OB。∴OA（2＋OA）＝4，解得，OA＝－1±，∵OA＞0，
∴OA＝－1
（2）如图3，设∠MON＝ n°，（cm2）。
S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，最大。
过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON＝2∠NOK，NM＝2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK＝
∴∠NOK随NK的增大而增大，∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小。
①当N、M、O分别与D、B、A重合时，MN最大，MN＝BD，∠MON＝∠BOD＝90°，（cm2）
② 当MN＝DC＝2时，MN最小。
∴ON＝MN＝OM，∴∠NOM＝60°。 （cm2），∴。
答案：（1）30°；－1；（2）
点拨：这类问题可细分为点动型、线动型、形动型。解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。
（答题时间：45分钟）
【友情提示】因本讲内容综合性较强，故在解题过程中可能会涉及到相似和锐角三角函数相关知识，请敢于挑战自我、勇于得满分的“童鞋”提前预习相关知识点。
1. 如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动。当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°
2.（湖南中考）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
3. （甘肃中考）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ）
*4. （甘肃中考）如图，已知⊙P的圆心在定角（0°<<180°） 的角平分线上运动，且⊙P与的两边相切，则图中阴影部分的面积S关于⊙P的半径r（r>0）变化的函数图象大致是（ ）
5. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于的函数图像大致是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC→→DO的路线做匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）的函数关系最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A. 2周 B. 3周 C. 4周 D. 5周
8. 如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC ＝45°，AB＝2，D 是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 。
9. 如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是________。
*10. 如图，∠APB＝30°，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP＝3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，求圆心O移动的距离。
***11. 在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图）。已知AD＝13，AB＝5，设AP＝x，BQ＝y。
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF＝EC＝4，求x的值。
***12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）。动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设ΔQCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围。
1. B 解析：∵如图所示，连接OD、BD，
由切线的性质可知，OD⊥CD ，OA＝OD＝AD＝1。∴△AOD为等边三角形，∠DAO＝∠AOD＝60°，∠CDA＝90°－60°＝30°， 又∵∠DCA＝90°－60°＝30°，∴当∠APB的度数最大时，P点移动到D点的位置，即∠CDA＝∠DCA＝30°。∴∠ABD＝30°。故答案为B。
2. A 解析：圆沿该水平线开始进入正方形时，阴影部分面积逐渐减少，圆完全进入到正方形直到开始穿出时，这一段时间阴影部分面积不变，圆开始穿出正方形时，面积减少，故选A。
3. B 解析：设AB＝a（?a>o的常数），点P的速度是1。当04. C 解析：如图，连接PA、PB、PO，
则∠POA＝，∠APB＝180°－。PA＝r，在Rt△PAO中，，。S四边形AOBP＝2S△AOP＝＝OA·PA＝＝。S扇形APB＝。所以S＝－＝。所以S是r的二次函数，并且S随r的增大而增大，图象在第一象限，故选C。
5. D 解析：∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，在Rt△PAB中，PA＝2－x，AB＝PA·tan60°＝（2－x），∴y＝（2－x）2（0≤x＜2），函数的图象是抛物线，且开口向上，对称轴是x＝2，只有选项D符合题意，故选D。
6. C 解析：（1）点P在OC上时，y（∠APB）随t的增大而减小，由90°减小到45°；
（2）点P在上时，y（∠APB）随t的增大而始终不变，∠APB＝∠AOB＝45°；
（3）点P在DO上时，y（∠APB）随t的增大而增大，由45°增加到90°。∴选C。
7. C 解析：∵等边△ABC的周长为6π∴等边三角形的边长为2π∵⊙O的半径是1∴⊙O的周长为2π，故等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，∴圆从D转到D的过程中在三角形的边上转动了3圈，∵在每个顶点处，转动的角度是360°－60°－90°－90°＝120°，∴在三个顶点处转动360°，即在三个顶点共转1圈。则这个圆共转了4圈。故选C。
8. 解析：如图所示：连接ED、EO；弦EF所对的圆周角∠EAF＝60°，要使弦最小只要圆最小即可，圆的大小由直径AD确定，所以AD最小即圆最小，当AD⊥BC时EF最小。因为∠ABC ＝45°，AB＝2，所以AD＝BD＝2，所以EO＝1＝0。5BD，所以EO//BD，则AE＝；因为∠BAC＝60°，∠ABC ＝45°，得∠ACB＝75°，根据三角函数公式，求出AC＝，DC＝，因为∠ADE＝∠AFE，∠EAF＝∠CAB，所以△AEF∽△ACB，EF＝
9. 且 解析：作与OA平行且与圆相切的直线，这两条直线与x轴的交点即是所求的点P，过点O向直线作垂线，因为∠AOB＝45°，所以得到一腰长为1等腰直角三角形，根据锐角三角函数或勾股定理得点P的坐标，所以。又∵直线与OA平行，。故x的取值范围为且。
10. 解析：设当⊙O与PA相切时，切点为H，则OH⊥PA，所以在Rt△POH中，sin∠APB＝＝，即PO＝2OH＝2。因此，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为3－2＝1（cm）。
11. 解析：（1）在矩形中，，，∴，
∵线段的垂直平分线交边于点，∴MQ⊥BP，，PQ＝BQ，
∴，，∴△∽△，
∴，即，即，的取值范围为1≤x≤13；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，即PQ＝AP＋CQ，可得BQ＝AP＋CQ，，可得，解得；
（3）如图，∵，，∴，
∵，∴，
即，，可得，即，
可得或者（舍去），∴的值为。
12. 解析：（l）因为 CA 是 OP 的直径，所以CD⊥OA 。所以 CD ∥ BO。
所以△ ACD ∽△ABO，所以＝。
因为 OA ＝8，OB＝6，AB＝10，CA＝2t，所以AD＝t，OQ＝t。
当点 Q 与点 D 重合时，即OQ＋AD＝OA，所以 t＋t ＝8，t＝
（2）由△ACD ∽△ ABO，易得CD＝t，
当0＜ t＜时，S＝×t×（8－t－t）＝－ t2＋t。
因为－＝，0＜＜，所以当t＝时，S有最大值为；
当＜ t≤5时，S＝×t×（t －8＋t）＝ t2－t。
因为－＝，＜，所以 S 随 t 的增大而增大。所以当 t ＝5时，S 有最大值为15 ＞。综上所述S 的最大值为15。?
（3）0＜t≤或＜t≤5。
与圆有关的线段
在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。求圆中线段的长是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。因此，这部分内容在中考中占举足轻重的地位。
垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴PC=PD，=，=。
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（3）勾股定理：
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
例题1 （温州市中考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB。延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC、CE。
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC－AC=2，求CE的长。
解析：要求CE长，可通过证明CE=AB，转化为求AB长，结合∠E=∠B及等腰三角形的性质、勾股定理，可解决问题。
答案：解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D。
（2）设BC=x，则AC=x－2。在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x－2）2+x2=4，
解得（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，
∵CD=CB∴CE=CB=1+。
点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是正确理解和应用有关定理。与圆周角有关的问题，需要灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。
例题2 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC 于D．若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
解析：根据垂径定理可以知道线段EB的长，设出圆的半径，然后用半径表示出OE，这样就可以在Rt直角三角形OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径．
解：因为，OD⊥BC， 所以，BE＝CE=BC=4． 设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．解得R＝5，∴⊙O的半径为5．
点拨：在求圆的半径时，关键是利用垂径定理构造直角三角形，然后设半径根据勾股定理列出方程，解得答案．
如何解决圆中的线段问题
圆中的线段包括：半径、直径、弦、切线。求这些线段长是这部分的主要题型，综合利用圆中性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。在解题的过程中，你能否掌握其中的技巧吗？
满分训练 （湛江中考）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC。
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长。
解析：（1）设法证出∠OAP=90°即可；（2）利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC的长。
答案：解：（1）设AC与OP相交于点H。∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B．∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAB=90°，∴PA为⊙O的切线。
（2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH，在直角三角形PAO中，
AP=
由面积法可知：，所以AC=8。
点拨：本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算，掌握圆的切线的证法以及圆中基本的计算方式是解题的关键。求线段的长度有以下常用的方法：
（1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；
（2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；
（3）面积法，适用于有直角三角形中有高的存在的图形。
（答题时间：30分钟）
1. 如图，内接于⊙O，，，则⊙O的半径为（ ）
A. B. C. D.
2. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，
3. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为（ ）
A. 厘米 B. 厘米 C. 2厘米 D. 3厘米
5. 如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（ ）
A. B. 8 C. D.
6. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
7. 如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A. cm B. cm C. cm D. 4cm
8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。
9. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r。
10. 如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB。
（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线。
11. 如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形。
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由。
12. 如图，△ABC内接于⊙O，60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC。
（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若，求⊙O的直径。
1. B 解析：过点B作圆的直径BD，交圆于点D，连接AD，
根据圆周角定理，得：∠C=∠D=30°，∠DAB=90°，所以在Rt△ADB 中，因为，∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2。
2. B 解析：画图如下，由正方形的性质，垂径定理可得OE=AE=3，OA=。故选B。
3. D 解析：连接OC，如图，设OC的长为r，∵AB＝12，BP︰AP=1︰5，∴AP＝10，∴OP＝4。由垂径定理可得△OPC是直角三角形，并且CD＝2CP。在Rt△OCP中，由勾股定理CP＝，∴CD＝，故选D。
4. B 解析：延长DO交⊙O于E，过点O作OF⊥AB于F，则CE＝8厘米。由相交弦定理，得DC·CE＝AC·CB，所以AC·2 AC＝2×8，故AC＝2（厘米），从而BC＝4厘米。
由垂径定理，得AF＝FB＝（2＋4）＝3（厘米）．所以CF＝3－2＝（厘米）。在Rt△COF中，OF＝＝＝（厘米）。
5. D 解析：连接BE，
∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE= =6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE= 。
6. C 解析：因为AB是直径，因此∠C是直角，∴BC==8，∵OD⊥BC，根据垂径定理，BD等于BC的一半，所以BD=4。故选C。
7. A 解析：连接BC、BD、OD，
则OD、BC交于E。由于AD平分∠BAC，所以，所以OD⊥BC，又半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，所以BC＝8cm，所以BE＝4，又OB＝5cm，所以OE＝3cm，所以ED＝5－3＝2（cm），在Rt△BED中，BD＝＝cm，又∠ADB＝90°，所以AD＝＝4cm。故选A。
8. 6 解析：因为BD为⊙O的直径，根据圆周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90°。
又因为，∠BAC=120°，AB=AC，所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°。在Rt直角三角形ABD 中，有：cos30°=，又AD=6，所以，BD=4，
连接DC，则∠BCD=90°，在Rt直角三角形BCD 中，∠DBC=30°，BD=4，
得：cos30°=，BC=4×=6．
9. 解析：（1）连接OA、OD，
则OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC=90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90°，∴AC是⊙O的切线。
（2）BF=8，DF=，∴OF=8－r，∴在直角三角形OFD中，r2+（8－r）2=，解得，r=2。
10. 解析：（1）连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB=60°，又∵OC=OB，∴△OBC是正三角形，∴BC=OC=2。
（2）证明：∵BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是正三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线。
11. 解析：（1）连接BD，
则∠DBE?90?．∵四边形BCOE是平行四边形，
∴BC∥OE，BC?OE?1。在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC?AD?1。∴AD?2。
（2）连接OB，由（1）得BC∥OD，且BC?OD，∴四边形BCDO是平行四边形。
又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD。∴四边形BCDO是矩形。∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线。
12. 解析：（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线。
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，
∵PD=，∴2OA=2PD=2。∴⊙O的直径为2。
与圆有关的角
角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；
由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径
说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
示例：如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 65° D. 75°
解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=（180°－50°）=65°，故选C。
例题 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小。
解析：（1）连接OC，由已知及切线的性质推AD∥OC，进而根据OA=OC，推∠DAC、∠ACO、∠CAO的关系；（2）连接BF，根据已知条件利用直角三角形两直角互余求建立等量关系，再根据圆内接四边形对角互补转化关系，最后求∠BAF。
答案：解：（Ⅰ）如图，连接OC。
∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，得∠OCD=90°。由AD⊥l，得∠ADC=90°。
∴AD∥OC，∴∠ACO=∠DAC，在⊙O中，由OA=OC，得∠BAC=∠ACO，∴∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图，连接BF。
∵AB为⊙O直径，，∴∠FAB+∠B=90°。
∵AD⊥l，∴∠DAE+∠AED=90°。
∵∠AED+∠AEF=180°，
又∵在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF+∠B=180°，
∴∠AED =∠B，
∴∠FAB=∠DAE。
∵∠DAE=18°，
∴∠BAF=18°。
点拨：1. 有切线和切点，常做切半径作为辅助线，转移相关的角；2. 直径对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补等性质是在圆中推导角的关系时常用的性质。
圆中的角在开放性问题中的应用
满分训练 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径。∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F。
（1）求证：DP∥AB；
（2）试猜想线段AE、EF、BF之间有何数量关系，并加以证明；
解析：（1）题须作“经过切点的半径”，是圆中解决和切线有关的问题时常用的辅助线；理顺各角间的关系是解答本题的关键。（2）题须证明△ADE≌△DBF，利用圆周角定理找出AD＝BD是解答本题的关键；
答案：（1）证明：连接OD。∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°
∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝×180°＝90°，∴∠ODP＝∠BOD，∴PD∥AB。
（2）答：BF－AE＝EF。证明如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°。
∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AED＝∠BFD＝90°，∴∠FBD＋∠BDF＝90°，∴∠FBD＝∠ADE。
∵∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴△ADE≌△DBF。∴BF＝DE，AE＝DF，
∴BF－AE＝DE－DF＝EF，即BF－AE＝EF。
点拨：由于圆的切线垂直于过切点的半径，所以如果圆中有切线，一般作经过切点的半径，构造直角三角形，在直角三角形中求角的度数；在同圆或等圆中，常借助圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，来寻求圆周角和圆心角之间的关系。
（答题时间：30分钟）
1. （黔西中考）如图1所示，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动。当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°
3. （广东中考）如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A. 36° B. 46° C. 27° D. 63°
4. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 3
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 50° D. 60°
6. 如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°。则∠B= 度。
7. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 。
8. （济南中考）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD=35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C=__________度。
9. 在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。求∠D的度数。
10. 如图AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，K为上一动点，AK、DC的延长线相交于点F，连接CK、KD。
求证：∠AKD＝∠CKF
1. A 解析：连接OC，
∵CE为切线，∴∠OCE=90o∵，∴∠COE=40o，∴∠E=50o。故选A。
2. B 解析：∵如图所示，连接OD，BD，
由切线的性质可知，OD⊥CD，OA＝OD＝AD＝1。∴△AOD为等边三角形，∠DAO＝∠AOD＝60°，∠CDA＝90°－60°＝30°，又∵∠DCA＝90°－60°＝30°，∴当∠APB的度数最大时，P点移动到D点的位置，即∠CDA＝∠DCA＝30°。∴∠ABD＝30°。故答案为B。
3. A 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC=54°。
∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90o，∴∠AEB=90o－∠B=90o－54o=36o。故选A。
4. C 解析：连结OC，∵点A、B、M、O四点共圆，∴∠BMO +∠BAO=180°，∵∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AC=OC，∴△OAC是等边三角形。∴OC=OA=3。故本题选C。
5. C 解析：在⊙O中，OA＝OB，所以∠ABO＝∠BAO＝40°，所以∠AOB＝100°，所以∠ACB＝∠AOB＝50°。故选C。
6. 60 解析：连接OA，
则OA⊥MN，由于∠MAB=30°，所以∠OAB=90°－30°=60°，而OA=OB，所以∠B=∠OAB=60°。
7. 55° 解析：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∠P=70°，∴∠AOB=360°－90°×2－70°=110°，∴∠C=。
8. 20 解析：连接OD，
则∠ODC=90°，∠DOC=2∠BAD=70°，因此∠C=90°－70°=20°。
9. 解析：连接BD，
∵AB⊙O是直径，∴BD ⊥AD。又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC=∠C。又∵∠BDC=∠BOC，∴∠C=∠BOC，∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC＝60°。
10. 解析：证明：连接AD，∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，∴∠CKF＝∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝。∴∠ADC＝∠AKD。∴∠AKD＝∠CKF
几何基本图形：一线三等角
1. 基本模型
注意：利用同角的余角相等证明△ACD∽△BEC
2. 模型扩展
（1）锐角
相似依据：运用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和寻找相等的角度，得出两个三角形相似并加以运用。
（2）钝角
注意：
（1）相似三角形中对应边要找准。
（2）熟练记忆“一线三等角”的基本模型，根据三角形相似可得：；
（3）此模型中共有三组相似三角形，一般考查△BED∽△CDF。
例题 （历城区三模）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点。
（1）若BE=2，求CM的长；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。
解析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM，就有，即可以得出答案；（2）分别从AE=AM，AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积。
答案：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
∴，
∴，
∴；
（2）能。
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，
∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴=，
∴；
当AE=AM时，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0。
∴BE=1或或0。
（3）设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴，即：，
∴，
∴，
∴当x=3时，AM最短为，
又∵当时，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴，此时，EF⊥AC，
∴，。
点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题。关键是利用“一线三等角”判断出两三角形相似。此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键。
【方法归纳】
1. 平面直角坐标系中，常作点到坐标轴的垂线，构造“一线三直角”。把点的坐标和线段的长度建立联系，解决问题。
2. 矩形中的翻折问题发现“一线三等角”，常用方程的思想解决。
3. 动态几何中图形的存在性问题应注意分类讨论思想的应用，不重不漏。
例题 在平面直角坐标系中，一张矩形纸片按图所示放置。已知，，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）交于点，与边（含端点）或其延长线交于点。
请回答：
（1）如图，若点的坐标为，直接写出点的坐标；
（2）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；
解析：（1）利用折叠的性质，可得AE=OE=4，根据勾股定理就可以求出线段DA的长；（2）如图，根据，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，得出△DEA∽△GAF所以，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得A点的坐标。
答案：（1）点A的坐标为
（2）如图，过点F作FG⊥DC于G
∵EF的解析式为，
∴E点的坐标为（0，n），
∴OE=n
∴F点的坐标为（2n，0），
∴OF=2n
∵△AEF与△OEF全等，
∴OE=AE=n，AF=OF=2n
∵点A在DC上，且∠EAF=90°
∴∠1+∠3=90°
又∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠2
在△DEA与△GAF中，
∴△DEA∽△GAF
∴
∵FG=CB=6
∴
∴DA=3
∴A点的坐标为（3，6）。
点拨：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，在矩形折叠问题中要善于发现“一线三等角”的模型，并利用该知识点解决问题。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. （济南）已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于（ ）
A. B. C. D.
*2.（温州）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCO的顶点C的坐标为（0，8），沿着直线折叠纸片，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，则b等于 。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
*3. （苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与边CD相交于点Q。则CQ的最大值为（ ）
A.4 B. C. D.
**4. （道里区一模）如图，△ABC中，AB=5，BC=11，，点D在BC上，∠ADE=90°，∠DAE=∠ACB，ED=EC，AE的长为（ ）
A. B.6 C. D.8
二、填空题
*5. （润州区二模）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且OA⊥OB，∠A=30°，则k的值是 。
*6. （海南）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 。
**7. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45°。直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F。若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于 。
**8.（本溪一模）如图所示，正方形ABCD中，点P是边AB上一点，将一个直角三角板的直角顶点与点P重合，并保证其一条直角边始终经过点C，另一条直角边与AD交于点Q，若，则 ；若，则 。
三、解答题
**9.（盐城）情境观察：
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示。将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示。
观察图2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC′= °
问题探究：
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。
拓展延伸：
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H。若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。
**10.（相城区一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点。把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB。过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于一点E。设A点的横坐标为t，
（1）若t=3，则点B的坐标为 ，若t=﹣3，则点B的坐标为 ；
（2）若t＞0，△BCD的面积为S，则t为何值时，△BCD的面积为6？
（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由。
**11. （咸宁）阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处。若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系。
**12. （扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA。
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP。动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E。试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度。
1. C 解析：如图，过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F
在矩形ABCD中，∠BCD=90°，
∵∠α+∠BCE=90°，∠BCE+∠DCF=180°﹣90°=90°，
∴，
又∵∠BEC=∠CFD=90°，
∴△BEC∽△CFD，
∴，即，
∴。
在Rt△BCE中，
∵∠BEC=90°，
∴。
2. B 解析：作EH⊥OA于H，
如图，把x=0代入，D点坐标为（0，b），
∵C点坐标为（0，8），而四边形ABCO为矩形，
∴E点的纵坐标为8，
把y=8代入得，解得，
∴E点坐标为，
∴OD=b，，，EH=8，
∵矩形纸片ABCO沿着直线折叠，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，
∴，，∠DFE=∠DCE=90°，
∴∠DFO+∠EFH=90°，而∠DFO+∠ODF=90°，
∴∠ODF=∠EFH，
∴，
∴，即，
∴OF=4，FH=2b，
∵，
∴，
∴b=3.
3. B 解析：设BP=x，CQ=y，
∵,,
∴
又∵，则；
∴，即
整理得：
∴CQ的最大值为：。
4. A 解析：作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足分别为M，N。
又∵AB=5，BC=11，，
∴AM=4，BM=3，
∴CM=11﹣3=8，
∵∠DAE=∠ACB，
∴，
又∵∠ADE=90°，
∴△AMD∽△DNE，，
又∵ED=EC，EN⊥BC，
∴MD=DC=4，
由勾股定理得：，
∴，
5. 解析：过点B作BC⊥x轴于点C，AD⊥x轴于点D，
∵OA⊥OB，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠OAD=90°，
∴∠2=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△OBC∽△AOD，
∴，
∵∠A=30°，∠BOA=90°，
∴，
设，
∴，
∴，
∵ ，
∴。
6. 解析：分别过点A、B、D作，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，
在△BCE与△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（ASA）
∴CF=BE，CE=AF，
∵与的距离为1，与的距离为3，
∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，
在Rt△ACF中，
∵AF=4，CF=3，
∴，
∵，
∴△CDG∽△CAF，
∴，，解得，
在Rt△BCD中，∵，BC=5，
∴。
7.
解析：作AM⊥BC，DN⊥BC，根据已知条件可得，=
在直角三角形ABM中，∠B=45°，则AB=，
①当 时，如图2，
，
∴，
则在中，，故。
易得△FE′C为等腰直角三角形，故。
②当时，如图3
∵AB=3，∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵ 为等腰三角形，
∴；
③当时，如图4
和是等腰Rt△，
∴，
∴
∴。
8.
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，BC=AB。设AP=k。
（1）∵，
∴BC=AB=2k，BP=k。
在△AQP与△BPC中，
，
∴△AQP∽△BPC，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴。
在△AQP与△BPC中，
，
∴△AQP∽△BPC，
∴，
∴，
∴。
9. 解：①观察图形即可发现，即BC=AD，，
∴；故答案为：AD，90。
②FQ=EP，理由如下：
∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，
∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，
又∵AF=AC，∴△AFQ≌△CAG，
∴FQ=AG，同理EP=AG，
∴FQ=EP。
③HE=HF。
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q。
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP。
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA。
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA。
∵AB=k?AE，AC=k?AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ。
∴EP=FQ。
又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）。
∴HE=HF。
10.（1）∵C的坐标为（0，4），t=3或﹣3，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵△AOC∽△BEA且相似比为，AO=3，OC=4
∴AE=2，BE=1.5
∴点B的坐标为或；
（2）①当0＜t＜8时，如图（1）△AOC∽△BEA且相似比为，
求得点B的坐标为，
∴，解得t=2或4，
②当t＞8时，如图（2）
，解得t=10或t=﹣4（舍去）
∴t=2，t=4，t=10
（3）①当0＜t＜8时，如图（1）
若△AOC∽△CDB
∴即：
∴t无解
若△AOC∽△BDC，同理，解得或（不合题意舍去），
②当t＞8时，如图（2）
若△AOC∽△CDB，
∴即：，
解得，取t=4+8，
若△AOC∽△BDC，同理，t无解，
③当﹣2＜t＜0时，如图（3），
若△AOC∽△CDB，
∴即：
解得（不合题意舍去）或，
若△AOC∽△BDC，同理，t无解
④当t＜﹣2时，如图（4）
若△AOC∽△CDB，
∴即：，则t无解，
若△AOC∽△BDC，同理，解得（不合题意舍去）或（不合题意舍去）；
则，，。
11. 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°。
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°。
∴∠ADE=∠BEC。
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC。
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM。
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴，
∴。
在Rt△BCE中，，
∴，
∴
12. 解：（1）如图1，
①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°。
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B。
∴∠APO=90°。
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC。
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC。
∴△OCP∽△PDA。
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴。
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP。
∵AD=8，∴CP=4，BC=8。
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x。在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，
∴。解得：x=5。
∴AB=AP=2OP=10。
∴边AB的长为10。
（2）如图1，
∵P是CD边的中点，
∴。
∵DC=AB，AB=AP，
∴。
∵∠D=90°，
∴。
∴∠DAP=30°。
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°。
∴∠OAB的度数为30°。
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2。
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP。
∴∠APB=∠MQP。
∴MP=MQ。
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴。
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM。
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF。
在△MFQ和△NFB中，
∴△MFQ≌△NFB。
∴QF=BF。
∴。
∴。
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°。
∴。
∴。
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为。
切线长定理与三角形的内心
1. 切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有一定长度的。
2. 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
符号语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA ＝ PB，∠1＝∠2。
说明：（1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。
（2）“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。
3. 三角形的内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点。
说明：⑴三角形的内心一定在三角形的内部；⑵三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点；⑶三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。
4. 切线长定理的基本图形研究
如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，直线OP交⊙O于D、E，交弦AB于C，则：
⑴由切线长定理得：PA＝PB
⑵由等腰三角形三线合一性质得：PC⊥AB，AC＝BC
⑶由垂径定理得：；AD＝BD
⑷由切线性质定理得：OA⊥AP，OB⊥BP
⑸∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8
⑹由AD、BD分别平分∠PAB和∠PBA得点D为△ABP的内心。
例题 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点Ｐ作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）
A. r B. C. 2r D.
解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知 ，，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。
解：连接OD、OE，的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC。又的切线，且、是切点，∴MD＝MP，同理可得。
＝BD＋BE＝2r。选C。
答案：C
点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径（a、b是直角边，是斜边）。
利用切线长定理进行推理证明
“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。
满分训练 已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B。
（Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小。
图① 图②
解析：（1）由切线与经过切点的半径垂直，∠BAC＝25°，易算∠MAB，再由切线长定理，可得MA＝MB，则∠MBA＝∠MAB得解。（2）连接BA、BD，可得平行四边形BMAD是菱形，由，可得BA＝AD＝BD，可得⊿BAD为等边三角形，从而可得∠AMB＝60°。
答案：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，有。又∠BAC＝25°，
∴。∵MA、MB分别切⊙O于点Ａ、B。
∴MA＝MB，有，∴。
（Ⅱ）如图，连接AD、AB。
∵，又，∴BD∥MA。又BD＝MA。 ∴四边形MADB是平行四边形。
∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，有AD＝BD。又AC为直径，，得，有AB＝AD。∴是等边三角形，有。∴在菱形MADB中，∠AMB＝。
点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构造特殊的图形，有利于问题的快速解决。
（答题时间：30分钟）
1. 一个钢管放在V形架内（如图），O为钢管的圆心。如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60?，则OP＝（ ）
A. 50 cm B. 25cm C. cm D. 50cm
2. 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）
A. EF＞AE＋BF B. EF＜AE＋BF
C. EF＝AE＋BF D. EF≤AE＋BF
3. 如图，AB为半圆O的半径，AD、BC分别切于A、B两点，CD切于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①；②；③；④ ；⑤。其中正确的结论有（ ）
A. ①②⑤ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤
4. （武汉中考）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若∠CED＝°，∠ECD＝°，⊙B的半径为R，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝ 。
6. 如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若，那么的度数为 。
7. 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆， E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点。若∠A＝50°，则∠EPH＝ 。
8.（恩施州中考）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为 。
9. 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R。
10. 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，
（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD＝6cm，OC＝8cm，求CD的长。
11.（雅安中考）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA 的延长线于点E。
（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积。（结果保留π）
1. A 解析：由切线长定理知：∠OPN＝∠MPN＝30?，所以在Rt△OPN中，OP＝2ON＝50 cm，故选A。
2. C 解析：如下图，连接OA、OB，则OA、OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO＝∠OAB，又EF∥AB，则∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，则EA＝EO，同理可求出：FO＝FB，则EF＝AE＋FB；
3. A 解析：如图，连接OE，①中结论可由切线性质及切线长定理可得OE⊥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2＋∠3＝90°，可证△OED∽△COD，得；根据切线长定理可得AD＝DE，BC＝CE，所以，③中结论不正确，④中高应该是AB，而不是OA。故选A。
4. B 解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°，所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，
化简，得：z＝（90－x－y）°，在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，所以，弧DE的长为：＝，故选B。
5. 23° 解析：由PA、PB是⊙O是切线，∴PA＝PB，又∠P＝46°，∴∠PAB＝∠PBA＝67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°。
6. 90° 解析：∵若 ∴∠ADC＋∠DCB＝180° 又∵DA、DC与⊙O相切，∴∠ODC＋∠OCD＝（∠ADC＋∠DCB）＝ 90°，∴＝90°。
7. 65° 解析：连接OH、OE，因为⊙O是四边形ABCD的内切圆，所以OH⊥AD，OE⊥AB，而∠A＝50o，所以∠HOE＝130o，所以∠EPH＝∠HOE＝65o。
8. 6＋π 解析：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A、B，则∠CAO＝90°，∠ACB＝30°，
∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，∴AO＝1，∴CO＝2AO＝2，
∴BC＝2＝1＝3，∴扇形的弧长为：＝π，∴则扇形的周长为：3＋3＋π＝6＋π。
9. 解析：（1）证明：过点O作OE⊥CD于点E。
∵AM且⊙O于点A，∴OA⊥AD。又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA。又∵OA是⊙O的半径。
∴CD是⊙O的切线。
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F。（如上图）∵AM、BN分别切⊙O于点A、B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形。∴AD＝BF，AB＝DF。又∵AD＝4，BC＝9。
∴FC＝9－4＝5。又∵AM、BN、DC分别切⊙O于点A、B、E。∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13。在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2。
∴DF＝＝12。∴AB＝12。∴⊙O的半径R是6。
10. 解析：（1）证明：连接OE，∵AD和DE是⊙O的两条切线，∴∠AOD ＝∠EOD＝∠AOE，∵弧AE所对的圆心角是∠AOE，弧AE所对的圆周角是∠ABE，∴∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD ＝∠ABE，∴OD∥BE。
（2）如下图，∵BC和CE是⊙O的两条切线，∴CE＝CB，∴点C是线段BE垂直平分线上的一点，又∵OB＝OE，∴点O是线段BE垂直平分线上的一点，∴线段OC是线段BE的垂直平分线，∴OC⊥BE，∵OD∥BE；∴OC⊥OD在Rt△OCD中，OD＝6cm，OC＝8cm，根据勾股定理，得CD＝＝10 cm。
11. 解析：（1） 证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC ＝90°，∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC ＝∠ABC＝90°，
∴CD是⊙O的切线。
（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60o，OB＝2，BF＝，
∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2＝，∠BOD＝2∠BOF＝120°，
∴S阴＝S扇 形 BOD －S△ BOD＝
剖析与圆有关的计算
圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点：
1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解；
2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础；
注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。
3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。因此要善于发现和构造相似三角形。
常见的相似三角形模型有：
例题 （南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP＝EG，
（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF?BO。试证明BG＝PG；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝。求弦CD的长。
解析：（1）连结OP，先由EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，推出∠EPG＋∠OPB＝90°来求证。
（2）连结OG，由BG2＝BF?BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂线定理可得出结论。
（3）连结AC、BC、OG，由sinB＝，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度。
解答：（1）证明：连结OP，
∵EP＝EG，
∴∠EPG＝∠EGP，
又∵∠EGP＝∠BGF，
∴∠EPG＝∠BGF，
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP，
∵CD⊥AB，
∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，
∴∠EPG＋∠OPB＝90°，
∴直线EP为⊙O的切线；
（2）证明：如图，连结OG，OP，
∵BG2＝BF?BO，
∴，
∴△BFG∽△BGO，
∴∠BGO＝∠BFG＝90°，
由垂线定理知：BG＝PG；
（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，
∵sinB＝，
∴，
∵OB＝r＝3，
∴OG＝，
由（2）得∠EPG＋∠OPB＝90°，
∠B＋∠BGF＝∠OGF＋∠BGF＝90°，
∴∠B＝∠OGF，
∴sin∠OGF＝＝
∴OF＝1，
∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，FA＝OF＋OA＝1＋3＝4，
在Rt△BCA中，
CF2＝BF?FA，
∴CF＝。
∴CD＝2CF＝。
点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。
【解题技巧】
1. 充分利用直径，构建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。
2. 已知条件中的三角函数值，要转化为直角三角形中对应边的比例关系。
3. 善于利用相似三角形对应边成比例解决问题。
例题 （北京）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。
（1）求证：∠EPD＝∠EDO；
（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长。
解析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD＝∠EDO；
（2）连接OC，利用，可求出CD＝4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长。
答案：（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C
∴PA＝PC，∠APO＝∠EPD
∵AB是⊙O的直径
∴PA⊥AB
∵DE⊥PO
∴∠A＝∠E＝90°
∵∠POA＝∠DOE
∴∠APO＝∠EDO
∴∠EPO＝∠EDO
（2）解：连结OC，则OC⊥PD
在Rt△PAD中，∠A＝90°，PA＝PC＝6，tan∠PDA＝
可得AD＝8，PD＝10
∴CD＝4
在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，CD＝4，tan∠ODC＝
可得OC＝3，OD＝5
在Rt△PCO中，由勾股定理得
PO＝
可证Rt△DEO∽Rt△PCO
∴，即
∴OE＝
点拨：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. （张家港市二模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（－4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（－2，0）。点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q。当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. （梧州一模）如图，过等腰△ABC三边的中点D、F、G作⊙O，并与两腰AB、AC分别相交于点H、E，若∠B＝72°，则∠BDH＝（ ）
A. 32° B. 34° C. 36° D. 72°
3. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN。△ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q，则＝（ ）
A. 1 B. 0.5 C. 2 D. 1.5
*4. 一张半径为2的半圆图纸，沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（ ）
A. 3 B. C. D.
**5.（北塘区二模）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°。点B是弧MN上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q。当四边形EPGQ是矩形时，OA的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6. （甘孜州）如图，两个半圆外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y＝x相切。若半圆O1的半径为1，则半圆O2的半径R＝ 。
7.（相城区模拟）如图，直线l与圆O相交于A，B两点，与y轴交于点P。若点A的坐标为（1，3），PB＝3PA，则直线l的解析式为 。
8.（西湖区一模）如图，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°。O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E。点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G。则∠CDG＝ ，若AB＝，则BG＝ 。
9.（上城区二模）如图，⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，OE∥AB交⊙O于点E，PE∥OD，延长直径AG，交PE于点H，直线DG交OE于点F，交PE于K。若EF＝2，FO＝1，则KH的长度等于 。
三、解答题
10. （遵义）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB的延长线于F。
（1）求证：CF＝DB；
（2）当AD＝时，试求E点到CF的距离。
*11. （襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D。
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD＝2，PD＝1，求线段BC的长。
**12. （荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E。
（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由。
一、选择题
1. C 解析：当点P运动到恰好点Q落在⊙O上，连接QO并延长交⊙O于点C，连接QB，OP，BC，则∠CBQ＝90°（直径所对的圆周角是直角）
∵B、Q分别是OA、AP的中点，
∴BQ∥OP，
∵点A坐标为（－4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（－2，0）。
∴OP＝OB＝BA＝OA＝2，
∴QB＝1
在Rt△CQB中，∠CBQ＝90°
∴cos∠OQB＝＝。
2. C 解：如图，连接AD、GD，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝72°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－72°＝18°，
∵G是AB的中点，
∴DG＝AG，
∴∠BAD＝∠ADG，
∴∠BGD＝∠BAD＋∠ADG＝18°＋18°＝36°，
∵G、F分别是AB、AC的中点，
∴GF是△ABC的中位线，
∴AD垂直平分GF，
∴AD经过圆心O，
∴∠BDH＝∠BGD＝36°。
3. A 解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠BAC＝90°，M为斜边BC上中线，
∴AM＝CM＝BM，
∴∠MAC＝∠MCA，
∵∠BAC＝90°，AN⊥AM，
∴∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，
∴∠GAE＋∠EAM＝90°，∠EAM＋∠MAC＝90°，∠MAC＋∠CAN＝90°，
∴∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，
∵∠GAE＝∠APE＋∠AEP，∠MCA＝∠Q＋∠CFQ，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，∠EPA＝∠NPQ，
∴∠Q＝∠NPQ，
∴PN＝QN，
∴＝1
4. C 解：过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，与弧的交点分别为A、G，过切点F作PF⊥半径OE交OP于P点，如图，
∵OP⊥BC，
∴BD＝DC，即OP为BC的中垂线，
∴OP必过弧BGC所在圆的圆心，
又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，
∴PF必过弧BGC所在圆的圆心，
∴点P为弧BGC所在圆的圆心，
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，
∴⊙P的半径等于⊙O的半径，即PF＝PG＝OE＝2，并且AD＝GD，
∴OG＝AP，
而F点分⊙O的直径为3：1两部分，
∴OF＝1，
在Rt△OPF中，设OG＝x，则OP＝x＋2，
∴OP2＝OF2＋PF2，即（x＋2）2＝12＋22，解得x＝－2，
∴AG＝2－（－2）＝4－，
∴DG＝＝2－，
∴OD＝OG＋DG＝－2＋2－＝，
在Rt△OBD中，BD2＝OB2－OD2，即BD2＝22－（）2，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝。
5. A 解：如图，连结OB。
∵四边形EPGQ是矩形。
∴∠AED＋∠CEB＝90°。
又∵∠DAE＝∠EBC＝90°，
∴∠AED＝∠BCE。
∴△AED∽△BCE，
∴，
设OA＝x，AB＝y，则：＝：x，
得y2＝2x2，
又∵OA2＋AB2＝OB2，
即x2＋y2＝12。
∴x2＋2x2＝1，
解得：x＝。
即当四边形EPGQ是矩形时，OA的长度为。
二、填空题
6. 3＋2解析：作O1A⊥直线y＝x于A，作O2B⊥直线y＝x于B，O1C⊥O2B于C，如图，
则O1C∥直线y＝x，
∴∠CO1O2＝∠AOO1，
∵直线y＝x平分∠xOy，
∴∠AOO1＝45°，
∴∠CO1O2＝45°，
∴△CO1O2为等腰直角三角形，
∵⊙O1和⊙O2与直线y＝x相切，
∴O1A＝1，O2B＝R，
∴BC＝1，O2C＝R－1，
而⊙O1和⊙O2外切，
∴O1O2＝R＋1，
∴O1O2＝O2C，即R＋1＝（R－1），
∴R＝3＋2。
7. y＝x＋2 解析：过A作AD⊥x轴于D，BE⊥y轴于E，AD与BE相交于C，连结OA、OB，如图，
∵A点坐标为（1，3），
∴OD＝1，AD＝3，
∴EC＝1，
∵AC∥PE，
∴PA：PB＝CE：BE，
而PB＝3PA，
∴BE＝3CE＝3，
在Rt△OAD中，OA＝，
∴OB＝OA＝，
在Rt△OBE中，OE＝
∴B点坐标为（－3，－1），
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
把A（1，3）和B（－3，－1）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x＋2。
8. 67.5°，－2 解析：连接OD。
∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODA＝90°，∠DOA＝45°，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD＝∠DOA＝22.5°，
∴∠CDG＝∠CDO－∠ODF＝90°－22.5°＝67.5°。
∵AC为圆O的切线，
∴OD⊥AC，
又O为AB的中点，∴AO＝BO＝AB＝2，
∴圆的半径DO＝FO＝AOsinA＝2×＝2，
∴BF＝OB－OF＝2－2。
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF＝∠G，又∠OFD＝∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，
∴，即，
∴BG＝2－2。
9. 2 解析：∵EF＝2，OF＝1，
∴EO＝DO＝3，
∵PE∥OD，
∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG，
∴△OFD∽△EFK，
∴EF：OF＝KE：OD＝2：1
∴KE＝6，
∵AC＝BC，AB不是直径，
∴OD⊥AB，∠PCO＝90°，
∵PE∥OD，
∴∠P＝90°，
∵EO∥AB，
∴∠PEO＝90°，
∵OG＝OD，
∴∠OGD＝∠ODG，
∵PE∥OD，
∴∠K＝∠ODG，
∵∠OGD＝∠HGK，
∴∠K＝∠HGK，
∴HK＝HG，
设KH＝HG＝x，
则HE＝6－x，HO＝3＋x，EO＝3，
则EO2＋HE2＝HO2，
即32＋（6－x）2＝（3＋x）2，
解得：x＝2，
故KH的长度等于2。
三、解答题
10.（1）证明：连结AE，如图，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB∥CD，∠DAB＝90°，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC，
∴BE＝CE，
CD∥BF，
∴∠DCE＝∠FBE，
在△DCE和△FBE中，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE＝FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF＝DB；
（2）解：作EH⊥CF于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，AD＝，
∴DC＝1
AC＝2CD＝2，
∴AB＝AC＝2，BF＝CD＝1，
∴AF＝3，
在Rt△ABD中，BD＝，
在Rt△ADF中，DF＝＝2，
∴CF＝BD＝，EF＝DF＝，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAE＝30°，
∴∠EDC＝∠CAE＝30°，
而∠DCA＝∠BAC＝60°，
∴∠DPC＝90°，
在Rt△DPC中，DC＝1，∠CDP＝30°，
∴PC＝DC＝，
∵∠HFE＝∠PFC，
∴Rt△FHE∽Rt△FPC，
∴，即，
∴EH＝，
即E点到CF的距离为。
11. （1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE＝∠APE＝90°，
∴∠PAD＋∠PAE＝∠PAE＋∠E＝90°，
∴∠PAD＝∠E，
∵∠PBA＝∠E，∴∠PAD＝∠PBA，
∵∠PAD＝∠PBA，∠ADP＝∠BDA，
∴△ADP∽△BDA；
（2）PA＋PB＝PC，
证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，
∵PF＝PB，∠BPC＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝BF，∠BFP＝60°，
∴∠BFC＝180°－∠PFB＝120°，
∵∠BPA＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠BPA＝∠BFC，
在△BPA和△BFC中，，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA＝FC，
∴PA＋PB＝PF＋FC＝PC；
（3）解：∵△ADP∽△BDA，
∴，
∵AD＝2，PD＝1，
∴BD＝4，AB＝2AP，
∴BP＝BD－DP＝3，
∵∠APD＝180°－∠BPA＝60°，
∴∠APD＝∠APC，
∵∠PAD＝∠E，∠PCA＝∠E，
∴∠PAD＝∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴，
∴AP2＝CP?PD，
∴AP2＝（3＋AP）?1，
解得：AP＝或AP＝（舍去），
∴BC＝AB＝2AP＝1＋。
12. （1）证明：连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线
∴∠FAO＝∠FEO＝90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，
∴∠AOF＝∠ABE，
∴OF∥BE
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ＝BP－BQ＝x－y
PF＝EF＋EP＝FA＋BP＝x＋y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ2＋QP2＝PF2
∴22＋（x－y）2＝（x＋y）2
化简得：（1＜x＜2）
（3）解：存在这样的P点，
理由：∵∠EOF＝∠AOF，
∴∠EHG＝∠EOA＝2∠EOF，
当∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF时，
即∠EOF＝30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时Rt△AFO中，
y＝AF＝OA?tan30°＝，
∴
∴当时，△EFO∽△EHG。
四点共圆问题大盘点
1. 四点共圆的性质：
（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；
（2）圆内接四边形的对角互补；
（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2. 四点共圆常用的判定方法：
判定1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。
如果：OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。
判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
如果：△ABD和△BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
如果：A、D在公共边BC同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。
如果：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则A、B、C、D四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）
例题 （郑州模拟）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F。
（1）求证：A、E、F、D四点共圆；
（2）若正△ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径。
解析：（1）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=180°，即可证得A，E，F，D四点共圆；
（2）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为。
答案：（1）证明：∵AE=AB，
∴BE=AB，
∵在正△ABC中，AD=AC，
∴AD=BE，
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，
∴△BAD≌△CBE，
∴∠ADB=∠BEC，
即∠ADF+∠AEF=180°，所以A，E，F，D四点共圆。
（2）解：如图，
取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，
∵AE=AB，
∴AG=GE=AB=，
∵AD=AC=，∠DAE=60°，AB=AC
∴△AGD为正三角形，
∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，
所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，
由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为。
点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题。
【方法定位】
将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现，适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说，四点共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。
例题 （河南模拟）如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H。
（1）求证：C，D，E，F四点共圆；
（2）若GH=6，GE=4，求EF的长。
解析：（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆；
（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE·GF=GC·GD。由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC·GD，进而得到GH2=GE·GF。即可
答案：
证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE。
∴C，D，E，F四点共圆；
（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF=GC·GD。
∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC·GD，∴GH2=GE·GF。
又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。
∴EF=GF－GE=9－4=5。
点拨：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及知识点较全面。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成四点共圆的组数是（ ）
A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组
2. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：
①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。
②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。
③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。
其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
3. 如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为100°、40°，则∠P的度数为（ ）
A. 40° B. 35° C. 60° D. 30°
4. （高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知Pi（i=1，2，3，4）是抛物线y=x2+bx+1上共圆的四点，它们的横坐标分别为xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0的根，则二次函数y=x2+bx+1的最小值为（ ）
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
二、填空题
6. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为 。
7. （济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD= 度。
8. 已知△ABC的中线AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四点共圆，则CK= 。
**9. 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B，E，F，C四点共圆。若DB=BE=EA，则过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为 。
三、解答题
10. （太原模拟）如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E。AD⊥DC，D为垂足。
（1）求证：A、D、F、B四点共圆；
（2）求证：EF=FB。
*11. （贵阳模拟）如图，AP是圆O的切线，A是切点，AD⊥OP于D点，过点P作圆O的割线与圆O相交于B，C两点。
（1）证明：O、D、B、C四点共圆。
（2）设∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC的大小。
*12. （长春模拟）如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。
（1）求证：E、H、M、K四点共圆；
（2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。
一、选择题
1. C
解析：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组。
故选C。
2. C
解析：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示，
∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，
∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，
∴四边形ENFM是平行四边形，
①当AC=BD时，
则有EM=EN，
所以平行四边形ENFM是菱形，
而菱形的四个顶点不一定共圆，
故①不一定正确；
②当AC⊥BD时，
由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°，
所以平行四边形ENFM是矩形，
则有OE=ON=OF=OM。
所以M、E、N、F四点共圆，
故②正确；
③当AC=BD且AC⊥BD时，
同理可得：四边形ENFM是正方形。
则有OE=ON=OF=OM。
所以M、E、N、F四点共圆，
故③正确。
故选C。
3. D
解：连接BD，
∵=100°，
∴∠ADB=100°×=50°，
又∵=40°，
∴∠B=20°，
在△DBP中，∠P=∠ADB－∠B=50°－20°=30°。
故选D。
4. B
解：连接BD，
AB是直径，则∠ADB=90°，
∴∠CDB=∠BCM=60°，
∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°，
∵∠CBA=180°－∠CDA=30°，
∴tan∠ABC=tan30°=，
故选B。
5. C
解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。
所以由（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0可知，该抛物线的对称轴为x=2。
则b=－4。
所以最小值为。
二、填空题
6. 解：作OF⊥ED于点F，
∵AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，
∴∠AOB=90°+∠C，CO平分∠ACB，
又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，
∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，
∴90°+∠C＋∠C=180°
在AB上截取AM=AE，可得△AOE△AOM
∴OE=OM，
∵∠DOE=120°，
∴∠EOA=∠AOM=∠DOB=∠BOM =60°，
∴△BOM△BOD
∴OD=OM，
∴OD=OE，
∴∠OED=∠ODE=30°，
∴FD=，
tan30°=，
∴FO=，OD=OE=，
∴△ODE的周长为：2+3，
∴△ODE的面积为：×3×=，
∴△ODE的内切圆半径为，
故答案为：。
7. 解：∵AB=AC=AD，
∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，
∴∠CBD是弧CD所对的圆周角，∠CAD是弧CD所对的圆心角；
∵∠CAD=76°，
∴∠CBD=∠CAD=×76°=38°。
8. 解：作△ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，则∵K，D，C，E四点共圆，DE∥BA
∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC，
∴AK∥HB，
∵D为BC的中点
∴点K是CH的中点，即CK=KH，
又K是重心，
∴FK=HF=CF，
由相交弦定理，得BF×FA=CF×FH，
∴·=CF2，
∴CF=，
∴CK==1，
故答案为1。
9. 解：如图所示，
连接EF。∵DC是△ABC的外接圆的切线，∴∠DCB=∠EAF，
∵BC·AE=DC·AF，∴，
∴△BCD≌△FAE，
∴∠CBD=∠AFE，
∵B、E、F、C四点共圆，
∴∠AFE=∠CBE，
∴∠CBD=∠CBE，
又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°，
∴AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径。
不妨设DB=1，则BE=EA=DB=1，
由切割线定理可得：DC2=DB?DA=1×3，，
在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE。∴CE=DC=，
在Rt△CBE中，BC2=CE2－BE2=，
在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。
∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=。
故答案为。
三、解答题
10. 证明：（1）∵FB是半圆O的切线，
∴∠ABF=90°，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADF=90°，
∴A，D，F，B四点共圆。
（2）解：连接BC，则BC⊥AC，
∵DF是半圆的切线，
∴∠DCA=∠ABC，
∵∠DCA=∠ECF，
∴∠ECF=∠ABC，
在Rt△ABE中，BC⊥AE，
∴∠ABC=∠E，
∴∠ECF=∠E，∴EF=FC，
∵FC，FB是半圆的切线，
∴FC=FB，
∴EF=FB。
11. 解：（1）证明：∵AP是圆O的切线，A是切点，
∴OA⊥AP，
∵AD⊥OP，
∴AP2=PD·PO，
∵AP是圆O的切线，PBC是圆O的割线，
∴AP2=PB·PC，
∴PD·PO=PB·PC，
∴，
∵∠DPB=∠CPO，
∴△DPB∽△CPO，
∴∠PDB=∠PCO，
∴O，D，B，C四点共圆；
（2）解：连接OB，则∠OBC=∠ODC=40°，
∴∠OCB=40°，
∵O，D，B，C四点共圆，
∴∠PDB=∠OCB=40°，
∴∠DBC=30°+40°=70°。
12. （1）证明：连接CH，∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上。
（2）解：连接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3。
圆中辅助线添加技巧
1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。
说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。
方法依据：（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2. 辅助线方法：连中点
说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。
方法依据：（垂径定理推论）
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3. 与切线有关的辅助线作法：
（1）点已知，连半径，证垂直
说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。
（2）点未知，作垂直，证半径
说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。
（3）见切线，连半径，得垂直
说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分∠APD。
解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。
答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
∵AC=BD
∴
∴
∴AB=CD
∴
∴∠OPE=∠OPF
∴ PO平分∠APD.
点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D。
求证：DE为⊙O的切线。
解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线。
答案：证明：连接OE，
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵OC=OE，∴∠C=∠CEO，
∴∠B=∠CEO，∴AB∥EO，
∵DE⊥AB，∴EO⊥DE，
∵EO是圆O的半径，
∴D为⊙O的切线。
点拨：证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线，证明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。
【思路点拨】
几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。具体来说，就是把分散的条件集中。使隐蔽的条件显露。将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最终解决。
圆中的辅助线的画法比较多，具体的题应该选用怎样的辅助线，关键还是要充分地顺推已知和逆推求证，配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。
例题 （合山市模拟）如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（ ）cm2
A. B. C. D.
解析：将⊙O1移动到O1与O重合，则F和F′重合，连接OB，得出阴影部分的面积是：S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S三角形AOB），求出OF′⊥AB，由垂径定理求出AF′=BF′=3cm，代入即可得出答案。
答案：
解：将⊙O1移动到O1与O重合，则F和F′重合，连接OB，AO，
∵AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，AB切⊙O1于F，
∴O1F⊥AB，
∴OF′⊥AB，
∴由垂径定理得：AF′=BF′=3cm，
在Rt△BOF′中，BF′=3cm，BO=CD=6cm，
即BF′=OB，
∵∠BOF′=30°，由勾股定理得：OF′= cm，
同理∠AOF′=30°，
∴∠AOB=60°，
∴阴影部分的面积是S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S△AOB）
=π×（OB2－OF′2）－ +×6×
=π×BF′2－6π+9
=π×9－6π+9
=（9－π）cm2。
故选A。
点拨：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部分的面积S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S三角形AOB）=π×BF′2－（S扇形AOB－S三角形AOB），题目的综合性较强。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. （毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. （娄底）如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（ ）
A. 4.8cm B. 9.6cm C. 5.6cm D. 9.4cm
3. （内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A. cm B. cm C. cm D. 4cm
**4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的外接圆，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点。动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆。设点Q运动的时间为t s。若⊙P与⊙O相切，则t的值是（ ）
A. t=1 B. t=3 C. t=2或t=3 D. t=1或t=4
**5.（日照三模）如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则=（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6. （南京）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 cm。
7. （自贡）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm。
*8. （高淳县一模）如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A、B，与⊙O1分别交于C、D，则弧APB与弧CPD的长度之和为 。
**9. （温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE= AB。⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG︰EF=︰2。当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 。
三、解答题
10. （宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H。
（1）求证：AC丄BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长。
*11. （浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长。
**12. （上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB= ，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G。
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长。
一、
1. B 解：过O作OC⊥AB于C，
∴AC=BC= AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =5。
故选B。
2. B 解：连接AO1，AO2。
∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，
∴O1O2⊥AB，
∴AC= AB，
设O1C=x，则O2C=10－x，
∴62－x2=82－（10－x）2，
解得：x=3.6，
∴AC2=62－x2=36－3.62=23.04，
∴AC=4.8cm，
∴弦AB的长为9.6cm。
故选B。
3. A 解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），
∴=，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE=AF= AC=3（cm），
在Rt△DOE中，DE= =4（cm），
在Rt△ADE中，AD= =4（cm）。
故选A。
4. D 解：作直线OP交⊙O于M和N，
根据相切两圆的连心线过切点可得M、N为切点，
①如图1，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AB=10cm，
即⊙O的半径是5cm，
∵O为AB中点，P为BC中点，
∴OP= AC=3cm，
∴PM=OM－OP=5cm－3cm=2cm，
即PQ=2；时间t=2÷2=1（s）；
②如图2，
PN=ON+OP=5cm+3cm=8cm，
PQ=PN=8cm，
时间t=8÷2=4（s）。
故选D。
5. D 解：连接OE、BC，OE与AC交于点M。
∵E为弧AC的中点，
易证OE⊥AC，
∵∠C=90°，∠AOE=45°，
∴OE∥BC，
设OM=1，则AM=1，
∴AC=BC=2，OA=，
∴OE=，
∴EM=－1，
∵OE∥BC，
∴。
故选D。
二、
6. 2 解：连接OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE= AB=×2 =，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB=BE=2（cm）。
7. 3 解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=OC?cos30°=，
OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3。
8. 2π 解：连接O1O2、O2A、O2B
∵O1A是切线，∴O2A⊥O1A，
又∵O1O2=2O2A，∴∠AO1O2=30°，
∴∠AO1B=60°，∠AO2B=120°，
CPD的弧长=，
APB的弧长=
∴APB与CPD的弧长之和为2π。
9. 12或4 边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN=NF，
又∵EG︰EF=︰2，
∴EG︰EN=︰1，
又∵GN=AD=8，
∴设EN=x，则，根据勾股定理得：
，解得：x=4，GE=，
设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2
得：r2=16+（8－r）2，
∴r=5。∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE= AB，
∴AB=12。
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，AB=4。
三、
10. （1）证明：连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°－（∠EBC+∠DCA）=180°－90°=90°，
∴AC⊥BH。
（2）解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵BD=8，∴AD=8，
在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，
∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，
∴，即CE2=BC?CD=14×6=84，
∴CE= =2。
11. 解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH= AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm。
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm。
（2）连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH= =3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm。
12. 解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，
当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，
∴BH=AB?cosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC= =5，
∴此时CP=r=5。
（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，
∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，
连接AC、EP，则AC⊥EP，
∴AM=CM=，
由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，
∴CP=CE=，
∴EF=。
（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，
∵cosB=，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，
∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在。
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE=∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴，即，
解得：AE=3，EN=AN－AE=1，
∴CE=。
∴圆C的半径为。
圆的周长和弧长
1. 弧长公式：
圆周长C=2R（其中R为圆的半径），即为圆心角是360°的弧长。因此圆心角是1°的弧长等于圆周长的，即，所以n°的圆心角所对的弧长为。即在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：l=。
说明：（1）在应用公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°的圆心角的倍数。公式中的n、180都不带单位。（2）同圆中圆心角n°越大，弧长越长；相等的圆心角半径越大，所对的弧长越大，L与n、R两个因素有关。
2. 易错点：扇形的弧长和扇形的周长不一样，扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和。
直接利用公式求弧长
例题1 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 5
解析：连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，在利用弧长公式即可求出的长。
解：连接OB。
∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°。∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°。
∵OB=OC，∴∠OCB=30°。∴∠BOC=120°。∴的长为，故选B。
答案：B
点拨：利用弧长公式计算弧长时，关键是根据题意得出圆心角、半径，而本题解题的关键是连接OB，构造直角三角形。
例题2 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（ ）
A. 10π B. C. π D. π
解析：由题意得点A所经过的路径是以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧，而要求的顶点A所经过的路径长就是求以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，利用弧长公式计算可得。
解：∵在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，∴根据勾股定理得：AC= ，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°，
∴顶点A所经过的路径长为
l==π。故选C。
答案：C
点拨：求动点所经过的路径长，必须先分析清楚动点所经过的路径是什么。此题中的动点绕一定点在旋转，故动点所经过的路径是以定点为圆心，动点到定点的长度为半径的一条弧，从而把求长度问题转化为求弧长问题，直接利用弧长公式计算。
弧长公式的逆用
例题3 一条弧所对的圆心角为135°、弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm。
解析：已知圆半径可由圆周长公式得圆周长。弧长的计算为公式：，已知圆心角为135°，故弧长为，由题意列方程可解得弧所在圆的半径。
解：设弧所在圆的半径为rcm，由题意得：，解得r=40，
故这条弧的半径为40cm。
答案：40
点拨：注意区别圆周长的计算公式：（）与弧长的计算公式：
弧长公式在滚动问题中的应用
在旋转变换中，有时就隐含着弧长的计算，准确理解弧长公式各个量的含义，是解题的关键。
满分训练 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l做无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 。
解析：从点A第一次翻滚到点A1位置时，先确定翻转过程中点A每一次转角及旋转半径大小，再求各弧长，最后求和。
解：如图，由=5，则==，==2， ==，则点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为++==6。
答案：6
点拨：根据弧长公式l＝可知，确定弧长的关键是弄清圆心角和半径大小。
弧长公式中包含三个量，已知其中的两个可以求出第三个。所以利用弧长公式进行计算一般有三种类型：①已知、，代入公式直接求；②已知、，代入公式借助方程求；③已知、，代入公式借助方程求。
（答题时间：45分钟）
1. 如图，某厂生产横截面直径为7的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）
A. B. C. D.
2. （聊城中考）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米，那么钢丝大约需加长（ ）
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
3. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ）
A. 6cm B. 12cm C. 2cm D. cm
4. 已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°。用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为厘米。
*5. 如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣弧的长为 cm。
6. （四川中考）点A、B、C是半径为15cm的圆上三点，∠BAC=36°，则弧BC的长为
______cm。
*7. 点O在直线AB上，点A1、A2、A3…在射线OA上，点B1、B2、B3…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度。一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度。按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为 。
**8. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为 。
**9. 如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°。（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求的长。
**10. 如图所示，AC⊥AB，AB=，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=，（0°＜＜90°）。
（1）当=18°时，求的长。（2）当=30°时，求线段BE的长。
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则的取值范围是 （直接写出答案）。
*11. 如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，求游泳池的周长。
1. B 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，=cm，则“蘑菇罐头”字样的长= 。故选B。
2. A 解析：先设地球的半径为r，则赤道的长近似为2πr cm，当钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米时，钢丝的长度近似为2π（r+16）cm，则钢丝大约需加长2π（r+16）﹣2πr =32π≈100 cm，故选A。
3. A 解析：根据弧长公式，πr=2π，解得r=6，故选A。
4. 25 解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长R=60cm，因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长，所以2πr=，解得r=25cm。
5. 解析：∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO。 ∵∠A=30°，∴∠AOB=60°。∵BC∥AO，∴∠OBC=∠AOB=60°。在等腰△OBC中，∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×60°=60°。∴弧BC的长为cm。
6. 6π 解析：如图，在⊙O中，∠BAC=36°，∴∠BOC=72°，∴根据弧长公式计算弧BC的长为：=6π。
7. （5050 π＋101）s 解析：动点M到达A1的时间为1s，到达A2的时间为[]s，到达A3的时间为[]s，到达A4的时间为[]s，……，所以到达A101的时间为[]s=(5050 π＋101)s。
8. 5π 解析：如图，连接OD。由折叠可得OB=DB=OD，∴△ODB是等边三角形，从而DOB=60°。
∴∠AOD=∠AOB－∠DOB=50°，因此的长为=5π。
9. 解析：（1）∵BC=AB，∴∠C=∠A=30°，∴∠BOA=2∠C=60°，
∴∠OBA=180°－∠A－∠BOA=180°－30°－60°=90°，∴AB是⊙O的切线。
⑵的长=。
10. 解析：（1）连接OD，∵=18°，∴∠BOD=36°，又∵AB=，∴OB=，∴的长==。
（2）∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，又∵=30°，∴∠B=60°，又∵AC为半圆O的切线，∴∠CAD=60°，∴∠CAD=∠B，又∵DE⊥CD，∴∠ADC+∠ADE=90°，又∵∠ADE+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴，即，∴BE=。
（3）60°＜＜90°。
11. 解析：如图，连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，
因为⊙O1和⊙O2是等圆，∴△O1O2A，△O1O2B都是等边三角形，∴∠AO1B=∠AO2B=120°，
∴周长为：2××2π×15=40π，所以游泳池的周长为40πm。
巧添辅助线证相似三角形
一、添加平行线构造“A”、“8”型
1. 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（1）定理的基本图形：
（2）燕尾图形辅助线的添加方法
注意：
（1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系；
（2）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边；
（3）通过线段比例之间的等量代换求解。
2. 方法归纳：
（1）遇燕尾，作平行，构造“A”字“8”字一般行。
（2）引平行线应注意以下几点：
①选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，以同一直线的线段的端点作为引平行线的点。
②引平行线时，不破坏已知条件中的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
二、作垂线构造相似直角三角形
1. 基本图形
2. 所用知识点
（1）等量代换——等角的余角相等。
（2）相似三角形对应高线的比等于相似比。
注意：
（1）相似三角形中对应边要找准。
（2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。
例题 平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：。
解析：作BM⊥AC于点M，可证△ABM∽△ACE，则AB?AE＝AM?AC，易得△BCM∽△CAF，则BC?AF＝CM?AC，故得出结论。
答案：作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠AEC＝90°，
∵∠BAM＝∠CAE，∴△ABM∽△ACE，
∴AB?AE＝AM?AC，
∵∠BCM＝∠CAF，易得△BCM∽△CAF，
∴BC?AF＝CM?AC，
∴。
∵AD＝BC，
∴。
点拨：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，注意辅助线的添加。
【总结提高】
本节所讲授内容中，主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。需注意以下四点：
（1）添加辅助线的原则；
（2）构造出的基本模型；
（3）相似三角形中的对应关系。
（4）复杂问题中等量代换的灵活应用。
例题 用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点叫这个平面图形的重心，平行四边形的重心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交点。请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为1：2，即在△ABC中，BE，CD是两条中线，它们交于G，求证：DG：CG＝EG：BG＝1：2。
解析：连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F。根据三角形中位线定理得到，则F。通过△HEG∽△FBG的对应边成比例证得结论。
答案：如图，连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F。
∵点G是△ABC的重心，
∴点F是BC的中点。
∴BF＝FC。
∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∴HE∥BF，F。
∴△HEG∽△FBG，
∴，即EG：BG＝1：2
同理 DG：CG＝1：2。
∴。
点拨：本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。本定理要求学生能记住，并熟练应用。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
*1.（绥化）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（ ）
A. 2：5：23 B. 4：9：24 C. 2：3：5 D. 4：10：25
**2. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且。若AB＝15，BC＝16，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 40 B. 60 C. 80 D. 70
**3. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。求BP：PQ：QR＝（ ）。
A.3：1：2 B. 5：3：4 C. 6：5：4 D. 4：1：2
**4. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F。下列结论：①BE＝EC；②BC2＝AC?DC；③S△BEC：S△BEA＝2：1；④；⑤。其中正确结论的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题
**5. （武清区一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 。
**6. 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3。下列结论：①∠AED＝∠ADC；②；③AC?BE＝12；④3BF＝4AC，其中结论正确的是 。
**7. （温州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心作弧，分别交AC、CB的延长线于点D、F，连结DF，交AB于点E，已知，tan∠DFC＝2，则BC＝ ， ＝ 。
**8.（嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC。点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF。给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③；④，其中正确结论的序号是 。
三、解答题
9. 如图，AB为半圆的直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C。
求证：CD平分EF。
*10. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3。
（1）如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；
（2）如图2，三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；
（3）如图3，三角形内并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；
（4）如图4，三角形内并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长。
**11. （丰台区二模）阅读下列材料：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少。
在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短。进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3。参考小明的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，＝ ；
（2）如图3，延长PA到点E，使AE＝nPA（n为大于0的常数）。以PE，PB为边作平行四边形，那么对角线PQ的最小值为 ，此时＝ ；
（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE＝nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作平行四边形，那么对角线PQ的最小值为 ，此时＝ 。
**12. 若已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）。
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出间的关系式，并给出证明。
1. D 解析：根据平行四边形的性质求出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案。
2. D 解析：连接EF，过O作MN⊥DC于N，交EF于M，求出四边形DEFC是矩形，推出EF∥CD，EF＝CD＝15，证△EOF∽△GOH，推出，求出ON＝2，OM＝6，根据阴影部分的面积＝S矩形DEFC－S△EFO－S△HOG，分别求出，代入即可。
3. A 解析：由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，可证得△PBC∽△RBE，继而可得，PB＝PR，又由点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，可得，继而可求得BP：PQ：QR的值。
4. C 解析：作AH⊥BD的延长线于H，作BG⊥CD于G，根据条件利用直角三角形的性质求出∠EBA＝∠EAB，就可以得出BE＝AE。由∠ECD＝∠EAD，得出CE＝AE。可以得出①是正确的，设参数利用勾股定理就可以求出BC的值，从而得出结论②；根据等底的两三角形面积之比等于高之比，运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论③；根据平行线的性质得出三角形相似，根据性质求出EF与AD的数量关系，而得出结论④；根据三角函数值的定义建立直角三角形，用参数表示出相应边的值就可以求出结论⑤。
5. 解析：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值。解题的关键是作高线构造各种相似三角形。
6. ①③④ 解析：①∠AED＝90°－∠EAD，∠ADC＝90°－∠DAC，∠EAD＝∠DAC；②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：AC，AC不一定等于4。③由①证△BED∽△BDA，得，得＝12；④连接DM，可证DM∥BF∥ AC，得FM：MC＝BD：DC＝4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解。
7. 解析：由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠DFC＝2，可得BE＝2BF，又由S△BEF＝9，即可求得BF与BE的长，然后过点C作CH⊥DF于点H，设DH＝h，可求得h的值，继而由勾股定理求得BC的长；首先过点D作DM⊥BC于点M，利用三角形的面积求得DM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB的长，继而求得答案。
8. ①③ 解析：根据题意首先易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA＝BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC＝2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE＝∠BCD，即可得，继而可得；即可得，又由等腰直角三角形的性质，可得，即可求得；则可得。
9. 证明：如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB。
易知：。
两式相减得：，即。
于是：。
∴DH＝GD。显然，EG∥CD∥FH。故CD平分EF。
10. 解：（1）在图1中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N。
在Rt△ABC中，∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，CN＝，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，
设正方形边长为x，则 ，∴x＝；
（2）在图2中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N。
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，
设每个正方形边长为x，则，
∴x＝；
（3）在图3中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，
设每个正方形的边长为x，则，
∴x＝；
（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：，则x＝。
11. 解：（1）如图2，
∵四边形APBQ是平行四边形，
∴AP∥BQ，AP＝BQ。
∵QP⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠APQ＝∠C＝90°。
∴PQ∥BC。
∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90°，
∴四边形PCBQ是矩形。
∴QB＝PC。
∴AP＝PC。
∴。
（2）如图5，
由题意可知：当QP⊥AC时，PQ最短。
∵QP⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠C＝90°。∴PQ∥BC。
∵四边形PBQE是平行四边形，∴EP∥BQ，EP＝BQ。
∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90°，∴四边形PCBQ是矩形。
∴QB＝PC，PQ＝BC＝3。∴EP＝PC。
∵AE＝nPA，∴。
∴。
∴。
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，
由题意可知：当QP⊥AB时，PQ最短。
∵QP⊥AB，CH⊥AB，
∴∠APQ＝∠AHC＝90°。
∴PQ∥HC。
∵四边形PCQE是平行四边形，
∴EP∥CQ，EP＝CQ。
∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC＝90°，
∴四边形PHCQ是矩形。
∴QC＝PH，PQ＝HC。
∴EP＝PH。
∵AE＝nPA，
∴。
∴。
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5。
∵∠HAC＝∠CAB，∠AHC＝∠ACB＝90°，
∴△AHC∽△ACB。
∴。
∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴。
∴，。
∴，。
∴ 。
∴。
∴。
∴。
12. 解：（1）成立。
证明：∵AB∥EF
∴
∵CD∥EF
∴
∴
∴；
（2）关系式为：
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K。
由题设可得：
∴
即
又∵BD?AM＝S△ABD，BD?CK＝S△BCD ，BD?EN＝S△BED
∴。
拓展：15角的三角函数值
1. 三角函数
2. 特殊角的三角函数值
角度
值
函数
30°
45°
60°
sin
cos
tan
1
3. 角的三角函数值的求法
在Rt中，，，求角的三角函数值。
解答：延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，设BC＝a。
在Rt中，，，
。
在中，AD＝AB，，
在Rt中，BC＝a，DC＝DA＋AC＝，
＝
＝（1＋）a＝（）a
根据互为余角的三角函数的关系：
，
。
例题 如图，在Rt中，，，求角的三角函数值。
解析：通过作的平分线AD，构造，然后通过Rt，利用三角函数的定义求角的三角函数值。
答案：作的平分线AD，
，。
在Rt中，，。
设BC＝a，则AB＝2a，AC＝a。
将沿AD翻折，交AB于点E，则
于是BE＝AB－AE＝（2－）a，∵∠B＝60°，∠BED＝90°，
∴，得BD＝2（2－）a，∴
∴AD＝＝
∴sin15＝。
点拨：通过辅助线构造出角，把这个角放到直角三角形中，然后推导边与边之间的关系是解决问题的关键。
【方法总结】
在30°、45°、60°角的三角函数值的基础上，要求15°或75°角的三角函数值，只需把15°或75°角放到直角三角形中，求出该三角形各边的长度即可。
例题 如图，把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置（如图所示），求sin∠ADE的值。
解析：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；设BD＝x，进而可得AB、BE、AD的值，利用边的关系可得AE的值；在Rt△AEF中，由三角函数的定义可得EF、AF的值；最后在Rt△DEF中，根据三角函数的定义可得sin∠ADE的值。
答案：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；
设BD＝x，则AB＝x，BE＝x，AD＝x；
DE＝，
在Rt△AEF中，AE＝x－x＝x；
易得EF＝?AE＝x；
则AF＝EF＝x，
在Rt△DEF中，
根据三角函数的定义可得：sin∠ADE＝＝
答：sin∠ADE的值为。
点拨：本题考查锐角三角函数的概念，关键是将∠ADE放到直角三角形中，用同一未知数表示出该角的对边和斜边。同理还能求出这个角的其它三角函数值。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 在正方形网格中，△ABC的位置如图，则sin∠ABC的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，则sin∠A的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
4. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC与BD相交于O，则tan∠AOB等于（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝67.5°，AD＝BD，则sin∠ADC＝（ ）
A. B. C. D.
6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为（ ）
A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°
二、填空题
7. 如图：将三角板的直角顶点放置在直线AB的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的正弦值是 。
8. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于 。
9. 图1是一张Rt△ABC纸片，如果用两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在Rt△ABC中，sin∠B的值是 。
10. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，BC＝，AC＝3，则BD＝ 。
11. 因为sin30°＝，sin210°＝－，所以sin210°＝sin（180°＋30°）＝－sin30°，因为sin45°＝，sin225°＝－，所以sin225°＝sin（180°＋45°）＝－sin45°；由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时有sin（180°＋α）＝－sinα，由此可知：sin240°＝ 。
12. 如图，ABCD，BEFC是两个全等的正方形，则tan（∠BAF＋∠AFB）等于 。
一、选择题
1. C 解析：设小正方形的边长为1，则BC＝4，∠B的对边长为4，
∴sin∠B＝＝。
2. B 解析：∵AB＝BC＝CA，
∴△ABC是等边三角形，
故可得∠A＝60°，sin∠A＝。
故选B。
3. C 解析：在正方形ABCD中，
OB＝OC，∠MON＝90°，
又∵点M、N分别为OB、OC的中点，
∴ON＝OM，
∴∠OMN＝45°，
∴sin∠OMN＝sin45°＝。
故选C。
4. A 解析：因为ABCD是矩形，所以AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。
∵AB＝1，BC＝，∴tan∠CAB＝，
∴∠CAB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴tan∠AOB＝tan60°＝。
故选A。
5. B 解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝67.5°，
∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－67.5°＝22.5°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝22.5°＋22.5°＝45°，
∴sin∠ADC＝sin45°＝。
故选B。
6. B 解析：∵sin∠1＝，
∴∠1＝45°，
∵直角△EFG中，∠3＝90°－∠1＝90°－45°＝45°，
∴∠4＝180°－∠3＝135°，
又∵AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝135°。
故选B。
二、填空题
7. 解析：∵CD∥AB，
∴∠AOC＝∠OCD＝30°，∠α＝180°－30°－90°＝60°，
∴sinα＝sin60°＝
8. 解析：连接AB，
由画图可知：OA＝OB，AO＝AB
∴OA＝AB＝OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴cos∠AOB＝cos60°＝。
9. 解析：∵两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形，
∴∠B＝60°，sin∠B＝。
10. 解析：∵tan∠A＝
∴∠A＝30°
∴∠BCD＝30°
∴BD＝BC＝。
11. 解析：∵当α为锐角时有sin（180°＋α）＝－sinα，
∴sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－。
12. 1 解析：∵∠FBE是△ABF的一个外角，
∴∠BAF＋∠AFB＝∠FBE，
∴tan（∠BAF＋∠AFB）＝tan∠FBE＝＝1。
构造相似三角形解题
构造相似三角形的基本方法
1. 由平行得相似，如图①和②；
2. 由同角或等角得相似，如图③；
3. 由垂直得相似，如图④。
方法归纳：在较为复杂的图形中，我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或比例线段，如：过中点（或等分点）作平行线，过某点作平行或垂直等。
总结：
1. 学会构造相似三角形的方法和技巧，能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。
2. 能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。
例题 如图所示，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG∶DF∶CE＝（ ）
A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶1 C. 1∶∶ D. 1∶∶1
解析：不难证明△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。那么，本题只要求AG∶DF即可。要求AG和DF的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能求出来。在正方形中，边长和对角线的比是可求的，所以本题可试着连接BF和BD，通过三角形相似来求解。
答案：连接BF、BD。因为∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝∠ABE－90°，∠CBE＝∠ABE－∠ABC＝∠ABE－90°。所以∠ABG＝∠CBE，又AB＝BC，BG＝BE，所以△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。因为∠DBF＝∠ABE－∠ABD－∠EBF＝∠ABE－45°－45°＝∠ABE－90°，所以∠DBF＝∠ABG。又因为所有正方形都相似，所以这两个正方形的对角线的比BD∶BF、边长的比AB∶BG，都等于这两个正方形的相似比，即BD∶BF＝AB∶BG，所以AB∶BD＝BG∶BF，所以△ABG∽△DBF。所以AG∶DF＝BG∶BF＝1∶。所以AG∶DF∶CE＝1∶∶1。故选D。
点拨：本题难度大，特别是确定AG和DF的关系是一大难点。解答这类难题，我们束手无策时，一定要展开联想，寻找问题的突破口。如：线段的比往往要通过相似形来求；四边形常常要连接对角线；两个正方形变换形成的三角形中可能有全等三角形；正方形边长和对角线的比是1∶。
利用相似三角形求线段的比例关系时，有些题目根本无法将所求线段构造成相似三角形的对应线段，此类问题通常用如下的方法过渡：再构造一个与之相似的三角形，利用相似三角形的传递性解题；把不能划分到相关相似三角形中的线段进行等量代换等。
例题 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F。
（1）如图①，当＝时，求的值；
（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG。
解析：（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，因为△CEF和△CDF同高，所以其面积的比就是EF与DF的比值；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF＝∠AFD，可以证得AD＝AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可求得AD＝OA，从而得出AF＝OA；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可得证。
答案：（1）解：∵＝，∴＝。∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CEF∽△ADF，∴＝，∴＝＝，∴＝＝。
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线。∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，而∠ADF＝∠ADO＋∠ODF，∠AFD＝∠FCD＋∠CDF，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD＝＝OA，∴AF＝OA。
（3）证明：连接OE，∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点。∴点O是BD的中点。又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE＝CD，∴△OFE∽△CFD。∴＝＝，∴＝。又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴＝＝。在直角△FGC中，∵∠GCF＝45°，∴CG＝GF，又∵CD＝BC，∴＝＝，∴＝。∴CG＝BG。
点拨：本题是勾股定理、三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键。
（答题时间：45分钟）
一、选择题
*1. 如图所示，已知AD∥EF∥BC，若AD∶EF∶BC＝1∶2∶4，则梯形AEFD与梯形EBCF的面积之比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3
*2. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N为BD所在直线上的两点，且AM＝，∠MAN＝135°，则四边形AMCN的面积为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
**3. 如图所示，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交AC于P、Q两点，则AP∶PQ∶QC＝（ ）
A. 1∶1∶3 B. 3∶2∶5 C. 5∶3∶12 D. 5∶4∶10
**4. 如图所示，四边形ABCD是一个矩形，AD＝12、AB＝5，P是AD上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F。则PE＋PF＝（ ）
A. B. C. 5 D.
二、填空题
5. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为__________。
*6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是______________。
*7. 如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝__________。
**8. 如图所示，点C在线段BG上且四边形ABCD是正方形，AG与BD、CD分别相交于点E、F，如果AE＝5且EF＝3，那么FG＝__________。
三、解答题
9. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC的外接圆的上任一点，连接AD、BD。求证：＝。
*10. 如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于点E。求证：DE2＝BE·CE。
**11. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F。求证：＝。
**12. 如图所示，F为正方形ABCD的边AB的中点，E为AD上的一点，AE＝AD，FG⊥CE于点G。求证：FG2＝EG·CG。
1. C 解析：延长BA、CD交于点O，则△OAD∽△OEF∽△OBC，设S△OAD＝s，则S△OEF＝4s，S△OBC＝16s，所以S梯形AEFD∶S梯形EBCF＝3S∶12S＝1∶4。
2. C 解析：过点A作AE⊥BD于点E，则点E是BD中点。在Rt△AEM中，AM＝，AE＝，∴ME＝，∴BM＝。∵∠MAN＝135°，∴∠MAB＋∠NAD＝45°，又∠AND＋∠NAD＝∠ADB＝45°，∠AMB＋∠MAB＝∠ABD＝45°，∴∠AND＝∠MAB，∠NAD＝∠AMB，∴△AND∽△MAB，∴＝，即＝，∴DN＝。∴MN＝BM＋BD＋DN＝＋＋＝，又△AMN和△CMN面积相等，∴四边形AMCN的面积是2××MN×AE＝2×××＝。
3. C 解析：∵DC∥BA，∴△APM∽△CPD，∴＝＝，∴AP＝AC。同理＝＝，∴AQ＝AC。∴PQ＝AC－AC＝AC，又QC＝AC，∴AP∶PQ∶QC＝∶∶＝5∶3∶12。
4. B 解析：根据题意可得AC＝BD＝13且△PDE∽△BDA、△PAF∽△CAD，所以＝，＝，即＝，＝，所以PD＝PE，PA＝PF，所以PD＋PA＝（PE＋PF）＝AD，即（PE＋PF）＝12，所以PE＋PF＝。
5. 9 解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＋∠CAD＝60°。∵∠CAD＋∠ADE＋∠CDE＋∠C＝180°，∠C＝60°，∠ADE＝60°，∴∠CAD＋∠CDE＝60°。∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C＝60°，∴△BAD∽△CDE，∴＝，设△ABC的边长为x，则＝，解得x＝9。
6. 解析：过点A作AG⊥BC于点G，过点B作BF⊥AC于点F。则△AGC∽△BFC，∴＝。∵AB＝AC，AG⊥BC，BC＝10，∴BG＝5，AG＝＝12。∴＝，∴BF＝。∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，又点D是AB的中点，∴DE＝BF＝。
7. 2或 解析：当△AEF∽△ABC时，则＝，即＝，∴AF＝2；当△AEF∽△ACB时，则＝，AF＝。∴AF＝2或。
8. 解析：设正方形ABCD的边长为a，由△ADE∽△GBE得＝ ①；由△ADF∽△GCF得＝，即＝ ②。由①②可得＝，解得FG＝。
9. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C，∵∠D＝∠C，∴∠ABE＝∠D，又∵∠BAD＝∠BAE，∴△ABE∽△ADB，∴＝。
10. 证明：连接AE，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∠FAE＝∠FDE。∵∠B＝∠FDE－∠BAD，∠CAE＝∠FAE－∠CAD，又∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAE。又∵∠AEB＝∠CEA，∴△ABE∽△CAE，∴＝，∴＝，即DE2＝BE·CE。
11. 证明：由∠BAC＝90°，AD⊥BC易得△ABD∽△CBA，∴＝。∵∠ABD＋∠DAF＝90°，∠ABD＋∠C＝90°，∴∠DAF＝∠C。又∵点E是Rt△ADC斜边AC的中点，∴ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，又∠CDE＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DAF。又∠F＝∠F，∴△ADF∽△DFB，∴＝，∴＝。
12. 证明：连接EF、CF。由AE＝AD，AF＝BF＝AB，四边形ABCD为正方形，得＝＝。∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA∽△FCB，∠1＝∠2。∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠EFC＝90°。∵FG⊥CE，易证△EFG∽△FCG，∴＝，∴FG2＝EG·CG。
根的判别式的深化应用
一、一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），它的解的情况由b2－4ac的取值决定，我们通常用“”来表示，，即。
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况
b2－4ac＞0
两个不相等的实数根
b2－4ac＝0
两个相等的实数根
b2－4ac＜0
没有实数根
方法归纳：用b2－4ac可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b2－4ac的取值。
二、根的判别式的应用
1. 判断一元二次方程根的情况。
2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。
3. 确定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。
方法归纳：（1）计算b2－4ac时注意a、b、c表示各项系数，包括它们前面的符号；（2）关于根的判别式b2－4ac的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表示b2－4ac的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定b2－4ac的正、负号。
总结：
1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。
2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。
例题1 关于x的一元二次方程x2－mx＋（m－2）＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里a＝1，b＝－m，c＝m－2。因为b2－4ac＝（－m）2－4×1×（m－2）＝m2－4m＋8＝m2－4m＋4＋4＝（m－2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。
答案：A
点拨：判断b2－4ac的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的取值范围，依此确定判别式的取值范围；（2）一般要将表示b2－4ac的代数式进行配方，利用偶次幂的非负性确定b2－4ac的正、负号。
例题2 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a＝c B. a＝b C. b＝c D. a＝b＝c
解析：由方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0可知方程的解为x＝1，然后由方程解的情况建立a、b、c之间的数量关系。
答案：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－（a＋c）。
因为方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
所以b2－4ac＝0，把b＝－（a＋c）代入，得：
[－（a＋c）]2－4ac＝a2＋2ac＋c2－4ac＝0。
所以a2－2ac＋c2＝0，即（a－c）2＝0。
所以a＝c。故选A。
点拨：解此类型问题，首先要明确所给定义的含义，然后用定义去考量已知条件，依据定义或定义提供的方法解题。
例题3 已知关于x的方程kx2－5x＋2＝0有实数根，求k的取值范围。
解析：本题并没有明确指出方程是否为一元二次方程，因此应对二次项系数a的取值进行分类讨论。
答案：当k＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数根。
当k≠0时，方程为一元二次方程，且a＝k、b＝－5、c＝2。
所以＝b2－4ac＝（－5）2－4×k×2＝25－8k。
当25－8k＞0，即k＜且k≠0时，方程有两个不相等的实数根；
当25－8k＝0，即k＝时，方程有两个相等的实数根；
当25－8k＜0，即k＞时，方程无实数根。
综上所述，k的取值范围是k≤。
点拨：从数学方法的角度看，本题属于分类讨论型问题，而且需要讨论两点：一是此方程可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况；二是一元二次方程有实数根可分为有两个相等的实数根和两个不相等的实数根。
一元二次方程根的判别式不但可以判断方程有没有实数根，而且可以判断出方程有没有有理根。不难理解，只要＝b2－4ac是一个有理数的完全平方数（或开平方开得尽），原方程的根就一定是有理数。要判断一个一元二次方程的根是不是整数可结合x＝来确定。
例题 边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2－（k＋2）x＋4k＝0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。
解：因为方程的根为整数，故＝（k＋2）2－16k为完全平方数。
设（k＋2）2－16k＝n2，∴k2－12k＋4＝n2，∴（k－6）2－n2＝32，∴（k＋n－6）（k－n－6）＝1×32＝2×16＝4×8。
∵k＋n－6＞k－n－6，∴或或。
解得k1＝（舍去），k2＝15，k3＝12。
当k＝15时，有x2－17x＋60＝0，解得x＝5或12，则斜边c＝13；
当k＝12时，有x2－14x＋48＝0，解得x＝6或8，则斜边c＝10。
所以这个直角三角形三边长分别为5、12、13或6、8、10。
分析：解答本题的关键是根据已知方程求出直角三角形的两条直角边长，因为直角三角形的边长为整数，所以已知方程有两个整数根。一元二次方程有整数根至少要求判别式为有理数的完全平方数。
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 关于x的方程x2－kx＋k＝2的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 不能确定
2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. x2－3x＋1＝0 B. x2＋1＝0 C. x2－2x＋1＝0 D. x2＋2x＋3＝0
3. 对于任意实数k，关于x的方程x2－2（k＋1）x－k2＋2k－1＝0的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
4. 已知b＜0，关于x的一元二次方程（x－1）2＝b的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有两个实数根
*5. 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞－1 B. k＜1且k≠0
C. k≥－1且k≠0 D. k＞－1且k≠0
**6. 如果关于x的方程x2＋4x＋＋2＝0有两个有理根，那么所有满足条件的正整数a的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
*7. 若5k＋20＜0，则关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情况是__________。
*8. 若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实数根，则k的非负整数值是__________。
*9. 若︱b－1︱＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是__________。
**10. 如果关于x的方程x2＋kx＋k2－3k＋＝0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为__________。
三、解答题
11. 当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x＋m－＝0有两个相等的实数根，此时这两个实数根是多少？
12. 关于x的方程x2－（2a－1）x＋（a－3）＝0，试说明无论a取任何实数，方程总有两个不等实数根。
*13. 已知关于x的方程x2＋2（a＋1）x＋（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝0有实数根，求a、b的值。
**14. 已知一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
**15. 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。
一、选择题
1. A 解析：因为b2－4ac＝k2－4（k－2）＝k2－4k＋8＝（k－2）2＋4＞0，所以原方程有两个不相等的实数根。
2. A 解析：依据判别式进行判断即可，选项A中＞0，选项B中＜0，选项C中＝0，选项D中＜0。
3. C 解析：＝4（k＋1）2－4（－k2＋2k－1）＝4k2＋8k＋4＋4k2－8k＋4＝8k2＋8＞0，所以原方程有两个不相等的实数根。
4. C 解析：本题不必利用判别式，根据二次幂的意义判断即可。
*5. D 解析：根据题意可知，（－2）2－4k×（－1）＞0，即k＞－1。且当k＝0时原方程为一元一次方程，不符合题意，所以k＞－1且k≠0。
**6. B 解析：根据题意得42－4（＋2）＝8－4是一个有理数的完全平方数。又10－a≥0，即a≤10，因为a是正整数，显然，当a＝1、6、9、10时是有理数，其中a＝6、9时8－4是一个有理数的完全平方数。所以a＝6或9。
二、填空题
*7. 没有实数根 解析：由5k＋20＜0得k＜－4。此时＝42＋4k＜0，所以原方程没有实数根。
*8. 1 解析：由题意可得＝42－4k×3＝16－12k≥0，即k≤，所以k的非负整数值是1。
*9. k≤4且k≠0 解析：∵︱b－1︱＋＝0，∴b－1＝0，＝0，解得b＝1，a＝4。又∵一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，∴＝a2－4kb≥0且k≠0，解得k≤4且k≠0。
**10. － 解析：根据题意，关于x的方程有两个实数根，则＝k2－4（k2－3k＋）≥0，即（k－3）2≤0。又因为恒有（k－3）2≥0，所以（k－3）2＝0，解得k＝3。
此时方程为x2＋3x＋＝0，解得x1＝x2＝－。故＝＝－。
三、解答题
11. 解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，∴（－4）2－4（m－）＝0，即16－4m＋2＝0，m＝，当m＝时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝2。
12. 解：＝[－（2a－1）]2－4（a－3）＝4a2－8a＋13＝4a2－8a＋4＋9＝4（a2－2a＋1）＋9＝4（a－1）2＋9。∵（a－1）2≥0，∴4（a－1）2＋9＞0，即＞0恒成立，∴方程总有两个不等实数根。
*13. 解：判别式＝[2（a＋1）]2－4（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝4（a2＋2a＋1）－（12a2＋16ab＋16b2＋8）＝－8a2－16ab－16b2＋8a－4＝－4（2a2＋4ab＋4b2－2a＋1）＝－4[（a2＋4ab＋4b2）＋（a2－2a＋1）]＝－4[（a＋2b）2＋（a－1）2]。因为（a＋2b）2≥0、（a－1）2≥0，所以≤0。又因为原方程有实数根，所以有≥0，所以＝－4[（a＋2b）2＋（a－1）2]＝0，所以a－1＝0且a＋2b＝0，所以a＝1，b＝－。
**14. 解：（1）证明：因为＝（2k＋1）2－4（k2＋k）＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0，所以原方程必有两个不相等的实数根。（2）解：解x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0得x＝k或k＋1，则△ABC的三边长分别为k、k＋1、5，又因为△ABC是等腰三角形，所以k＝k＋1（无解，舍去）或k＝5或k＋1＝5。当k＝5时，k＋1＝6，此时△ABC的三边长为5、5、6；当k＋1＝5时，k＝4，此时△ABC的三边长为4、5、5。所以k的值为k＝4或k＝5。
**15. 解：（1）＝4－4（2k－4）＝20－8k，∵方程有两个不相等的实数根，∴＞0，即20－8k＞0，解得k＜。
（2）∵k＜且k为正整数，∴k＝1或2。因为x＝－1±。要使方程的根为整数，须使5－2k为有理数的完全平方数。当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1。∴k＝2，此时x＝0或－2，均为整数，所以k的值为2。
特殊角的锐角三角函数值
特殊角的三角函数值
三角函数
角度α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与30°、45°、60°角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。
（2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角。
（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）。
总结：
1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。
2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。
例题1 如图所示，已知直线y＝x＋，求这条直线与x轴的夹角（锐角）。
解析：直线与x轴、y轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x轴、y轴交点坐标即可求解。
答案：设y＝x＋与x轴、y轴交点为A、B两点，则A（－1，0）、B（0，），∴OA＝1，OB＝．∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°。
答：直线与x轴夹角（锐角）为60°。
点拨：本题关键利用Rt△AOB来求出OA、OB，进而求出∠BAO的正切值，最后求出度数，是已知两边求度数的一种常用方法。
例题2 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E。探索：设＝t，若△ADF∽△EDB，试求t的值。
解析：t的值就是△ABC两边的比值，所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图形求出AC与AB的数量关系，再求其比值。或者能求出∠ABC或∠C的度数也可以，因为∠BAC＝90°，在直角三角形中利用三角函数求t值。
答案：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC，∠ADF＝∠CDE，∴∠F＝∠C。
∵∠ABD＝∠C，∴∠F＝∠ABD。
∵△ADF∽△EDB，∴∠F＝∠EBD，∴在Rt△ABC中，∠C＝∠ABD＝∠EBD，又∠C＋∠ABD＋∠EBD＝90°，∴∠C＝∠ABD＝∠EBD＝30°，∴∠ABC＝60°。
∴＝tan∠ABC＝，即t＝。
点拨：本题中t值是∠C的正切值，所以需要求出∠C的度数．要求一个角的度数，特别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。利用三角形内角和时，这三个内角必须具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度数，本题中是证明的三个角相等且和为90°。
锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查，以填空题和选择题的形式出现，一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查，如三角形、四边形、圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较。
满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__________①；
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝__________②；
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝__________③；
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__________④。
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA＝，求cosA。
解析：（1）证明：过点B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，sinA＝，cosA＝，由勾股定理得，BD2＋AD2＝AB2，∴（）2＋（）2＝＝1，∴sin2A＋cos2A＝1；（2）∵∠A为锐角（cosA＞0），sinA＝，sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝＝。
点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sin2A＋cos2A＝1，类似的还有tanA＝等。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 式子2cos30°－tan45°－的值是（ ）
A. 2 B. 0 C. 2 D. 2
2. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC与BD相交于O，则tan∠AOB等于（ ）
A. B. C. 1 D.
*3. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的长是（ ）
A. 2 B. 2 C. 2 D.
**4. 如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）。
*6. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。已知a＝，b＝＋，c＝－，则bsinB＋csinC的值是__________。
*7. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tanB＝__________。
**8. 如图所示，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是__________。
三、解答题
9. 已知a是锐角，且sin（α＋15°）＝，计算－4cosα－（π－3.14）0＋tanα＋））?1的值。
**10. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°－α），cosα＝－cos（180°－α）。
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A、B是这个三角形的两个顶点，sinA、cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小。
**11. 如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm。
（1）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）。
（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）。
**12. 现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sinα＝m，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m来表示α，记作：α＝arc sin m；若cos α ＝m，则记α＝arc cos m；若tan α＝m，则记α＝arc tan m。
解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上。连接ED、FG，交点为H。
（1）如图1，若AE＝BF＝GD，请直接写出∠EHF＝__________°；
（2）如图2，若EF＝CD，GD＝AE，设∠EHF＝α。请判断当点E在AB上运动时，∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α。
1. B 解析：原式＝2×－1－（－1）＝－1－＋1＝0．故选B。
2. A 解析：因为ABCD是矩形，所以AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。∵AB＝1，BC＝，∴tan∠CAB＝，∴∠CAB＝60°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°。∴∠AOB＝180°－60°－60°＝60°，tan∠AOB＝tan60°＝。故选A。
3. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“13”的正方形开始倒序计算至标有“2”的等腰直角三角形的斜边长。
4. B 解析：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，∴OD＝AD＝OA?cos45°＝×1＝，∴BD＝OB－OD＝1－，∴AB＝＝，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，AC＝2，∴sinC＝＝，故选B。
5. ②③④ 解析：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴cosB＝cos60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tanA＝tan30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝，故④正确。
6. 解析：不难验证，a2＝b2＋c2，所以△ABC是直角三角形，其中a是斜边，bsinB＋csinC＝b·＋c·＝＝＝a＝。
7. 解析：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠CDA，∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△ACD，∴＝，∵BD：CD＝3：2，设BD＝3x，CD＝2x，∴AD＝＝x，则tanB＝＝＝。
8. 解析：分别过点A、B作AE⊥l1，BF⊥l1，易得△AEC≌△CFB（AAS），设平行线间距离为d＝1，∴CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝，AB＝，则sinα＝＝＝。
9. 解析：∵sin（α＋15°）＝，∴α＋15°＝60°，∴α＝45°。当α＝45°时，原式＝2－4×cos45°－1＋tan45°＋3＝2－2－1＋1＋3＝3。
10. 解：（1）由题意得，sin120°＝sin（180°－120°）＝sin60°＝，cos120°＝－cos（180°－120°）＝－cos60°＝－，sin150°＝sin（180°－150°）＝sin30°＝；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°、30°、120°，①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为和－，将代入方程得：4×（）2－m×－1＝0，解得：m＝0，经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根均为，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为和，将代入方程得：4×（）2－m×－1＝0，解得：m＝0，经检验不是方程4x2－1＝0的根。综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°。
11. 解：（1）当∠AOE＝45°时，过点A作AF⊥OE于F，则OF＝OA·cos∠AOE＝10×＝5cm；（2）过点A作AG⊥OE于G，交⊙O于另一点H。∵OE＝25cm，∴当OG＝5cm时点A到桌面的距离正好是20cm。在Rt△OAG中，OG＝5cm，OA＝10cm，即sin∠OAG＝＝＝，∴∠OAG＝30°，∠AOG＝60°，∴∠AOH＝120°。在扇形OAH中，劣弧的长度＝＝π（cm）。即风车转动一周，点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长为πcm。
12. 解：（1）45° 提示：连接FC、GC，则△ADE≌△BCF≌△DCG，从而DE∥FC，△CGF是等腰直角三角形，所以∠EHF＝∠GFC＝45°。
（2）不会变化。证明：如图2，过点F作FＭ∥ED交CD于Ｍ，连接GＭ。∵正方形ABCD中，AB∥CD，∴四边形EFMD为平行四边形。∴EF＝DM，DE＝FM。∴∠EDC＝∠FMC，∠EHF＝∠HFM＝α。∵EF＝CD，GD＝AE，∴＝＝。∴＝，∵∠A＝∠GDM＝90°，∴△DGM∽△AED。∴＝，∴＝。∵∠GDH＋∠MDH＝90°，∠GDH＝∠DMG，∠MDH＝∠CMF，∴∠DMG＋∠CMF＝90°，∴∠GMF＝90°。在Rt△GFM中，tanα＝＝。∴α＝arc tan。
相似三角形的判定
一、比例线段与黄金分割
1. 在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2. 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
方法归纳：比例的性质
①基本性质：如果＝，那么ad＝bc。如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么＝。
②合比性质：如果＝，那么＝。
③等比性质：如果＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么＝。
二、相似三角形的判定
相似三角形的判定分为：
①两角对应相等两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等两三角形相似；
③三边对应成比例两三角形相似。
其中对两角对应相等两三角形相似的考查最为普遍。
方法归纳：
特殊三角形的相似：
①所有的全等三角形都相似；
②所有的等边三角形都相似；
③所有的等腰直角三角形都相似。
总结：
1. 了解黄金分割，了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用。
2. 掌握两个三角形相似的判定条件。
例题1 如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件__________，使△ABC∽△ACD。（只填一个即可）
解析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似。由此得出可添加的条件。
解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），则可添加：∠ACD＝∠ABC或∠ADC＝∠ACB，利用两角法可判定△ABC∽△ACD。
或添加：＝，利用两边及其夹角法判定△ABC∽△ACD。
答案：∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或
点拨：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一。
例题2 如图，P为线段AB的黄金分割点（PB＞PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S1、S2。四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S3、S4。下列说法正确的是（ ）
A. S2＝S1 B. S2＝S3 C. S3＝S D. S4＝S1
解析：根据黄金分割的概念知：PB＝AB，设AB＝x，PB＝x，PA＝（1－）x，分别求出个四边形的面积即可求出比例关系。
解：根据黄金分割得出：PB＝AB，设AB＝x，PB＝x，PA＝（1－）x＝x，∴S1＝x2，S2＝（x）2＝x2，S3＝x2，S4＝x×x＝（－2）x2。∴S2＝S1，S2＝S3，S3＝S4，S4＝（－2）S1，故正确选项是B。
答案：B
点拨：本题主要考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形、矩形的面积进行分析计算，难度适中，计算繁琐，认真观察你会发现一些运算技巧，如计算S3÷S4时，我们用（x2）÷（x×x）要简单很多，而不是用（x2）÷[（－2）x2]。
识别三角形相似的思路：
①有一对等角，找；
②有两边对应成比例，找；
③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找。
满分训练 如图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。
求证：（1）△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长。
解析：（1）证∠BAE＝∠CEF；（2）由条件易证∠ABH＝∠ECM而∠BAH＝∠CEM，故△ABH∽△ECM；（3）作MR⊥BC，则MR＝RC，在Rt△EMR中求出EM的长。
答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠ECF＝90°。∵AE⊥EF，∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°。∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；
（2）解：△ABH∽△ECM。证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，又∠BAG＋∠ECM＝90°，∴∠ABH＝∠ECM。由（1）知，∠BAH＝∠CEM，∴△ABH∽△ECM；
（3）解：作MR⊥BC于点R，△CMR∽△CAB且△MRE是等腰直角三角形。∵AB＝BE＝EC＝2，∴AB∶BC＝MR∶RC＝1∶2，∠AEB＝45°，∴MR＝ER＝RC＝，∴EM＝＝。
点拨：在判定两个三角形相似时，如果没有边的关系，一般需证明有两个角对应相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似三角形。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 有四组线段，每组线段长度如下：①2，1，，；②3，2，6，4；③，1，，；④1，3，5，7能组成比例线段的有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
*2. 已知＝＝＝k（a＋b＋c≠0），那么y＝kx＋k的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
**3. 如图所示，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似的三角形共有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
**4. 如图所示，在△ABC中，P为AB上一点，在下列5个条件中，①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③∠CAP＝∠BAC；④＝＝；⑤AC2＝AP·AB根据相似三角形的定义，能得到△APC和△ACB相似的是（ ）
A. ①②④⑤ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③⑤
二、填空题
5. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割。已知AB＝10cm，则AC的长约为__________cm。（结果精确到0.1cm）
*6. 如图所示，BC平分∠ABD，AB＝4，BD＝5，当BC＝__________时，△ABC∽△CBD。
*7. 在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有__________条。
*8. 如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的一点，要使△ABP与△ECP相似，还需具备的一个条件是__________。
三、解答题
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E。求证：△ABD∽△CBE。
*10. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形。若A、B、C、D、E、F都是格点，试说明△ABC∽△DEF。
**11. 如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
**12. 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由。如图所示。
1. B 解析：①线段从小到大排列，因为1×2＝×＝2，线段成比例，故①正确；②线段从小到大排列，因为2×6＝3×4＝12，线段成比例，故②正确；③线段从小到大排列，因为×≠1×，线段不成比例，故③不正确；④线段从小到大排列，因为1×7≠3×5，线段不成比例，故④不正确。所以①②正确，③④不正确，成比例的有2组。故选B。
2. D 解析：当a＋b＋c≠0时，根据比例的等比性质，得k＝＝2，则直线解析式是y＝2x＋2，根据k和b的符号，图象一定经过一、二、三象限。故选D。
3. D 解析：由AD∥BG，可得∠DAE＝∠G，∠ADB＝∠DBG，可推出△AED∽△GEB，同理可推出△AFD∽△GFC；由AB∥DC可得到△AEB∽△FED和△ABG∽△FCG，由相似图形的传递性，知△GAB∽△AFD，又△ABD∽△CDB，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D。
4. A 解析：①中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，①对；②APC=∠ACB，且有一公共角∠A，②对；④中三边对应成比例，可以直接证得相似；⑤中，且∠A为其公共角，⑤对；所以正确的条件为①②④⑤。
5. 6.2或3.8 解析：AC≈0.618AB＝6.2（cm）或AC=10－6.2=3.8。
6. 2 解析：因为BC平分∠ABD，所以得到∠ABC＝∠CBD，又题目中给出的条件是边，所以要使△ABC∽△CBD，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需＝，即BC2＝AB·BD。又AB＝4，BD＝5，所以BC2＝4×5＝20，所以BC＝2。
7. 4 解析：如图所示：
8. ∠BAP＝∠CEP或∠APB＝∠EPC或＝ 解析：由已知条件ABCD为正方形，可得∠B＝∠C＝90°，现已有一组角相等，因此要使△ABP与△ECP相似，可以再找一组相等的角，也可以找相等角的两边对应成比例，所以此题答案不唯一。
9. 证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE。
10. 解：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF。
11. 解：①∵∠ABC＝∠D＝90°，∴当＝时，△ABC∽△BDC，即当＝时，△ABC∽△BDC，∴BD＝。②∵∠ABC＝∠D＝90°，∴当＝时，△ABC∽△CDB。即当＝时，△ABC∽△BDC，∴BD＝。注意：斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
12. 解：（1）△ABO∽△DCO，因为∠1＝∠2，∠AOB＝∠DOC，所以△ABO∽△DCO。（2）△AOD∽△BOC。由（1）知△ABO∽△DCO，则＝，又因为∠AOD＝∠BOC，所以△AOC∽△BOC （3）△ACD∽△BCE。由（2）知△AOD∽△BOC，则∠DAO＝∠CBO，又因为∠3＝∠4，所以△ACD∽△BCE。（4）△ABC∽△DEC。因为∠3＝∠4，所以∠3＋∠ECO＝∠4＋∠ECO，即∠BCA＝∠ECD。又因为∠1＝∠2，所以△ABC∽△DEC。
相似三角形的性质
相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应角相等；
2. 相似三角形的对应边成比例；
3. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。
方法归纳：（或技巧归纳）
当你发现问题中出现以下情况时，很可能是借助相似来解决：
比或比例；
示例：平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：EF=_________．
解析：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．
答案：3：2 解：∵DE：EC=1：2；∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3，∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．
线段的积；
示例：四边形中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，求证：
解析：由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB?AD；
证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；
③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等。
示例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为_________．
解析：本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想．解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算．
答案： 解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，根据勾股定理得：BC=3， 而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴BD=，∠BDE=90°，又∵∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：BE，又BC=3，AB=5，∴BE=， 从而得到CE=BE—BC=．
总结：
1. 掌握相似三角形的性质；
2. 能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。
例题1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）。若△CEF与△ABC相似。
（1）当AC＝BC＝2时，求AD的长；
（2）当AC＝3，BC＝4时，求AD的长。
解析：若△CEF与△ABC相似。（1）当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形；（2）当AC＝3，BC＝4时，分两种情况：（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示。由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A＝∠ECD与∠B＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点。
答案：若△CEF与△ABC相似。（1）当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示。
此时D为AB边中点，2AD2＝AC2，∴AD＝AC＝。
（2）当AC＝3，BC＝4时，有两种情况：（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示。
∵CE：CF＝AC：BC，∴EF∥BC。由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高。在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5。∵∠ADC＝∠ACB＝90°且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝；（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示。∵△CFE∽△CAB，∴∠CEF＝∠B。由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD。同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此时AD＝AB＝。综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为或。
点拨：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质。第（2）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意。
利用相似三角形的性质求线段的长度是一类常见问题，常常综合考查勾股定理、等腰三角形、四边形等知识，特别是在中考试题中经常以压轴题的形式出现，有时难度较大。解答这类问题时通常利用相似三角形对应边成比例或勾股定理等列方程，用代数方法求线段的长度。
满分训练 如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F。现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1。若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝__________。
解析：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，设AD＝2x，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，∵DF⊥AB，∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC＝DF：BC，即2x：8＝DF：6，解得DF＝1.5x，在Rt△DE1F中，E1F2＝DF2＋DE12＝3.25x2，又∵BE1＝AB－AE1＝10－3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F∶A1E1＝BE1∶E1F，∴E1F2＝A1E1?BE1，即3.25x2＝x（10－3x），解得x＝1.6，∴AD的长为2×1.6＝3.2。
答案：3.2
点拨：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换、折叠、勾股定理、相似三角形的对应边成比例。利用勾股定理列式求出AC，设AD＝2x，得到AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而得出AD的值。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是（ ）
A. B. C. D.
*2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（ ）
A. 1：4 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：2
**3. 如图所示，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝3。若在边DC上有点P使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
**4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）。在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE。则EF等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
5. 在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：BE＝__________。
6. 如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝__________。
*7. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为__________。
*8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为__________。
三、解答题
*9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F。
（1）求证：AB＝AF；
（2）当AB＝3、BC＝5时，求的值。
**10. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B。
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长。
**11. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值。
**12. 【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN。求证：∠ABC＝∠ACN。
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由。
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC。连结CN。试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由。
1. C 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则＝，∵DE＝1，AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD＋DB＝5，∴BC＝＝。故选C。
2. D 解析：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴＝，∵O为对角线的交点，∴DO＝BO，又∵E为OD的中点，∴DE＝DB，则DE：EB＝1：3，∴DF：AB＝1：3，∵DC＝AB，∴DF：DC＝1：3，∴DF：FC＝1：2。故选D。
3. C 解析：设PD＝x，则（1）若△APD∽△PBC，则＝，即＝，解之得x＝；（2）若△PAD∽△BPC，则＝，即＝，解之得x1＝1，x2＝6。综上所述，存在三个点P，使△PAD与△PBC相似。
4. C 解析：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠CBD＝∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴＝，＝，＝，且BD＝BC，CE＝CD，解得：CD＝，DE＝，EF＝。故选C。
5. 3：5 解析：∵DE：EC＝1：2，∴EC：CD＝2：3即EC：AB＝2：3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF＝AB：EC＝3：2。∴BF：BE＝3：5。
6. 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE：BE＝4：3，∴BE：AB＝3：7，∴BE：CD＝3：7。∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF＝BE：CD＝3：7，即2：DF＝3：7，∴DF＝。
7. 7 解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；∴CD＝BC－BD＝9－3＝6；∴∠BAD＋∠ADB＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，则＝，即＝，解得：CE＝2，故AE＝AC－CE＝9－2＝7。
8. 解析：在Rt△ABC中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，BD＝。易知△ABC∽△EBD，∴＝，即＝，∴BE＝，∴CE＝BE－BC＝－3＝。
9. 解：（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠3。∵BF是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2。∴∠1＝∠3。∴AB＝AF。（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴＝。
10. 解：（1）证明：在平行四边形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC。∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C。在△ADF与△DEC中，，∴△ADF∽△DEC。（2）解：∵平行四边形ABCD，∴CD＝AB＝8。由（1）知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12。在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6。
11. 解：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB?AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴＝，∴＝。
12. 解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立。理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（3）解：∠ABC＝∠ACN。理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN。
相似中的“射影定理”
1. 射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1） （2） （3）
△ABC∽△ABD∽△DAC
注意：
（1）在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，图中共有6条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便可求出其余四条；
（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条；
（3）平方项一定是两相似三角形的公共边。
2. 定理推论
在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足，则有。
△ABD∽△CBA
例题1 已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA。
解析：根据△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得和利用等量代换和变形，即可证明△CEF∽△CBA。
答案：证明：在Rt△ADC中，由射影定律得，，
在Rt△BCD中，
∴
∴
∵
∴△CEF∽△CBA
点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。
例题2 已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D。若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连接CF、DE。
求证：（1） （2）
解析：（1）根据AE＝AC，可以把结论转化为证明，只需连接BC，证明△ACD∽△ABC即可。（2）根据（1）中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED＝∠B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。
答案：（1）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∵AC＝AE，
∴
（2）∵，∠EAD＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴∠AED＝∠B
∵∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠AED
点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。
【要点总结】
射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。
例题 如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b（b＞a），若，求的值。
解析：在Rt△ABC中，利用射影定理得到，进而得到BD的表达式，由面积法可求出CD的长，根据CE为中线，建立关系式DE＝BE﹣BD，再根据正切函数的定义，建立关于a、b的关系式。
答案：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴，
即：。由等面积法知：，∴。
又因为CE是中线，则。
在Rt△CDE中，， 得：，
解得，于是有或（舍负值）。
点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD＝9：4，则AC：BC的值为（? ???）?
A. 9：4? B. 3：2 C. 4：9? D. 2：3?
*2. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若，则＝（ ???）
A. B. C. D.
*3. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，M为BC中点。下列关系式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
**4. 若正实数x，y，z满足①， ②。则下列关系式中正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
二、填空题
*5. 如图，△ABC中，点D在BC上，以为直径作⊙O，恰过A点，若AC与⊙O相切，则AB的长为 。
*6. 如图，矩形ABCD中， ，点E在BC上，点F在CD上，且，，FG⊥AE于G，则AG：GE＝ 。
*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形。图中Rt△ABC的斜边AB的长等于 （用a，b的代数式表示）。
*8. Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则 三者之间的等量关系式为 。
三、解答题
*9. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦CE交AB于点F，求证：。
*10. （沈阳模拟）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥AB，垂足为E。
求证：（Ⅰ）
（Ⅱ）
**11. 已知：如图，BD、CE是△ABC的高，DG⊥BC与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于点H。求证：。
**12. （莆田）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D。求证：；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F。，求的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F。若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明。
1. B 解析：由射影定理得，又∵，
∴，∴，故选B。
2. C 解析：由勾股定理得：
∵，可得：△ABC∽△DBA∽△DAC
∴，
，选C。
3. A 解析：由∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴△ABC∽△DBA∽△DAC，
可得，。
又∵M为BC中点，可得，
∴。
4. B 解析：如图，由条件①可构造Rt△ABC，
由条件②联想到射影定理，作斜边z上的高r，
由三角形的面积可得：，即。
5. 解析：连接AD，作于H点，
设，，
由△CAD∽△CBA
得：①
由射影定理得：，故，
又知H为BC中点，故，即②
由①、②解得：。
6. 4∶1 解析：矩形ABCD中，，点E在BC上，点F在CD上，且，，FG⊥AE于G，∴，∴，，∴，
又∵∠ECF＝∠FDA，∴△CEF∽△DFA，∴，∠AFD＝∠FEC，
∴∠AFD＋∠CFE＝∠FEC＋∠CFE＝90°，∴∠AFE＝90°
又∵FG⊥AE，∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG，
∴，则AG＝2FG，＝2，∴，
∴AG＝4EG，AG：GE＝4：1。
7. 解析：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，由BC2＝a?AB可得。
8.
解析：由射影定理可得：，，；
∴，
化简可得。
9. 证明：延长CG，交⊙O于点M，∵AB⊥CM，∴，∴∠ACG＝∠E
又∵∠CAG＝∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴ ∴
10. 证明：（Ⅰ）因为Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC。显然△ABD∽△CBA
∴，即
（Ⅱ）∵由射影定理知
又由三角形相似可知，且DF＝AE
∴，结合射影定理
∴
11. 证明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠DGC＝∠DGB＝90°，∠CDB＝90°，
由射影定理得：△CGD∽△DGB，∴ ，
∵CE⊥AB，∴∠ECB＋∠CBE＝90°，
又∠H＋∠GBH＝90°，∴∠ECB＝∠H，∠FGC＝∠HGB＝90°，
∴△CGF∽△HGB，∴，
∴ ∴
12. （1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴。
（2）解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。
∵，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC，
又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴
由（1）可得：，，
∴，∴AE＝4DE，∴。
∵CG∥BF，∴。
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，
∵，∴，AB＝BC。
∵DG∥BF，∴，FC＝2FG。
由（1）可得：，，
∴，
∵DG∥BF，∴，∴。
（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：
（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG∥BF，交AC边于点G。
∵，∴
∵DG∥BF，∴，∴
由（1）可得：，，
∴；
∵DG∥BF，∴，即，化简得：；
（Ⅱ）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G。同理可求得：；
（Ⅲ）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G。同理可求得：。
精练一元二次方程的定义与判别式
1. 一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
注意：
（1）a≠0，如果a=0，方程不是一元二次方程，有时需要对a是否为0进行分类讨论；
（2）方程为整式方程，即分母中不能含有未知数；
（3）方程只能有一个未知数，常见的未知数为x、y、z等，a、b、c、m、n等字母常以参数的身份出现；
（4）未知数的最高次数是2；
（5）复杂的一元二次方程一般要转化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式再进行求解，且a一般为正数。
2. 一元二次方程的判别式
（1），方程有两个不相等的实数根；
（2），方程有两个相等的实数根；
（3），方程没有实数根；
（4），方程有实数根.
注意：
（1）判断判别式首先要把一元二次方程变为一般形式ax2+bx+c=0（且a≠0）；
（2）找系数a、b、c时一定要带着前面的符号；
（3）“，方程有实数根”含有两层含义，即：方程有两个不等的实根或两个相等的实根。
例题1 关于y的方程（a2﹣1）y2+（2a﹣1）y+5﹣a=0，当a为何值时，方程是一元二次方程？a为何值时，又是一元一次方程？
答案：（1）该方程为一元二次方程，则a2﹣1≠0，
解得a≠±1；
（2）该方程为一元一次方程，则a2﹣1=0且2a﹣1≠0，
解得a=±1且a≠ ，
所以a=±1．
点拨：（1）根据二次项系数不等于0列式进行计算即可得解；
（2）根据二次项系数等于0，一次项系数不等于0列式进行计算即可得解．本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
例题2 （梅州）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
答案：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点拨：由问题可知△一定大于零，所以写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．本题考查了根的判别式，要记牢公式，灵活运用．
例题3 （峨眉山市二模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．求实数m的取值范围；
答案：（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得。
点拨：特别注意：因为方程有两个根，而无法确定这两个根是不是相等，所以令△≥0而不是令△＞0，由此来列出关于m的不等式并化简，然后求m的取值范围。
一元二次方程的定义和判别式有时候会结合其他知识点来考查，比如等腰三角形的性质，因此解决综合性较强的题时一定要灵活运用定义及判别式且解不等式时要注意不等号的变化。
例题 （武威模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若△ABC的两边AB，AC的长度是该方程的两个根，第三边BC=5，问：k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．
答案：（1）证明：△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=1，
∵△=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由于AB≠AC，则AB=BC=5时，把x=5代入x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0得25﹣5（2k+3）+k2+3k+2=0，解得k1=3，k2=4，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=x1+x2+5，
x1+x2=2k+3
∴△ABC的周长=2k+8
当k=3时，△ABC的周长=2k+8=2×3+8=14；
当k=4时，△ABC的周长=2k+8=2×4+8=16。
点拨：（1）先计算判别式的值得到△=1，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）由于方程总有两个不相等的实数根，根据等腰三角形的性质得AB=BC=5时，把x=5代入x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0得25﹣5（2k+3）+k2+3k+2=0，解得k1=3，k2=4，然后根据根与系数的关系得到当k=3时，△ABC的周长=5+2k+3=14；当k=4时，△ABC的周长=5+2k+3=16。
一、填空题
1. （白银）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ____ 。
2. （襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程
x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 _________ 。
*3.（崇明县二模）将关于x的一元二次方程x2+px+q=0变形为x2=﹣px﹣q，就可将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知x2﹣x﹣1=0，可用“降次法”求得x4﹣3x﹣1的值是 _________。
4.（泰兴市二模）已知x=﹣2是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式4a2+b2﹣4ab的值是 _________ 。
**5.（淄博）关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是 _________ ．
**6.（武威模拟）实数m既能使关于x的不等式组无解，又能使关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
7. 在一元二次方程2x2-7x+ =0的划线处填上一个最小的整数，使这个方程没有实数根．
8. 若关于x的方程ax2=2x2+3是一元二次方程，则a满足的条件是 ．
*9. 已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，则k的最大值是
二、解答题
10. 已知关于x的方程（m﹣n）x2+mx+n=0．试探索：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
11.（鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．若方程有两实数根，求m的范围．
12.（南充模拟）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
**（2）求证：x=﹣1不可能是此方程的实数根．
一、填空题
1. 1
解析：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
2. 5
解析：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，
∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，
①+②，得2（a2﹣5a）=0，
∵a＞0，
∴a=5．
3. 1
解析：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2=x+1，
∴x4﹣3x﹣1=（x+1）2﹣3x﹣1
=x2+2x+1﹣3x﹣1
=x2﹣x
=x+1﹣x
=1
4. 16
解析：∵x=﹣2是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴（﹣2）2﹣2a+b=0，
∴2a﹣b=4，
∴4a2+b2﹣4ab=（2a﹣b）2=42=16．
5. 没有实数根
解析：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，
∴a＞﹣4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，
∴2xy＞12，
即a+4＞6，a＞2
∴a＞2．
∴△=(﹣1)﹣4（a﹣1）×=2﹣a＜0，
∴关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0没有实数根．
6. ﹣1≤m＜5且m≠1
解析：∵不等式组无解，
∴m≥﹣1，
∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0且△=16﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜5且m≠1，
∴m的取值范围为﹣1≤m＜5且m≠1．
7. 7
解析：设划线处填的实数是c，
△=49-4×2×c＜0，
49-8c＜0，
解得：c＞，
c可以为7。
8. a≠2
解析：由原方程，得
（a-2）x2-3=0．
∵关于x的方程ax2=2x2+3是一元二次方程，
∴a-2≠0，
解得，a≠2．
9. 3
解析：一元二次方程2x2+4x+k-1=0，
∵a=2，b=4，c=k-1，且方程有实数根，
∴b2-4ac=16-8（k-1）=24-8k≥0，
解得：k≤3，则k的最大值为3．
二、解答题
10. 解：（1）根据题意得：，
解得：m=n≠0
（2）根据题意得：m﹣n≠0，解得：m≠n．
11. 解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4?m?（m﹣2）≥0，
解得m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．
12．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴△=4（k+1）2﹣4k2＞0，
∴k＞﹣
（2）证明：∵x=﹣1当时，方程左边=1+2k+2+k2=k2+2k+3=（k+1）2+2＞0，
而右边=0，
∴左边≠右边，
∴x=﹣1不可能是此方程的实数根．
解决仰角、俯角问题
仰角、俯角
1. 铅垂线：重力线方向的直线；
2. 水平线：垂直于铅垂线的直线；
3. 仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角；
4. 俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角。
方法归纳：
（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”；
（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。
总结：
1. 能够分清仰角和俯角，正确解答与仰角和俯角有关的三角函数问题。
2. 在测量物体的高时，要善于将实际问题抽象为数学问题。
例题 我国为了维护对钓鱼岛（点P）的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航。在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC＝5000m。轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°。试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）。
解析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，由BF＋FG＋DG求BD的长。
答案：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，由题意得：AF＝PG＝CE＝5000m，FG＝AP＝20km，在Rt△AFB中，∠B＝45°，则∠BAF＝45°，∴BF＝AF＝5。
∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30°，在Rt△PGD中，tan∠D＝，即tan30°＝，
∴GD＝5，则BD＝BF＋FG＋DG＝5＋20＋5＝25＋5（km）。
答：飞机的飞行距离BD为25＋5km。
点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，虽然难度一般，但非常具有代表性。
用三角函数测量建筑物的高度，常见类型如下：
（1）＝l，h＝l·tanα；
（2）－＝l，h＝l；
（3）＋＝l，h＝l。
满分训练 阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）＝。
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值。例：tan15°＝tan（45°－30°）＝＝＝＝2－。
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面的问题：
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市的标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度。（精确到0.1米，参考数据：＝1.732，＝1.414）。
解析：（1）把15°化为45°－30°以后，再利用公式sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ计算，即可求出sin15°的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB＝AE＋BE计算塔高。
答案：（1）sin15°＝sin（45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝－＝；
（2）在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝7米，
∴BE＝DE?tan∠BDE＝DE?tan75°。
∵tan75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝＝2＋，
∴BE＝7（2＋）＝14＋7，∴AB＝AE＋BE＝1.62＋14＋7≈27.7（米）。
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米。
点拨：本题考查了解直角三角形的应用－仰角、俯角问题，以及特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为210m，这栋高楼BC的高度为（ ）
A. 70m B. 210m C. 280m D. 160m
**2. 如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，在比例尺为1：50000的该地区的等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为（ ）
A. 1732米 B. 1982米 C. 3000米 D. 3250米
**3. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60o，又从A点测得D点的俯角β为30o，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）
A. 20米 B. 10米 C. 15米 D. 5米
**4. 如图，在一个房间内，有一把梯子MC斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）
A. 米 B. 米 C. b米 D. a米
二、填空题
5. 九年级三班的小亮同学学习了“测量物体的高度”这节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：
（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；
（2）根据手中剩余的线的长度求出风筝线BC的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度AB＝1.5米。根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为__________米。（精确到0.1米，≈1.73）
6. 如图1所示，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，另一端系一个小重物，制成简单的测角仪，若细线正好和60°重合，则此时的仰角α是__________°，若细线所在位置刻度模糊，请在图2中添加一条直线，就能求出此时的仰角α。
*7. 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60?，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30?，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为__________米。
**8. 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为__________米。
三、解答题
9. 国家海洋局将中国钓鱼岛的最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航。如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机的飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点的俯角为45°，如图2。请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（结果保留整数，参考数值：≈1.732，≈1.414）
*10. （舟山中考）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米。校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）。问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）。
*11. 小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼。为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米。求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）。
*12. 小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：
第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE＝β。
第二步：小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD＝a。
第三步：量出测角仪的高度CD＝b。
之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图。
请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题。
（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：
a
b
β
第一次
第二次
第三次
平均值
（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB（参考数据：≈1.732，≈1.414，结果保留3个有效数字）。
1. C 解析：过A作AD⊥BC，垂足为D。在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝210m，∴BD＝AD?tan30°＝210×＝70m。在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝210m，∴CD＝AD?tan60°＝210×＝210m，∴BC＝BD＋CD＝70＋210＝280m，故选C。
2. B 解析：∵两点的图上距离为6厘米，比例尺为1：50000，∴两点间的实际距离为：6÷＝3000米，∵从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，∴MP＝3000×tan30°＝3000×＝1732米，∵点M的海拔为250米，∴山顶P的海拔高度为＝1732＋250＝1982米。故选B。
3. A 解析：根据题意可知：GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝15米，AB＝2GE＝30米。过点D作DF垂直于过A点的水平线于点F，则AF＝BC＝AB÷tan∠ACB＝30÷＝10米，DF＝AF?tan30o＝10×＝10米，CD＝AB－DF＝30－10＝20米。
4. D 解析：过N点作MA的垂线，垂足为点D，连接NM。∵∠MCN＝180°－∠MCA－∠NCB＝180°－75°－45°＝60°，MC＝NC，∴△MNC是等边三角形，∴MN＝MC，∠MNC＝60°。∠MND＝∠MNC－∠DNC，而∠DNC＝∠NCB＝45°，∴∠MND＝60°－45°＝15°。在Rt△MND中，DN＝MNcos∠MND＝MNcos15°。在Rt△MCA中，∵∠MCA＝75°，∴∠AMC＝15°，∴AM＝MCcos15°。∴AB＝DN＝AM＝a（米）。本题也可证明△MND≌△CMA。
5. 62.1 解析：在Rt△CBD中，DC＝BC?sin60°＝70×≈60.55。∵AB＝1.5，∴CE＝60.55＋1.5≈62.1（米）。
6. 30°，如图所示：作线段BA关于BC的对称线段，对称线段所在的直线即是需要添加的直线，读出∠ABF的度数，α＝90°－∠ABF。（也可过点B作AC的平行线）
7. 9 解析：过B作BE⊥CD于点E，设旗杆AB的高度为x，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，所以AC＝＝＝＝x，在Rt△BDE中，BE＝AC＝x，∠BDE＝60°，tan∠BDE＝，所以DE＝＝x，因为CE＝AB＝x，所以DC＝CE－DE＝x－x＝6，所以x＝9，故旗杆的高度为9米。
8. 750 解析：如图（略），过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC?sin45°＝375（米）。在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750（米）。
9. 解：设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x，＝tan30°，即AC＝x，∵AC－BC＝1200，∴x－x＝1200，解得：x＝600（＋1），则DF＝h－x＝2001－600（＋1）≈362（米）。答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米。
10. 解：如题图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD。根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0.3米。∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1。根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0.3米。∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，设A1C1与B1D1相交于点O1，则∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1?A1B1＝sin5°×0.3＝0.02616（米），∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米。∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5（米）。故校门打开了5米。
11. 解：延长BC交PM于点E，在Rt△BEP中，∠BPE＝60°∴BE＝PE·tan60°＝PE。在Rt△AMP中，∠APM＝45°，∴AM＝PM＝PE＋EM＝PE＋CD＝PE＋10。又楼高＝AM＋BE，∴PE＋10＋PE＝46，∴PE＝18（－1），∴PM＝PE＋EM＝18（－1）＋10＝18－8，即点P到AD的距离为（18－8）米。
12. 解：（1）填写表格如图：
a
b
β
第一次
15.71
1.31
29.5°
第二次
15.83
1.33
30.8°
第三次
15.89
1.32
29.7°
平均值
15.81
1.32
30°
（2）过C作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，∴CE＝BD＝a，BE＝CD＝b，在Rt△AEC中，∵β＝30°，a＝15.81，∴AE＝BEtan30°＝15.81×≈9.128（米），则AB＝AE＋EB＝9.128＋1.32＝10.448≈10.4（米）。答：风筝的高度AB为10.4米。
解决圆锥问题的四字秘诀
关于圆锥的侧面展开图计算问题在中考中时常出现，这类问题的解答，可以用四个字来概括：一、二、三、四。其中：
“一个转化”，是指将圆锥侧面问题转化为平面图形——扇形问题；
“二个对应”，是指圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径；
“三个图形”，是指圆锥侧面问题常常需要用到圆形、扇形、直角三角形来解决；
“四个公式”，是指圆锥侧面问题需要用
①l2=r2+h2，其中，如图，圆锥的底面半径r，圆锥母线ι，圆锥的高h，构成直角三角形；
②
③S侧=·2πr·ι=πrι
④。
圆锥侧面问题公式的灵活应用
圆锥侧面问题四个公式共有5个量：l、h、r、n、S侧，由于每个公式中只有三个量，从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。
一、计算圆心角的度数
例题1 （浙江中考）若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
解析：因为此圆锥为正圆锥，所以圆锥底面圆的直径等于展开图扇形的半径，然后利用弧长公式求解。
解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n，半径为r，则圆锥的底面直径也为r，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解得n=180°。
答案：D
点拨：在解决圆锥与展开图有关问题时，可以利用“圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一规律解决问题。
二、计算圆锥的底面积
例题2 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是（ ）
A. 10πcm2 B. 25πcm2 C. 60πcm2 D. 65πcm2
解析：作出圆锥的轴切面图，再根据等腰三角形“三线合一”的性质转化为直角三角形，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，进而求出其面积。
解：作出圆锥的轴切面图及高，如图，则AB＝13cm，AD＝12 cm，AD⊥BC，BC＝2BD，所以BD＝5 cm，因而底面圆的面积为πr2＝25π（cm2），故选B。
答案：B
点拨：圆锥的轴切面图为等腰三角形，等腰三角形底边上的高为圆锥的高，腰为圆锥的母线长，底边为圆锥底面圆的直径，圆锥轴切面的相关计算通常转化为直角三角形，再利用勾股定理进行计算。
三、计算圆锥的侧面积
例题3 在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积（ ）
A. 4π B. 3π C. 2π D. 2π
解析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积的公式计算即可。
解：∵圆锥的底面半径为r=1，高为2，∴圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积==π×1×3=3π，故选B。
答案：B
点拨：这类题要熟记圆锥的侧面积公式S=πrl及圆锥的高h、母线l、底面半径为r的关系：。解决这类问题的方法有：①列式计算，②运用方程思想列方程来计算。
计算线路最短问题
满分训练 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，一只小虫从点A出发，绕侧面爬行一周，再回到点A的最短的路线长是多少？
解析：我们知道“两点之间，线段最短”，沿母线SA作侧面展开图如图，本题实际是求将圆锥的侧面沿着母线OA展开，求点A到A′的距离AA′。
解：将圆锥沿母线SA作侧面展开图，得扇形O AA′，
设扇形的圆心角为θ，因为圆锥的底面半径为r=1，母线长为3，根据2πr=，得
2π×1=，所以θ=120°。即扇形的圆心角∠AOA′为120°，作OD⊥AA′，垂足为D，在Rt△AOD中，∠OAD=30°，OA=3。 所以OD=，据勾股定理，得可求得AD=，所以AA′=2AD=。
答案：
点拨：小虫从点A出发，绕圆锥侧面爬行，从圆锥上看是曲线，而在侧面展开图上看是直线，“化曲为直”是解决此类问题的关键。
（答题时间：30分钟）
1. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. 2πcm B. 1.5cm C. πcm D. 1cm
2. 已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（ ）。
A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm
3. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
4. 若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（ ）
A. l＝2r B. l＝3r C. l＝r D. l＝
*5. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 °。
6. 圆锥的侧面积为6cm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 cm
*7. 已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°。用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为厘米。
*8. 若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2（结果保留π）。
*9. 用半径为10cm，圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面，求这个圆锥的高。
**10. 如图所示的一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面的半径。
*11. 已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，求该圆锥的母线长。
**12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角。
1. D 解析：依题意，得这个圆锥的底面半径＝÷2π＝1，故选D。
2. B 解析：先根据半径与高互相垂直，然后利用勾股定理求母线长。∵ r2＋h2＝l2，∴ 62＋82＝l2，∴ l＝10㎝，故选B。
3. B 解析：圆锥的母线长=圆锥的底面周长×=2×π×3×=6cm。故选B。
4. A 解析：根据以上分析，则圆锥的底面周长为，展开图扇形弧长是，因此，则 l＝2r，故选A。
*5. 180° 解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 圆心角n，则，即，∴侧面展开图扇形的圆心角为n=360°×=180°。故答案为180°。
6. 3 解析：设圆锥的母线长为R，因底面圆的半径为2cm，所以底面圆的周长=侧面扇形的弧长=2×2=4，又扇形的面积=×4×R=6，解得R=3，故填3。
*7. 25 解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长R=60 cm，因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长，所以2πr=，解得r=25。
*8. 15π 解析：∵圆锥的侧面积S=πrl，，r=3 cm，l=5∴S=15π cm2。
*9. 解析：扇形的弧长是：=12π（cm），设圆锥的底面半径是r，则2πr=12π，解得：r=6cm，则圆锥的高是：=8（cm）。
**10. 解析：过O点作OE⊥AB，垂足为点E，∵OA=OB，AB=cm，∴AE=cm，∠AOE=60o，∴OA=2cm，∴弧AB的长，设该圆锥底面的半径为r，∴，∴r=cm。
*11. 解析：设圆锥的母线长为l。∵圆锥的底面周长是10π，∴圆锥侧面展开图（扇形）的弧长是10π。∵侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，∴。∴l＝20，即该圆锥的母线长是20。
**12. 解析：因为2r=l。 所以l=2r，所以sin∠BAO=，所以∠BAO=30°，所以母线AB与高AO的夹角为30°。
解决坡角、坡比问题
坡度、坡角
1. 坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i＝h∶l。
2. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i＝＝tanα。
方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓。
总结：
1. 理解坡度、坡角的有关概念。
2. 能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。
例题 如图，某地计划在坡比为i＝1：4的山坡OP（OQ为地面水平线）上逐排建造楼房AB、CD等。已知楼高（AB、CD等）均为20米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示箭头方向）与地面所成的角最小为40°。
（1）求斜坡OP的坡角的度数；
（2）为使冬季正午时后面的楼（CD）完全不被前面一幢楼（AB）挡住阳光，问两楼间的斜坡距离BD至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到0.1米）
（以下数据供选用：sin14°30'＝0.25，tan14°＝0.25，cos75°30'＝0.25，cos14°＝0.97，tan40°＝0.84）
解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数．（2）可过D作OQ的平行线，延长AB与平行线相交于点H，构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。
答案：（1）∵坡比为i＝1：4，即tan∠POQ＝＝0.25，∴斜坡OP的坡角的度数为14°。
（2）如图，过D作OQ的平行线，交AB的延长线于点H，设BH为x，则AH＝20＋x，DH＝BH÷tan∠POQ＝4x，由题意可知，（20＋x）：4x＝0.84，解得x＝8.47，即BH＝8.47，DH＝4x＝33.9，BD＝＝≈35.0（米），即两楼间的斜坡距离BD至少为35.0米。
点拨：此题主要考查运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，比较复杂，解题关键是构造直角三角形表示出坡度。
利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：
满分训练 如图，一人行天桥的高是10米，坡面CA的坡角为30°，为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为18°。
（1）求新坡长CD；（精确到0.01米）
（2）求原坡脚向外延伸后DA的长；（精确到0.01米）
（3）若需留DE为4米的人行道，问离原坡脚A处15米的花坛E是否需要拆除？
（参考数据sin18°＝0.309；cos18°＝0.951；tan18°＝0.325）
解析：（1）根据所给角的正弦，可求出CD。（2）先由三角函数求出AB、DB，再利用DA＝DB－AB求出AD的长。（3）同（2）即可。
答案：（1）在Rt△DBC中，sin18°＝，∴CD＝＝≈32.36（米），∴新坡长约为32.36米。
（2）在Rt△ABC中tan30°＝，∴AB＝＝10≈17.32（米）。在Rt△CDB中tan18°＝，∴DB＝＝≈30.77（米）。∴DA＝DB－AB＝30.77－17.32＝13.45（米），∴原坡脚向外延伸约13.45米。
（3）∵AE＝15，DA＝13.45，DE＝4，∴DE＋DA＞AE，∴离原坡脚15米的花坛应拆除。
点拨：本题可借助于计算器进行计算，计算结果要注意符合题目中精确到0.01米的要求。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A. 12米 B. 4米 C. 5米 D. 6米
2. 如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动。已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A. 6sin15°cm B. 6cos15°cm C. 6tan15°cm D. cm
*3. 如图，一网球从斜坡的点O抛出，网球的抛物线为y＝4x－x2，斜坡OA的坡度i＝1：2，则网球在斜坡的落点A的垂直高度是（ ）
A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 8
**4. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米。已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A. （6＋）米 B. 12米
C. （4－2）米 D. 10米
二、填空题
5. 若一辆QQ车的最大爬坡度数为45°，有一段斜坡路的坡度为1.3：1，则这辆车__________（填“能”或“不能”）在这段斜坡上行驶。
*6. 如图是某工厂货物传送带的平面示意图。为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的45°减小为30°。已知原传送带AB长为6米，那么新传送带AC的长为__________米。
**7. 一个正方形物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为1米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3米，则：（1）AC的长是__________米；（2）当正方体DEFH运动到什么位置，即当AE＝__________米时，有DC2＝AE2＋BC2。
**8. 九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度。在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH＝30°，CD＝1.6m，DG＝0.8m，BE＝2.1m，EF＝1.7m，则电杆的高约为__________m。（精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）
三、解答题
9. 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）。如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长。
*10. 我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位。如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE＝60°。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米。参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）。
**11. 如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值。测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°。已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度。（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
**12. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°。沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米。（i＝1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
1. A 解析：Rt△ABC中，BC＝6米，BC：AC＝1：，∴则AC＝BC×＝6，∴AB＝＝＝12（米）。
2. C 解析：∵tan15°＝。∴木桩上升了6tan15°cm。故选C。
3. B 解析：∵斜坡OA的坡度i＝1：2，∴设A的坐标是（2x，x），把A的坐标代入抛物线y＝4x－x2得：x＝8x－?（2x）2，解得：x＝3.5，x＝0（舍去），即网球在斜坡的落点A的垂直高度是3.5，故选B。
4. A 解析：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4m，∴CE＝2（米），EF＝4cos30°＝2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴CE：DE＝1：2，∴DE＝4（米），∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋2（米），在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12＋2）＝（6＋）米。
5. 不能 解析：∵斜坡路的坡度为1.3：1，∴坡角的正切值tanα＝1.3＞tan45°，即坡角大于45°，所以这辆车不能在这段斜坡上行驶。
6. 6 解析：如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D。∵∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，AB＝6米，∴在Rt△ABD中，AD＝ABsin∠ABD＝6×＝3米，在Rt△ACD中，AC＝＝6米。
7. （1）6（2） 解析：（1）∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3米，∴AC＝2BC＝6米；（2）如图，连接CD，假设AE＝x，可得EC＝6－x，∵正方形DEFH的边长为1米，即DE＝1米，∴DC2＝DE2＋EC2＝1＋（6－x）2，AE2＋BC2＝x2＋9，∵DC2＝AE2＋BC2，∴1＋（6－x）2＝x2＋9，解得：x＝米。
8. 8.0 解析：延长AF交BH于点N，过点F作FM⊥BH于点M，∵∠FEH＝30°，EF＝1.7m，∴FM＝0.85m，∴EM＝EFcos30°≈1.47m，由题意可得AB∥FM，∴＝，∵CD＝1.6m，DG＝0.8m，∴＝，∴MN＝0.425m，∵BE＝2.1m，∴BN＝2.1＋1.47＋0.425＝3.995（m），∵＝，∴＝，解得：AB≈8.0（m）。
9. 解：在Rt△ADC中，∵AD：DC＝1：2.4，AC＝13，由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋（2.4AD）2＝132。∴AD＝±5（负值不合题意，舍去）。∴DC＝12．在Rt△ABD中，∵AD：BD＝1：1.8，∴BD＝5×1.8＝9。∴BC＝DC－BD＝12－9＝3（米）。答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米。
10. 解：在Rt△BAE中，∵BE＝162米，∠BAE＝68°，∴AE＝＝＝64.8（米），在Rt△DCE中，∵DE＝176.6米，∠DCE＝60°，∴CE＝＝＝≈102.1（米），则AC＝CE－AE＝102.1－64.8＝37.3（米）。答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米。
11. 解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形。在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD?tan∠BPD＝PD?tan26.6°；在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝37°，∴CD＝PD?tan∠CPD＝PD?tan37°；∵CD－BD＝BC，∴PD?tan37°－PD?tan26.6°＝80，∴0.75PD－0.50PD＝80，解得PD＝320，∴BD＝PD?tan26.6°≈320×0.50＝160，∵OB＝220，∴PE＝OD＝OB－BD＝60，∵OE＝PD＝320，∴AE＝OE－OA＝320－200＝120，∴tanα＝＝＝0.5，∴坡度为1：2．
12. 解：（1）过B作BG⊥DE于G，Rt△ABH中，i＝tan∠BAH＝＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝5；（2）由（1）得：BH＝5，AH＝5，∴BG＝AH＋AE＝5＋15，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝5＋15。Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15，∴DE＝AE＝15．∴CD＝CG＋GE－DE＝5＋15＋5－15＝20－10≈2.7m。
答：广告牌CD约高2.7米。
解决方位角问题
方位角
方位角：指北（或指南）方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。如图中的目标方向线OA、OB、OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°。特别地，若目标方向线与指北（或指南）的方向线成45°的角，如图的目标方向线OD与正南方向线成45°角，通常称为西南方向。
方法归纳：方位角可以看成是将正北或正南方向的射线旋转一定角度而形成的。故在应用中，一要确定其始边是正北还是正南；二要确定其旋转方向是向东还是向西；三要确定旋转角度的大小。
总结：
1. 能够根据题意作出方位角，分清图形中的方位角。
2. 合理构造直角三角形，会解与方位角有关的三角函数问题。
例题 据气象台预报，一强台风的中心位于A市的东南方向（36＋108）km的海面上P处。目前台风中心以20km/h的速度向北偏西60°的方向移动，距台风中心50km的圆形区域均会受到强袭击。已知B市位于A市的正南方向72km处，C市位于B市的北偏东60°方向56km处。那么，会受到这次强台风袭击的城市是（ ）
A. 只有A市 B. 只有B市
C. B市和C市 D. A市、B市和C市
解析：分别过点A、B、C构造直角三角形，计算点A、B、C到直线PQ的距离，比较它们与50的大小关系即可。
答案：如图，过P作PO⊥AB于O。∠OAP＝∠APO＝45°。∴OA＝OP＝APsin45°＝（36＋108）×＝（36＋108）。BO＝AO－AB＝36＋108－72＝（36＋36）。设台风方向PQ与AO交点为M，∠MPO＝90°－60°＝30°，OM＝OPtan30°＝（36＋108）×＝（36＋36）。∴OM＝OB，∴点M和B重合，∴台风中心必经过B市。过C作CD⊥PQ于D，∠CBD＝90°－60°＋30°＝60°，CD＝CBsin60°＝56×＝28＜50，∴C市也受台风影响。过点A作AG⊥PQ于点G，AG＝ABsin60°＝72×＝36＞50，∴A市不受台风袭击。选C。
点拨：解答这类问题时必须要明确两点，一是台风行进的路线，二是某点到台风行进路线的距离。所以，其解题思路一般都是围绕某条直线和某些点构造直角三角形，运用三角函数及勾股定理求解。
解答方位角问题一定要结合图形，只要确定了方向线与南北方向线的夹角，就可解决问题。但关键还是构造直角三角形，将方位角转化为直角三角形的内角。
满分训练 阅读下列材料，并解决后面的问题。
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c。过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即＝。同理有＝，所以＝＝。即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A，用关系式__________求出∠B；
第二步：由条件∠A、∠B，用关系式__________求出∠C；
第三步：由条件__________，用关系式__________求出c。
（2）一艘货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果精确到0.1，参考数据：sin40°＝0.643，sin65°＝0.906，sin70°＝0.940，sin75°＝0.966）。
解析：（1）只要读清题意，填写此问应该不难；（2）本题要构建出直角三角形，使得已知和所求的条件都转移到直角三角形中进行计算。
答案：（1）＝；∠A＋∠B＋∠C＝180°；a、∠A、∠C或b、∠B、∠C；＝或＝。
（2）如图所示，依题意：∠FBC＝180°－∠ECB＝135°，∵∠FBA＝70°，∴∠ABC＝65°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠ABC＝40°，BC＝14.2。过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∵BC＝28.4×＝14.2，∴BD＝BC?sin75°≈13.7，在Rt△ABD中，AB＝BD÷sin40°≈21.3（海里）。
答：货轮距灯塔A的距离约为21.3海里。
点拨：本题考查了三角函数以及解直角三角形的应用，注意解直角三角形的应用关键是构建直角三角形，以便把条件和问题都放到直角三角形中进行解决。
一、选择题
1. 某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里。客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝（ ）
A. B. 2 C. D.
2. 如图，学校在小明家北偏西30°方向，且距小明家6千米，那么学校所在位置A点坐标为（ ）
A. （3，3） B. （－3，－3）
C. （3，－3） D. （－3，3）
*3. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是（ ）米
A. 366 B. 650 C. 634 D. 700
**4. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A. 10海里/小时 B. 30海里/小时
C. 20海里/小时 D. 30海里/小时
二、填空题
5. 如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以16海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。我渔政船的航行路程是__________海里。
6. 如图，在港口M的南偏西60°方向有一座小岛P，一船以每小时20千米的速度从港口M出发，沿正西方向行驶，半个小时后，这艘船在A处测得小岛在船的正南方向，那么小岛P与港口M相距__________千米。
7. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶。已知AC＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°。则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走__________千米。（结果保留根号）
*8. 如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为__________海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）。
三、解答题
9. 如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5°，∠PBA＝26.5°。请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置。（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°＝0.62，cos38.5°＝0.78，tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）
10. 2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象。已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度。（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
*11. 如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°。
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B，求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米？（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
**12. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上。（本题参考数据：sin67.4°＝，cos67.4°＝，tan67.4°＝）
（1）求弦BC的长；
（2）求圆O的半径长。
1. A 解析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里。∴PA＝20，∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，∴∠APB＝90°，BP＝60×＝40，∴tan∠ABP＝＝＝。
2. D 解析：∵学校在小明家北偏西30°方向，且距小明家6千米，∴∠BOA＝30°，OA＝6。
∵∠ABO＝90°，∴AB＝3，OB＝OAcos30°＝3。即A点坐标为（－3，3）。
3. C 解析：如图：过点M作MN⊥AC于点N，根据题意得：∠MAN＝60°－30°＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，∴∠MCN＝180°－75°－60°＝45°，设MN＝x米，在Rt△AMN中，AN＝＝x（米），在Rt△CMN中，CN＝＝x（米），∵AC＝1000米，∴x＋x＝1000，解得：x＝500（－1），∴AN＝x≈634（米）。
4. D 解析：如图，过点C作CD⊥AB于D。设AC＝x海里。在△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝10°＋20°＝30°，∴CD＝ACsin∠CAD＝AC＝x海里，AD＝ACcos∠CAD＝x海里。在△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝80°－20°＝60°，∴BD＝＝x海里。
∵AD＋BD＝AB，∴x＋x＝20，解得x＝10（海里），∴救援船航行的速度为：10÷＝30（海里/小时）。
5. 24 解析：如图，作CD⊥AB于点D，垂足为D，∵在直角三角形BCD中，BC＝16×1.5＝24（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC?sin45°＝24×＝12（海里），∴在直角三角形ACD中，AC＝＝12×2＝24（海里）。
6. 解析：在直角△APM中，AM＝20×＝10千米，∠P＝60°，则PM＝＝（千米）。
7. 5＋5－5 解析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC＝10，∠A＝30°，∴DC＝ACsin30°＝5，AD＝ACcos30°＝5，在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5，BC＝5，则用AC＋BC－（AD＋BD）＝10＋5－（5＋5）＝5＋5－5（千米）。
8. 67.5 解析：∵∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝AB，设DE＝x，则AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，则CE＝DE＝x，在Rt△BDE中，∠DAE＝45°，则DE＝BE＝x，由题意得，CB＝CE－BE＝x－x＝50×，解得：x＝，故AB＝25（＋1）＝67.5（海里）。
9. 解：设PD＝x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90°，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝，∴AD＝≈＝x，在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，∴DB＝≈＝2x，又∵AB＝80.0米，∴x＋2x＝80.0，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，∴DB＝2x＝49.2。
答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米处。
10. 解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，则AD＝CD＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，则BD＝CD＝x，由题意得，x－x＝4，解得：x＝＝2（＋1）≈5.5。答：生命所在点C的深度为5.5米。
11. 解：（1）设CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中，＝tan37°，＝tan67°，∴BF＝＝x，AE＝＝x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x＋x＋20＝62，解得x＝24，故CD与AB之间的距离为24米；
（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵BC＝＝24×＝40，AD＝＝＝26，
∴AD＋DC＋CB－AB＝40＋20＋26－62＝24（米）。
答：他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走24米。
12. 解：（1）连接OB，过点O作OD⊥AB，∵AB∥SN，∠AON＝67.4°，∴∠A＝67.4°。∴OD＝AO?sin67.4°＝13×＝12。又∵BE＝OD，∴BE＝12。根据垂径定理，BC＝2×12＝24（米）
（2）∵AD＝AO?cos67.4°＝13×＝5，∴OD＝＝12，BD＝AB－AD＝14－5＝9。∴BO＝＝15。故圆O的半径长15米。
解密一元二次方程配方法
一、一元二次方程的解法——配方法
1. 配方法的依据
完全平方公式：
2. 配方法的步骤
①二次项的系数为“1”的时候：在常数项加上一次项系数一半的平方，在减去一次项系数一半的平方，如下所示：
示例：
②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同①：
示例：
注意：
（1）一次项系数是正数时，配方后括号内为加法，反之，括号内为减法。
（2）由②可得，所以，解方程时可不经过配方过程直接套用公式。
（3）在配方时加一项，同时要减一项，保证值不变；也可以在等号两边同时加一项，保证等式成立。
二、配方法应用
1. 解决代数式最值问题
通过配方把代数式化简为或的形式，因为，可知代数式有最大或最小值m。
2. 解决二次根式开方问题
二次根式开平方问题，通常利用配方的思想将原式化简为的形式，根据来解决二次根式的开平方问题。
注意：
（1）在代数式变形过程中，要注意保持原有代数式的数值不变。
（2）配方思想的重要依据是两个完全平方公式（包含特殊情况）、公式的变形以及两个公式之间的关系，要熟练掌握。
例题1 若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A. －2 B. －4 C. －6 D. 2或6
解析：由题意可知：二次三项式x2－ax＋2a－3中，二次项系数为1，则常数项2a－3为一次项系数－a一半的平方，据此列方程即可求得a的值。
答案：根据题意列方程可得： 解得：a＝2或a＝6。故选D。
点拨：本题考查完全平方式的定义，熟练掌握配方技巧是解题的关键。
例题2 试用配方法说明的值恒小于0。
解析：利用配方法可把分成一个负的完全平方式加上一个负数的形式，从而可确定此代数式必小于0。
答案：∵，
又，，
∴，
即：，
∴代数式的值恒小于0。
点拨：本题主要考查利用完全平方公式：进行配方。注意配方过程中符号的变化。
例题3 已知，求、、的值。
解析：本题主要应用将原式进行变形，再利用配方法写成几个代数式平方的和等于0，利用非负数的性质，分别求出未知数的值。
答案：∵
∴
变形可得：
配方得：
即
可得：
点拨：本题考查二次根式中的配方运算，将代数式变形，通过配方求解字母的值。
配方就是把二次多项式配成完全平方的形式。若将其开方，可把二次式化为一次式，从而实现降次；或利用完全平方式的非负性解决问题，应注意三点：
（1）将二次项系数化为1；
（2）配方不能改变原式的大小或等量关系，因此一定要注意符号的变化；
（3）善于发现可以配方的多项式。
例题 已知：，求的值。
解析：由，可得，根据非负数的性质，求出x、y的值代入即可得出答案。
答案：∵，
∴，
∴，
∴。
点拨：本题考查了配方法的应用及代数式的求值，难度一般，关键是注意配方法的步骤及分组配方。注意在变形的过程中，不要改变式子的值。
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. x，y为任意实数，M＝4x2＋9y2＋12xy＋8x＋12y＋3，则M的最小值为（ ）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 3
*2. ，则＝（ ）
A. －1 B. 0 C. 2 D. 1
**3. 若表示实数的整数部分，则等于（ ）
A. B. C. D.
**4. 如果。那么的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
*5. 若，则的个位数字是 。
*6. 若，则t的最大值为 ，最小值为 。
*7. 如果，那么的值为 。
**8. 若x，y是实数，则的最小值是 。
三、解答题
9. 我们知道，配方法是一种非常重要的数学方法，它的运用非常广泛。学好配方法，对于中学生来说，显得尤为重要。试用配方法解决下列问题吧!
（1）试证明：不论x取何值，代数的值总大于0。
（2）若，求k的最小值。
（3）若，求的最小值。
*10. 计算的值。
*11. 已知△ABC三条边分别为a，b，c，且满足，请判断△ABC的形状。并证明你的结论。
**12. 如图所示，过原点的直线l与反比例函数的图象交于M，N两点，根据图象，求线段MN长度的最小值。
1. B 解析：利用配方法将M＝4x2＋9y2＋12xy＋8x＋12y＋3转化为M＝（2x＋3y＋2）2－1的形式，然后根据非负数的性质，来求M的最值。
2. D 解析：已知等式左边两分母配方得到值为正数，而分子为非负数，利用两非负数之和为0，得到两非负数，分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算即可求出值。
3. B 解析：，整数部分为2，故选B。
4. C 解析：原式可化为，即，即，
根据非负性，得。
∴，选C。
5. 7 解析：由根的情况，可得方程两边都除以x，
得出，
方程两边再平方，得，
方程两边再平方，得＝27887，
所以的个位数是7。
6. 2， 解析：根据配方的步骤，把化简可得：
，即。
∵
∴，
∴，
又∵在根号下，
∴，
∴，
∴，
∴，即。
7. 0 解析：原式移项得，
配方可得：，
由非负性的性质，可得出：，
∴代入可得。
8. 2005 解析：原式，
即原式，
有，
所以当时，得时，代数式的值最小，最小是2005。
9. 解：（1）。因此不论x取何值，代数式的值总大于0。
（2），所以当x＝2时，k的最小值为6。
（3）∵，∴。
∴。所以的最小值是3。
10. 解：
＝。
11. 解：△ABC是等边三角形。
∵，
∴，
即，
∴，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形。
12. 解：由题意可设点M的坐标为，
则，
∵，
由此可得：OM的最小值为，故MN的最小值为。
解直角三角形
解直角三角形的基本类型以及解法
图形
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边，一直角边
（如c、a）
①b＝；
②由sinA＝，求∠A；
③∠B＝90°－∠A
两直角边
（如a、b）
①c＝；
②由tanA＝，求∠A；
③∠B＝90°－∠A
一边一角
斜边，一锐角
（如c，∠A）
①∠B＝90°－∠A；
②由sinA＝，求a＝c·sinA；
③由cosA＝，求b＝c·cosA
一直角边，一锐角
（如a、∠A）
①∠B＝90°－∠A；
②由tanA＝，求b＝；
③由sinA＝，求c＝
方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。
（2）直角三角形的特殊性质：①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。
总结：
1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；
2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。
例题 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1。
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值。
解析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD，然后根据BC＝BD＋DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE－CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解。
答案：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1。
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋1；
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝＋，∴DE＝CE－CD＝－，∴tan∠DAE＝＝－。
点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。
解直角三角形时应注意以下问题：
（1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题；
（2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”；
（3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后再求解。
总之，解直角三角形时，选择恰当的边角关系式尤为重要，恰当的边角关系不仅能使问题迅速解决，而且还会使计算简便、过程简捷，达到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”的原则。
满分训练 如图所示，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长。
解析：要求AD，需选择适当的三角形使AD为其一边，这样才能方便地运用有关知识处理问题，所以本题应考虑将AD构造成直角三角形的边。
答案：设AD＝x。∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°。
∵S△ACD＋S△ADB＝S△ABC，作DH1⊥AB于H1，DH2⊥AC于H2，BH3⊥CA，交CA延长线于H3，则DH1＝DH2＝ADsin60°＝xsin60°，BH3＝3sin60°。
∴×5×xsin60°＋×3×xsin60°＝×5×3sin60°。
解得x＝，所以角平分线AD的长为。
点拨：求钝角或锐角三角形中的边角时，常常作出垂直，构造直角三角形，得到边角之间的关系。
（答题时间：）
一、选择题
1. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是（ ）
A. csinA＝a B. bcosB＝c C. atanA＝b D. ctanB＝b
*2. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
**3. 如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1。若OC∥BA，∠AOC＝36°，则（ ）
A. 点B到AO的距离为sin54° B. 点B到AO的距离为tan36°
C. 点A到OC的距离为sin36°sin54° D. 点A到OC的距离为cos36°sin54°
**4. 在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若＝，则tan∠EDF＝；②若DE2＝BD?EF，则DF＝2AD。则（ ）
A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题
5. 在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝__________。
*6. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是__________。
**7. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE。已知AE＝5，tan∠AED＝，则BE＋CE＝__________。
**8. 如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝2，BD是边AC上的高，利用此图可求得tan15°＝__________，BC＝__________。
三、解答题
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值。
10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长。
*11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E。己知AC＝15，cosA＝。
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值。
**12. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA、PB、PC。
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC＝AP；
（2）如图②，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值。
1. A 解析：∵a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°。sinA＝，则csinA＝a，故选项A正确；cosB＝，则ccosB＝a，故选项B错误；tanA＝，则＝b，故选项C错误；tanB＝，则atanB＝b，故选项D错误。
2. B 解析：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠CDF＝90°－∠ADB＝45°，∵sin∠ABD＝，∴AE＝AB?sin∠ABD＝2?sin45°＝2?＝2＞，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个；∵sin∠CDF＝，∴CF＝CD?sin∠CDF＝?＝1＜，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点。总之，P到BD的距离为的点有2个。
3. C 解析：点B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO＝∠AOC＝36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA＝90°，AB＝1，∴sin36°＝，∴BO＝ABsin36°＝sin36°，故选项A错误；由以上可知，选项B错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO＝36°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝54°，∵sin36°＝，∴AD＝AO?sin36°，∵sin54°＝，∴AO＝AB?sin54°，又∵AB＝1，∴AD＝AB?sin54°?sin36°＝1×sin54°?sin36°＝sin54°?sin36°，故选项C正确；由以上可知，选项D错误，故选C。
4. A 解析：①设CF＝x，DF＝y，BC＝h，则由已知菱形BFDE得，BF＝DF＝y，由已知得：＝，化简得：＝，即在△BFC中，cos∠BFC＝＝＝，∴∠BFC＝30°。由已知得∠EDF＝30°，∴tan∠EDF＝，所以①是真命题。②已知菱形BFDE，∴DF＝DE，S△DEF＝DF?AD＝BD?EF，又DE2＝BD?EF（已知），∴S△DEF＝DE2＝DF2，∴DF?AD＝DF2，∴DF＝2AD，所以②是真命题。故选：A。
5. 6 解析：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC＝＝0.8，∴AD＝5×0.8＝4，则BD＝＝3，∴BC＝BD＋CD＝3＋3＝6。
6. 2 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵cosA＝，BE＝4，DE⊥AB，∴设AD＝AB＝5x，AE＝3x，则5x－3x＝4，x＝2，即AD＝10，AE＝6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝8，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝2。
7. 6或16 解析：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：
∵AB的垂直平分线是DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝AB，∵AE＝5，tan∠AED＝，∴sin∠AED＝，∴AD＝AE?sin∠AED＝3，∴AB＝6，∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝AB＝6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：
同理可求得：BE＋CE＝16。故答案为：6或16。
8. ； 解析：在△ABD中，BD＝ABsin∠A＝2sin30°＝1，AD＝ABcos∠A＝2cos30°＝。所以CD＝AC－AD＝AB－AD＝2－，所以tan∠CBD＝＝2－，∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－60°＝15°，即tan15°＝2－。BC2＝BD2＋CD2＝8－4＝（－）2，所以BC＝－。
9. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝＝＝，∴BC＝4，根据勾股定理得：AC＝＝2，则tanB＝＝＝。
10. 解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝ABsin∠ABD＝AB＝4，BD＝ABcos∠ABD＝AB＝4。在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4＋4。
11. 解：（1）在Rt△ABC中，cosA＝，∵AC＝15，∴AB＝＝15×＝25。又∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∴CD＝AB＝；（2）∵点D是AB的中点，∴△ACD、△BCD都是等腰三角形，∴∠ADC＝∠ACD，∠BCD＝∠CBD。∵∠ADC＝∠BDE＝90°－∠DBE，∠ACD＝90°－∠BCD＝90°－∠CBD，∴∠DBE＝∠CBD。∴sin∠DBE＝sin∠CBD＝=＝。
12. 解：（1）∵∠BPC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°，而点P是的中点，∴∠ACP＝∠ACB＝30°，∴∠PAC＝90°，∴tan∠PCA＝＝tan30°＝，∴AC＝PA；（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连接OP交AB于E，如图，∵AB＝AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连接OB，则∠BOD＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝＝，设OB＝25x，则BD＝24x，∴OD＝＝7x，在Rt△ABD中，AD＝25x＋7x＝32x，BD＝24x，∴AB＝＝40x，∵点P是的中点，∴OP垂直平分AB，∴AE＝AB＝20x，∠AEP＝∠AEO＝90°，在Rt△AEO中，OE＝＝15x，∴PE＝OP－OE＝25x－15x＝10x，在Rt△APE中，tan∠PAE＝＝＝，即tan∠PAB的值为。
认识圆的轴对称性
1. 垂径定理的内容
垂径定理：垂直于非直径的弦的直径，平分弦且平分弦所对的两段弧。
符号语言：如图，圆O中，如果直径CD⊥AB于E，
那么有结论：AE＝BE，＝，＝。
说明：
（1）垂径定理是由圆是轴对称图形（直径所在的直线是对称轴）得来的。
（2）定理中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件？因为若是直径，由于两条直径总是互相平分的，因此不会有垂径定理的其他结论。
（3）概括成一句话：直径平分弦（不是直径）
（4）一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只需知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外）。
2. 垂径定理的应用
垂径定理在中考中经常和勾股定理结合使用：如图，如果直径CD ⊥AB于E，当我们连接圆心O和点A时，利用垂径定理可以得到直角三角形OAE，进而可以利用勾股定理进行相关的计算。
例如：直径CD ⊥AB于E，弦AB＝2a，半径为r，求OE、DE的长。
由AB＝2a，根据垂径定理可以得到AE＝a，进而，DE＝r－OE＝r－
利用垂径定理和勾股定理解决圆中的相关计算问题
例题1 （西青区二模）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，求OP的长。
解析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长。
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝8，
∴BM＝DN＝4，
∴OM＝ON＝
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝
点拨：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
例题2 （长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽。
解析：这是一个关系到弦长和半径的问题，因此我们考虑运用垂径定理来解决。
解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD。
∴DM＝DE。
∵DE＝8，
∴DM＝4。
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5，
∴OM＝＝
∴直尺的宽度为3cm。
点拨：这是一个非常贴近学生生活的实际问题，由问题背景我们可以发现，利用垂径定理构造出合适的直角三角形来解决此类问题。
应用垂径定理解决开放性的问题
例题 不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥于E，BF⊥于F。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
解析：这是一道开放性试题，首先要根据直线与AB的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线与AB平行；②直线与AB相交；③直线与AB或BA的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论。
解：（1）如下图所示。
图1 图2 图3
（2）EC＝FD或ED＝FC
（3）以①图为例来证明。过O作OH⊥于H
∵AE⊥，BF⊥，∴AE∥OH∥BF
又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得CH＝DH
∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD
（答题时间：30分钟）
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
B. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；
C. 若两段弧的度数相等，则它们是等弧；
D. 弦的垂线平分弦所对的弧。
2. 如图，⊙O中，直径CD＝15cm，弦AB⊥CD于点M，OM∶MD＝3∶2，则AB的长是（ ）
A. 7.5cm B. 15cm C. 12cm D. 12.5cm
3. 已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离是（ ）
A. 2cm B. 14cm C. 2cm或14cm D. 2cm或12cm
4. 若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高为1，则圆的半径为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5. 在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有___________条。
6. 等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为________。
7. 圆内一弦与直径相交成30°的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为_________。
8. 如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，若AC＝4，AB＝5，则BE＝_________。
9. 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，C、A、D三点在一条直线上，CD的延长线交O1 O2的延长线于P，∠P＝30°，，则CD＝________。
10. 如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点。
（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，求该残破圆轮片的半径。
11. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。
12. 如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
1. B 解析：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故A错误；能重合的弧才是等弧，必须是弧所对的圆心角和所在圆的半径都相等的弧才能叫做等弧，故C错误；只有弦的垂直平分线才能够平分弧，故D错误。
2. C 解析：连接AO，∵OM∶MD＝3∶2且直径CD＝15cm，∴易求得，，根据已知条件易证△AMO为Rt△，
∴cm，根据垂径定理可知，∴AB长为12cm。所以C选项正确。
3. C 解析：本题在解题过程中一定要注意分类讨论的思想，通过分析题意，本题有两种可能性，AB、CD可能在圆心的同侧也可能在异侧，当AB、CD在同侧时，如图1所示，根据条件易求得，，；当AB、CD在圆心的异侧时，，，。所以C选项正确。
4. D 解析：本题涉及一个概念——弦高，所谓弦高是指弦的垂直平分线与劣弧的交点与垂足之间的线段长。∴根据题意易知，如图所示，设半径为r，∴，，，再由勾股定理，就可求得或（舍），∴。所以D选项正确。
5. 4 解析：由题意分析可知过点P的弦最短为8，即过点P恰好与OP垂直的弦，最长为10，即与OP重合的直径，8与10中间还有一个整数9，再据圆的轴对称性可知长度为9的有两条，∴过点P的整数弦有4条。
6. cm 解析：如图所示，依据垂径定理以及勾股定理可求得，外接圆的半径为cm。
7. cm 解析：根据题意易求得，又∵，∴，再在Rt△DOH中，据勾股定理可求得，∴。所以此弦长为。
8. 解析：本题考查的知识点较多，包括垂径定理，相似，勾股定理等，连接BC，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，易证，又∵O是圆心，∴，∴，在Rt△BCD中，据勾股定理，易求得，∴。
9. 6 解析：如图所示，分别过两个圆心作CP的垂线，∴，所以要想求出CD的长度，只需要求出MH即可知道CD的长。又过作于点I，在Rt△中根据勾股定理可求得，∴CD＝6。
10. 解析：①利用垂径定理得出AC，BC的垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点的距离即是半径；②利用垂径定理以及等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，即可得出答案。
解：（1）如图1所示：
（2）如图2，∵AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵AO＝CO，CO＝BO，
∴△AOC≌△COB，
∴∠CBO＝∠ACO＝60°，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠BCO＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴半径为60cm。
11. 解析：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，过点C作CH⊥AB于点H，利用面积相等建立等式，∴，在Rt△ACH中，可求得，
∴据垂径定理可得：。
12. 解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，则CM＝MD
∵CD＝16cm，AB＝8 cm，在Rt△OMC中，因OC＝10 cm
∴OM＝cm
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF
∴，
∴cm
∴AE－BF＝2OM＝12 cm
