6.4 平行
知识点 1 平行线的概念、表示及画法
1．下列说法中正确的是( )
A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段所在的直线互相平行
B．不相交的两条直线一定是平行线
C．同一平面内有两条射线不相交，则这两条射线互相平行
D．同一平面内有两条直线不相交，则这两条直线一定是平行线
2．下列表示两条直线平行的方法中正确的是( )
A．a∥A B．AB∥cd
C．A∥B D．a∥b
3．如图6－4－1，在下面的网格中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：________________．
图6－4－1
4．读下列语句作图．
(1)任意画一个∠AOB；
(2)在角内部取一点P；
(3)过点P分别作PQ∥OA，PM∥OB.
知识点 2 平行线的性质
5．过直线外一点，有________直线与这条直线平行．
6.
如图6－4－2，在同一平面内，有三条直线a，b，c，且a∥b，如果直线a与c交于点O，那么直线c与b的位置关系是__________．
图6－4－2
7．如图6－4－3，将三个相同的三角尺不重叠、不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有( )
图6－4－3
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
8．在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有________个交点．
9．如图6－4－4，在网格图中，只用一把直尺画AB的平行线CD.
图6－4－4
10．(1)画一画：在图6－4－5①中，以P为顶点画∠P(∠P为锐角)，使∠P的两边分别和∠1的两边平行；再在图②中，以P为顶点画∠P(∠P为钝角)，使∠P的两边分别和∠1的两边平行．
(2)量一量：∠1和∠P的度数，它们之间的数量关系是__________________．
(3)猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角的数量关系是______________________．
(4)做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为30°，求另外一个角的度数．
图6－4－5
1．D [解析] 在同一平面内不相交的两条直线平行．
2．D [解析] 一条直线可以用两个大写字母或者一个小写字母表示，据此可排除A，B，C.故选D.
3．CD∥MN，GH∥PN [解析] 线段AB，竖直方向的长度为3个单位，水平方向的长度为1个单位，比为3∶1；线段CD，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为3个单位，比为2∶3；线段EF，竖直方向的长度为3个单位，水平方向的长度为2个单位，比为3∶2；线段GH，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为1个单位，比为2∶1；线段MN，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为3个单位，比为2∶3；线段PN，竖直方向的长度为2个单位，水平方向的长度为1个单位，比为2∶1.图中比值相同的线段是CD与MN，GH与PN，即它们的倾斜方向相同，∴CD∥MN，GH∥PN.
4．解：(1)(2)(3)如图所示．
5．且只有一条
6．相交 [解析] 两直线平行，如果第三条直线与平行线中的一条相交，那么与另一条也相交．
7．]B [解析] AB∥EC，AE∥DB，AC∥ED.
8．2
9. 解：如图，直线CD即为所要画的平行线．
10． 解：(1)如图所示．(答案不唯一)
(2)∠1＝∠P或∠1＋∠P＝180°
(3)相等或互补
(4)另一个角为30°或150°.
6.5 垂直
知识点 1 垂线及垂线的画法
1．下列说法正确的有( )
①如果两条直线相交，所成的四个角中有一个角是90°，那么这两条直线一定互相垂直；
②两条直线的交点叫垂足；
③直线AB⊥CD，也可以说成是CD⊥AB；
④两条直线不是互相平行就是互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图6－5－1，OE⊥AB于点O，若∠COE＝55°，则∠BOC的度数是( )
图6－5－1
A．40°
B．45°
C．30°
D．35°
3．过点P向线段AB所在直线画垂线，画图正确的是( )
图6－5－2
4．在如图6－5－3所示的长方体中，平行于AB的棱有______条，与AB垂直相交的棱有______条．
图6－5－3
5．如图6－5－4所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD＝20°，则∠COE等于________°.
图6－5－4
6．如图6－5－5，在三角形ABC中，∠BAC为钝角．
(1)过点A画BC的垂线；
(2)过点C画AB的垂线；
(3)过点B画AC的垂线．
图6－5－5
知识点 2 垂线的性质
7．如图6－5－6，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出( )
图6－5－6
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
8．如果CO⊥AB于点O，过OC上任意一点向AB作垂线，那么所画的垂线必与OC重合，这是因为________________________________．
知识点 3 垂线段
9．如图6－5－7，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，则能最快到达公路MN的小道是( )
图6－5－7
A．PA B．PB C．PC D．PD
10．如图6－5－8是跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是( )
A．线段AP1的长 B．线段AP2的长
C．线段BP3的长 D．线段CP3的长
图6－5－8
11．如图6－5－9，AC⊥BC，AB⊥CD，点A到直线CD的距离是指线段________的长．
图6－5－9
12．在图6－5－10中画一条从张家村到公路最近的路线．
图6－5－10
13．如图6－5－11，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，AC＝5，则下列说法正确的是( )
A．点B到直线l1的距离等于4
B．点C到直线l1的距离等于5
C．直线l1，l2间的距离等于4
D．点B到直线AC的距离等于3
图6－5－11
14．如图6－5－12，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，则∠DOG＝________°.
图6－5－12
15．如图6－5－13，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF＝2∠BOE.求∠DOB的度数．
图6－5－13
16．如图6－5－14所示，已知点A，O，B在同一条直线上，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD和OE的位置关系，并说明理由．
图6－5－14
17．如图6－5－15所示，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
图6－5－15
18．如图6－5－16，直线AB，CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD.
(1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：__________________．
(2)如果∠AOD＝40°，
①根据__________，可得∠BOC＝______°；
②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝ ∠________＝______°；
③求∠BOF的度数．
图6－5－16
1．B 2. D
3．C
4．3 4
5．70 [解析] ∵∠BOD＝20°，
∴∠AOC＝∠BOD＝20°.
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝90°－20°＝70°.
故答案为70.
6. ．解：(1)(2)(3)如图所示，直线AD，CF，BE即为所要画的垂线．
B
8．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．B 10.C 11.AD
12．解：过张家村作公路的垂线段，此垂线段即为最近路线．
如图：
13．B
14．55
15． 解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°.
∵∠BOF＝2∠BOE，
∴3∠BOE＝90°，
即∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝180°－∠BOE＝150°.
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠AOE＝75°，
∴∠DOB＝∠AOC＝75°.
16．解：OD⊥OE.
理由：因为OD平分∠BOC，
所以∠COD＝∠BOC.
同理可得∠COE＝∠AOC.
又因为∠AOC＋∠BOC＝180°(平角定义)，
所以∠EOD＝∠COE＋∠COD＝(∠AOC＋∠BOC)＝90°，
所以OD⊥OE (垂直定义)．
17．解：(1)∵OM⊥AB，∠1＝∠2，
∴∠1＋∠AOC＝∠2＋∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°.
又∵∠CON＋∠NOD＝180°，
∴∠NOD＝90°.
(2)∵OM⊥AB，∠1＝∠BOC，
∴∠MOB＝∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝120°，∠1＝30°.
又∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°.
∵∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)，
∴∠MOD＝∠MOB＋∠AOC＝150°.
18．解：(1)∠COE＝∠BOF，∠COP＝∠BOP，∠COB＝∠AOD等(任意写出两对即可)
(2)①对顶角相等 40
②BOP 20
③因为∠AOD＝40°，OF⊥CD，
所以∠BOF＝90°－∠AOD＝90°－40°＝50°.
6．1 第1课时 线段、射线、直线
知识点 1 线段、射线、直线的概念
1．给出下列图形，其表示方法不正确的是( )
图6－1－1
2．下列语句：(1)点a在直线l上；(2)直线的一半就是射线；(3)延长直线AB到C；(4)射线OA与射线AO是同一条射线．其中正确语句的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图6－1－2，图中线段和射线的条数分别为( )
图6－1－2
A．一条，二条
B．二条，三条
C．三条，六条
D．四条，三条
4．如图6－1－3所示，直线l、射线PQ和线段MN中能相交的是( )
图6－1－3
5．图6－1－4中有______条线段，______条射线，______条直线．
图6－1－4
6．如图6－1－5所示，OA，OB是两条射线，C是OA上一点，D，E是OB上两点，则图中共有________条线段，它们分别是_______________________________________ ；
图中共有________条射线，它们分别是____________________．
图6－1－5
7．火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离越远，票价越高．如果一段铁路上共有五个站点，每两站间的距离都不相等，那么这段铁路上的火车票价共有________种．
知识点 2 线段、直线的性质
8．建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线．这个实例体现的数学知识是( )
A．两点之间，线段最短
B．过已知三点可以画一条直线
C．一条直线通过无数个点
D．两点确定一条直线
9.如图6－1－6，甲、乙两地之间有多条路可走，那么最短路线是( )
图6－1－6
A．①－④ B．②－④
C．③－⑤ D．②－⑤
10．下列说法正确的是( )
A．线段AB是A，B两点间的距离
B．两点间的距离是一个正数，也是一个图形
C．在所有连接两点的线中距离最短
D．在连接两点的所有线中，最短的一条的长度就是两点间的距离
11．如图6－1－7，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是__________________．
图6－1－7
12．如图6－1－8，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路径共有①②③三条，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，假设行走的速度不变，你认为走路线________(只填标号)最快，理由是 .
图6－1－8
13．如图6－1－9，A，B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A，B两村的距离和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由．
图6－1－9
14．经过任意四点中的两点共可以画出的直线条数是( )
A．1条 B．1条或4条
C．1条或6条 D．1条、4条或6条
15．按下列语句画图：
(1)点P不在直线l上；(2)线段a，b相交于点P；(3)直线a经过点A，而不经过点B；(4)直线l和线段a，b分别交于A，B两点．
16．如图6－1－10，有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小，你能说明理由吗？
图6－1－10
17．如图6－1－11，在平面内有A，B，C三点．
(1)画直线AC，线段BC，射线AB；
(2)在线段BC上任取一点D(不同于点B，C)，连接AD；
(3)数数看，此时图中共有________条线段．
图6－1－11
18．如图6－1－12，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点……
图6－1－12
(1)填写下表：
点的个数
所得线段的条数
所得射线的条数
1
2
3
4
(2)在直线上取n个点，可以得到几条射线？
(3)用这种方法可以得到15条线段吗？如果可以，请指出取几个点；如果不可以，请说明理由．
1．B
2．A [解析] 所有语句都错误．故选A.
3．C
4．D [解析] 根据线段不能延伸，而射线只向一个方向延伸即可知正确的只有选项D.故选D.
5．3 12 3 [解析] 端点数决定线段和射线的条数．
6．6 OC，OD，OE，CD，CE，DE 5 CA，OC，OD，DE，EB
7．10 8.D
9．B [解析] 由图可知，甲、乙两地之间的四条路只有②－④是线段，故最短路线是②－④.故选B.
10．D [解析] 线段AB是图形，A，B两点间的距离是数量，因此A不正确；两点间的距离不是图形，因此B不正确；线和距离不能比较，因此C不正确；在连接两点的所有线中，最短的一条是连接这两点的线段，连接两点的线段的长度就是这两点间的距离．
11．两点确定一条直线 [解析] 经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
12．② 两点之间线段最短
13．解：点P的位置如下图所示．
作法：连接AB交l于点P，则点P为汽车站的位置．
理由：两点之间，线段最短．
14．D [解析] 如图，若四点在同一条直线上，则只能画出1条直线；
若有三点在同一直线上，则能画出4条直线；
若任意三点都不在同一直线上，则能画出6条直线．
综上所述，在同一平面内，经过任意四点中的两点共可以画出1条或4条或6条直线．故选D.
15．解：如图所示．
16．解：如图所示，连接AC，BD，它们的交点是H，点H就是蓄水池的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．理由是两点之间线段最短．
17解：(1)(2)如图所示．
(3)图中共有6条线段．
18．[解析] 1个点时，没有线段，有2条射线；
2个点时，有1条线段，4条射线；
3个点时，有3条线段，6条射线；
4个点时，有6条线段，8条射线……
n个点时，
有(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n(n－1)条线段，2n条射线．
解：(1)
点的个数
所得线段的条数
所得射线的条数
1
0
2
2
1
4
3
3
6
4
6
8
(2)可以得到2n条射线．
(3)可以，取6个点．因为取n个点时，线段有n(n－1)条，当n＝6时，n(n－1)＝15，所以取6个点．
第2课时 线段的大小比较
知识点 1 线段的大小比较
1．如图6－1－13，A，B，C，D为一直线上的四点，则AB＋BC＝________，AC＋CD＝________，AB＋BD＝________，AC＋BD＝AD＋________，AB＝AC－________，CD＝________－BC.
图6－1－13
2．下列各种图形中，可以比较大小的是( )
A．两条射线 B．两条直线
C．直线与射线 D．两条线段
3．如图6－1－14所示，C是线段AB上一点，则下列四个式子：
图6－1－14
①AC＋BC＝AB；②AB－AC＝BC；
③AB－BC＝AC；④AC＝2BC.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图6－1－15，A，B，C，D是直线l上四点，且线段AC＝5，BD＝4，CD＝2，则线段BC＝_________，AB＝________．
图6－1－15
5．已知：如图6－1－16所示，已知线段a，b，c(a＞c)．求作：线段AB，使AB＝a＋b－c.
图6－1－16
6．已知点A，B，C在同一条直线上，且AB＝4 cm，BC＝3 cm，求线段AC的长．
知识点 2 线段的中点
7. 如果A是线段BC的中点，那么下列等式不成立的是( )
A．AB＝BC B．AB＝AC
C．BC＝2AB D．BC＝2AC
8．教材例题变式如图6－1－17，若CD＝6 cm，BD＝10 cm，B是AC的中点，则AB的长为________cm.
图6－1－17
9．如图6－1－18，点C分AB为2∶3两部分，点D分AB为1∶4两部分，若AB为5 cm，则AC＝______cm，BD＝______cm，CD＝______cm.
图6－1－18
10．如图6－1－19所示，C，D是线段AB上的两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，求AB的长.
图6－1－19
11．如图6－1－20，已知线段AB＝6，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，D是AC的中点．
求：(1)AC的长；
(2)BD的长．
图6－1－20
12．2017·莱城区期末两根木条，一根长60 cm，另一根长80 cm，将它们的一端重合，放在同一直线上，此时两根木条的中点间的距离是________cm.
13．如图6－1－21，C，D是线段AB上两点，已知AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，M，N分别为AC，DB的中点，且AB＝18 cm，求线段MN的长．
图6－1－21
14．画线段AB＝5厘米，延长AB至点C，使AC＝2AB，反向延长AB至点E，使AE＝CE，再计算：
(1)线段CE的长；
(2)线段AC是线段CE的几分之几？
(3)线段CE是线段BC的几倍？
15．如图6－1－22，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点．
(1)E是线段AD的中点吗？并说明理由；
(2)当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长．
图6－1－22
16．如图6－1－23，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧的一点，且AB＝22，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________(用含t的代数式表示)．
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
图6－1－23
详解详析
1．AC AD AD BC BC BD
2．D 3.C
4．2 3
5．解：如图所示：
线段AB即为所求．
6．解：若点B在线段AC上，则AC＝AB＋BC＝4＋3＝7(cm)；若点B在线段AC外，则AC＝AB－BC＝4－3＝1(cm)．综上所述，线段AC的长为1 cm或7 cm.
7. A [解析] 如图所示．∵A是线段BC的中点，∴AB＝AC，故A错误，B正确；BC＝2AB＝2AC，故C，D正确．故选A.
8．4 [解析] ∵CD＝6 cm，BD＝10 cm，∴BC＝BD－CD＝10－6＝4(cm)．∵B是AC的中点，
∴AB＝BC＝4 cm.
9．2 4 1 [解析] AC＝5×＝2(cm)，BD＝5×＝4(cm)，CD＝×5＝1(cm)．
10．[解析] 根据CB＝4 cm，DB＝7 cm可求出DC的长，再根据D是AC的中点可得出AD的长，再根据AB＝AD＋DB即可求出答案．
解：因为CB＝4 cm，DB＝7 cm，
所以DC＝DB－CB＝3 cm.
又因为D是AC的中点，所以AD＝DC＝3 cm，
故AB＝AD＋DB＝10 cm.
11．解：(1)∵BC＝2AB，AB＝6，
∴BC＝12，∴AC＝18.
(2)∵D是AC的中点，AC＝18，
∴AD＝9，
∴BD＝AD－AB＝9－6＝3.
12．70或10 [解析] 设较长的木条为AB，较短的木条为BC，木条AB的中点为M，木条BC的中点为N，根据中点定义求出BM，BN的长度，然后分情况讨论：①BC不在AB上时，MN＝BM＋BN；②BC在AB上时，MN＝BM－BN，分别代入数据进行计算即可得解．
13．解：设AC，CD，DB的长分别为x cm，2x cm，3x cm.
∵AC＋CD＋DB＝AB，
∴x＋2x＋3x＝18，解得x＝3，
∴AC＝3 cm，CD＝6 cm，DB＝9 cm.
∵M，N分别为AC，DB的中点，
∴MC＝ cm，DN＝ cm，
∴MN＝MC＋CD＋DN＝＋6＋＝12(cm)．
即线段MN的长为12 cm.
14． 解：如图所示．
(1)∵CE＝3AE，
∴AC＝2AE.
∵AB＝5厘米，AC＝2AB，
∴AC＝10厘米，
∴AE＝5厘米，
∴CE＝15厘米．
(2)∵＝＝，
∴线段AC是线段CE的.
(3)∵CE＝3AB＝3BC，
∴线段CE是线段BC的3倍．
15．解：(1)E是线段AD的中点.
理由：∵AC＝BD，
∴AB＋BC＝BC＋CD，
∴AB＝CD.
∵E是线段BC的中点，
∴BE＝EC，
∴AB＋BE＝CD＋EC，即AE＝ED，
∴E是线段AD的中点.
(2)由(1)知，E是线段AD的中点．
∵AD＝10，
∴AE＝AD＝5，
∴BE＝AE－AB＝2.
即线段BE的长为2.
16．解：(1)－14 8－5t
(2)设点P在点C处追上点Q，则AC＝5t，BC＝3t.∵AC－BC＝AB，∴5t－3t＝22，解得t＝11，∴点P运动11秒时追上点Q.
(3)线段MN的长度不发生变化，其长为11.
①如图(a)，当点P在点A，B之间运动时，MN＝MP＋NP＝AP＋BP＝(AP＋BP)＝AB＝×22＝11；
②如图(b)，当点P运动到点B的左侧时，MN＝MP－NP＝AP－BP＝(AP－BP)＝AB＝11.
6.2 第1课时 角的表示与度量
知识点 1 角的表示
1．如图6－2－1所示，角的顶点是________，边是________，用三种不同的方法表示该角为________，________，________．
图6－2－1
2．下列语句正确的是( )
A．两条相交直线组成的图形叫做角
B．周角是一条直线
C．延长一个角的两边
D．反向延长射线，就得到一个平角
3．下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是( )
图6－2－2
4．如图6－2－3，下列说法：
图6－2－3
(1)∠ECG和∠C是同一个角；
(2)∠OGF和∠DGB是同一个角；
(3)∠DOF和∠EOG是同一个角；
(4)∠ABC和∠ACB不是同一个角．
其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．请将图6－2－4中的角用不同的表示方法表示出来，填入下表：
图6－2－4
∠ABE
∠1
∠2
∠3
6．如图6－2－5所示，五条射线OA，OB，OC，OD，OE组成的图形中共有几个角？是哪几个角？
图6－2－5
7．写出图6－2－6中符合下列条件的角．(图中所有的角均指小于平角的角)
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以点A为顶点的角；
(3)图中所有的角(可用简便方法表示)．
图6－2－6
知识点 2 角的度量与换算
8.如图6－2－7，∠AOD－∠AOC等于( )
图6－2－7
A．∠ADC B．∠BOC
C．∠BOD D．∠COD
9．钝角α的范围是( )
A．0°<α<90° B．90°<α<360°
C．0<α<180° D．90°<α<180°
10．120°等于( )
A.平角 B.周角
C.直角 D. 以上都不对
11．(1)0.5°＝______′＝______″；
(2)°＝______′＝______″；
(3)32.81°＝______°______′______″；
(4)45°12′36″＝______°.
12．如图6－2－8，已知∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝50°，则∠BOC＝________°.
图6－2－8
13．如图6－2－9所示，请观察其中锐角共有多少个，然后分别用字母表示出来．
图6－2－9
14．已知∠AOB＝60°，∠BOC＝35°，则∠AOC等于( )
A．95° B．25°
C．35° D．95°或25°
15．2017·烟台期中在时钟上，当2：30时，时针与分针的夹角度数为________．
16．计算：
(1)108°28′15″－54°35′30″；
(2)159°52′÷5.
17．两个角的和为110°，其中一个角比另一个角的3倍还少10°，求这两个角的差的为多少度．
18．2017·黄冈期末如图6－2－10，∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∠AOB是∠COD的3倍，求∠AOB的度数．
图6－2－10
19．如图6－2－11，在∠AOB的内部引一条射线，能组成多少个角？引两条射线能组成多少个角？引三条射线呢？引五条射线呢？引n条射线呢？
图6－2－11
1．O OA，OB ∠AOB ∠O ∠α [解析] 角是有公共端点的两条射线组成的图形，根据定义即可解答．
2．D
3．B [解析] A．由于以B为顶点的角有四个，不可用∠B表示，故本选项错误；B.由于以B为顶点的角有一个，可用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角，故本选项正确；C.由于以B为顶点的角有三个，不可用∠B表示，故本选项错误；D.由于以B为顶点的角有两个，不可用∠B表示，故本选项错误．故选B.
4．C [解析] (3)中∠DOF与∠EOG的顶点相同，两边所在的射线不相同，所以∠DOF和∠EOG不是同一个角，所以不正确．
5.
∠ABE
∠ABC
∠ACB
∠ACF
∠α
∠1
∠2
∠3
6.解：图中共有10个角，它们分别是∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE.
7．解：(1)∠B，∠C.
(2)∠CAD，∠BAD，∠BAC.
(3)∠C，∠B，∠1，∠2，∠3，∠4，∠CAB.
8．D
9．D [解析] 锐角的范围是大于0°且小于90°，钝角的范围是大于90°且小于180°.
10．B [解析] 周角＝×360＝120°.
故选B.
11．(1)30 1800
(2)1 60
(3)32 48 36
(4)45.21
12．50 [解析] ∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＋∠COD＝∠COD＋∠BOD，
即∠BOC＝∠AOD＝50°.
13．解：有5个，分别为∠BOA，∠BOC，∠COD，∠DOB，∠AOC.
14． D.
15．105°
16．解：(1)108°28′15″－54°35′30″
＝107°87′75″－54°35′30″
＝(107°－54°) ＋(87′－35′)＋(75″－30″)
＝53°52′45″.
(2)159°52′÷5
＝159°÷5＋52′÷5
＝31°＋4°52′÷5
＝31°＋(4×60′＋52′)÷5
＝31°58′24″.
17．解：设较小的角为x°，则较大的角为(3x－10)°，根据题意，得x＋3x－10＝110，解得x＝30.故这两个角分别为80°，30°，
从而×(80°－30°)＝×50°＝12.5°.
答：这两个角的差的为12.5°.
18．解：设∠COD＝x°，∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝60°－x°，∴∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝90°＋60°－x°＝150°－x°.∵∠AOB是∠COD的3倍，∴150°－x°＝3x°，解得x＝37.5，∴∠AOB＝3×37.5°＝112.5°.
19． 解：在∠AOB的内部引一条射线，即3条射线能组成＝3(个)角；
引两条射线，即4条射线能组成＝6(个)角；
引三条射线，即5条射线能组成＝10(个)角；
引五条射线，即7条射线能组成＝21(个)角；
…
引n条射线，即(n＋2)条射线能组成个角．
第2课时 画角与角的平分线
知识点 1 画一个角等于已知角的和(差)
1．如图6－2－12所示，已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB.
图6－2－12
2．如图6－2－13所示，已知∠α，∠β(∠β＞∠α)，求作一个角，使它等于∠β与∠α的差．
图6－2－13
知识点 2 角的平分线及相关的计算问题
3．如图6－2－14，OC是∠AOB的平分线，若∠AOC＝75°，则∠AOB的度数为( )
图6－2－14
A．145° B．150° C．155° D．160°
4．已知OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中，不能得到OC为∠AOB的平分线的是()
A．∠AOC＝∠AOB
B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOC＋∠COB＝∠AOB
D．∠AOC＝∠BOC
5．如图6－2－15，BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，如果∠DBC＝∠ECB，那么∠ABC与∠ACB的关系是________(填“相等”或“不相等”)．
图6－2－15
6．如图6－2－16所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC＝70°，∠COE＝40°，则∠BOD＝________°.
图6－2－16
7．如图6－2－17，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°10′，则∠AOB的度数为________．
图6－2－17
8. 如图6－2－18，O是直线AB上的一点，OD是∠COA的平分线，OE是∠BOC的平分线，则∠AOD＋∠BOE＝________°.
图6－2－18
9．如图6－2－19，已知∠1＝40°，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数．
图6－2－19
10．如图6－2－20，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求∠AOD的度数．
图6－2－20
11．考点办公室设在校园中心点O处，带队老师休息室A位于点O处的北偏东45°，某考场B位于点O处南偏东60°，请在图6－2－21中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．
图6－2－21
12．如图6－2－22，OB，OC是∠AOD的三等分线，则下列等式中不正确的是( )
图6－2－22
A．∠AOD＝3∠BOC
B．∠AOD＝2∠AOC
C．∠AOB＝∠BOC
D．∠COD＝∠AOC
13．下列各度数的角，不能通过拼摆一副三角尺直接画出的是( )
A．15° B．75° C．105° D．130°
14．如图6－2－23，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．
(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE的度数是多少？
(2)在(1)的条件下，若∠COD＝20°，则∠BOE的度数是多少？
图6－2－23
15．已知：如图6－2－24，∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOB＝120°，求∠AOC和∠COD的度数．
图6－2－24
16．如图6－2－25，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为 2∶5两部分，∠DBE＝21°，求∠ABC的度数．
图6－2－25
17．已知一条射线OA，若从点O处引两条射线OB和OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，画出∠AOC的平分线OM，并求出∠AOM的度数．
1．解：作法：①作∠DO′B′＝∠AOB；
②在∠DO′B′的外部作∠A′O′D＝∠AOB，∠A′O′B′就是所求的角．如图所示：
2．解：如图，∠AOC就是所求的角．
3．B [解析] ∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC＝75°，∴∠AOB＝2∠AOC＝150°.故选B.
4．C
5．相等 [解析] 若∠DBC＝∠ECB，则这两个角的2倍也相等．
6．55 [解析] ∵∠DOC＝×40°＝20°，∠BOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠DOC＋∠BOC＝20°＋35°＝55°.
7．100°40′ [解析] ∵OD是∠AOC的平分线，
且∠COD＝25°10′，∴∠AOC＝2×25°10′＝50°20′.
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝50°20′×2＝100°40′.
8．90 [解析] ∵∠AOB是平角，OD是∠COA的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD＋∠BOE＝×180°＝90°.
9．解：∵∠1＝40°，∴∠BOC＝180°－40°＝140°.∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOC＝×140°＝70°，∴∠AOD＝∠1＋∠COD＝40°＋70°＝110°.
10．解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC＝4∠COD＝60°，
∴∠EOD＝∠EOC－∠COD＝45°.
∵OE为∠AOD的平分线，
∴∠AOD＝2∠EOD＝90°.
11．[解析] 根据方向角的相关知识，找出中心点，根据题意画出图形．
解：如图所示，因为∠1＝45°，∠2＝60°，
所以∠AOB＝180°－(45°＋60°)＝75°.
12． B
13．D.
14．解：(1)∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线，
∴∠COD＝∠AOD，∠DOE＝∠DOB，
∴∠COD＋∠DOE＝∠AOD＋∠DOB＝
(∠AOD＋∠DOB)＝∠AOB，
∴∠COE＝∠AOB.
∵∠AOB＝130°，∴∠COE＝65°.
(2)∵∠COE＝65°，∠COD＝20°，
∴∠DOE＝∠COE－∠COD＝65°－20°＝45°.
∵OE平分∠DOB，
∴∠BOE＝∠DOE＝45°.
15．解：设∠AOC＝x°，∵∠BOC＝2∠AOC，∴∠BOC＝2x°，∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝3x°＝120°，∴x＝40，∴∠AOC＝40°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝20°.
16．解：设∠ABE＝2x°，由题意得2x＋21＝5x－21，
解得x＝14，则∠ABC＝14°×7＝98°.
所以∠ABC的度数是98°.
17．解：当OC在∠AOB的内部时，如图①.
因为∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－20°＝40°，且OM平分∠AOC，所以∠AOM＝∠AOC＝×40°＝20°；
当OC在∠AOB的外部时，如图②.
因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋20°＝80°，且OM平分∠AOC，所以∠AOM＝∠AOC＝×80°＝40°.
综上所述，∠AOM的度数为20°或40°.
6.3 第1课时 余角和补角
知识点 1 余角、补角的概念
1．2017·广东已知∠A＝70°，则∠A的补角为( )
A．110° B．70° C．30° D．20°
2．下列选项中，能与30°角互补的是( )
图6－3－1
3．如图6－3－2，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )
图6－3－2
A．50° B．60° C．140° D．150°
4. 如果一个角是36°，那么( )
A．它的余角是64° B．它的补角是64°
C．它的余角是144° D．它的补角是144°
5．现有下列说法：①锐角的余角是锐角；②钝角没有余角；③直角的补角是直角；④两个锐角互余．其中正确说法的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．52°34′的余角是__________，补角是__________．
7．若一个锐角的余角与这个角相等，则这个角等于________°.
8．已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，如果∠1＝63°，那么∠3＝________°.
9．一个角的补角比它的余角的4倍少15°，求这个角的度数．
知识点 2 余角、补角的性质
10．若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则________＝________，理由是__________________________________；若∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠3，则________＝________，理由是_________________________________________________．
11．若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1＝50°，则∠3等于( )
A．50° B．130° C．40° D．140°
12.如图6－3－3所示，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOC＝65°，则∠BOD等于( )
图6－3－3
A．45° B．55° C．60° D．65°
13．下列说法错误的是( )
A．若两角互余，则这两角均为锐角
B．若两角相等，则它们的补角也相等
C．互为余角的两个角的补角相等
D．两个钝角不能互补
14．如图6－3－4，已知∠BOC＝90°，∠DOA＝90°，∠1＝50°，求∠2的度数．
图6－3－4
15．如图6－3－5所示，点A，O，E在一条直线上，从点O引射线OB，OC，OD，∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°，那么图中互补的角有哪几对？
图6－3－5
16．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角是它的补角的( )
A．2倍 B. C．5倍 D.
17．已知：如图6－3－6，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是( )
图6－3－6
A．互余
B．互补
C．相等
D．无法确定
18．如图6－3－7，O为直线AB上一点，∠AOC＝α，∠BOC＝β，则β的余角可表示为( )
图6－3－7
A.(α＋β) B.α
C.(α－β) D.β
19．如图6－3－8，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝________°.
图6－3－8
20．如图6－3－9，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
(1)若∠DOB与∠DOA的度数之比是2∶11，求∠BOC的度数；
(2)若叠合所成的∠BOC＝n°(0＜n＜90)，则∠DOA的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？
图6－3－9
21．如图6－3－10，O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)写出与∠AOE互补的角；
(2)若∠AOD＝36°，求∠DOE的度数；
(3)当∠AOD＝x°时，请直接写出∠DOE的度数．
图6－3－10
22．如图6－3－11，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON＝40°.
(1)∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
(2)试求∠AOC与∠AOB的度数．
图6－3－11
详解详析
1．A 2.D 3.C
4．D [解析] 如果一个角是36°，那么它的余角是90°－36°＝54°，补角是180°－36°＝144°.故选D.
5．B
6．37°26′ 127°26′ [解析] 90°－52°34′＝37°26′，180°－52°34′＝127°26′.
7．45
8．153 [解析] 因为∠1和∠2互余，所以∠1＋∠2＝90°.又因为∠1＝63°，所以∠2＝27°.因为∠2和∠3互补，所以∠2＋∠3＝180°，即27°＋∠3＝180°，所以∠3＝153°.
9．解：设这个角为x°，由题意得180°－x°＝4(90°－x°)－15°，解得x＝55.即这个角的度数为55°.
10．∠2 ∠3 同角的余角相等 ∠2 ∠4
等角的补角相等
11．A
12．D [解析] ∵∠AOC和∠BOD都是∠BOC的余角，∴∠AOC＝∠BOD.∵∠AOC＝65°，∴∠BOD＝65°.故选D.
13．C [解析] 若两角互余，则这两角均为锐角，选项A正确；若两角相等，则它们的补角也相等，选项B正确；30°与60°的角互余，30°角的补角是150°，60°角的补角是120°，则互为余角的两个角的补角不一定相等，选项C错误；两个钝角不能互补，选项D正确．
14．解：因为∠AOD＝90°，所以∠1＋∠BOD＝90°.
因为∠BOC＝90°，所以∠2＋∠BOD＝90°.根据同角的余角相等，可得∠2＝∠1＝50°.
15．解：∠AOD与∠DOE互补，∠BOC与∠DOE互补，∠BOE与∠AOB互补，∠DOC与∠AOB互补，∠AOC与∠BOD互补，∠AOC与∠COE互补，∠BOD与∠COE互补．
16．B [解析] 设这个角为α，它的余角为β，它的补角为γ，则α＝2β，∵α＋β＝90°，∴α＋α＝90°，∴α＝60°.∵α＋γ＝180°，∴γ＝120°，∴α＝γ.故选B.
17．B
18．C [解析] 由邻补角的定义，得α＋β＝180°，两边都除以2，得(α＋β)＝90°，β的余角是(α＋β)－β＝(α－β)．故选C.
19．30
[解析] ∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠COD－∠AOD＝90°＋90°－150°＝30°.
20．解：(1)设∠DOB＝2x，则∠DOA＝11x.
因为∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOC＝∠DOB＝2x，∠BOC＝7x.
又因为∠DOA＝∠AOB＋∠COD－∠BOC＝180°－∠BOC，
可得方程11x＝180°－7x，解得x＝10°，
所以∠BOC＝70°.
(2)因为∠DOA＝∠AOB＋∠COD－∠BOC＝180°－∠BOC，
所以∠DOA与∠BOC互补，
则∠DOA的补角的度数是n°，
则∠DOA的补角的度数与∠BOC的度数之比是1∶1.
21．解：(1)∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE.
∵∠AOE＋∠BOE＝180°，
∴∠AOE＋∠COE＝180°，
∴与∠AOE互补的角是∠BOE，∠COE.
(2)∵OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝36°，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，∠AOC＝2×36°＝72°，
∴∠BOC＝180°－72°＝108°，
∴∠COE＝∠BOC＝54°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°.
(3)当∠AOD＝x°时，∠DOE＝90°.
22．解：(1)∠COD＝∠AOB.理由：因为∠AOC与∠AOB互补，所以∠AOC＋∠AOB＝180°.又因为∠AOC＋∠COD＝180°，所以∠COD＝∠AOB.
(2)因为OM和ON分别是∠AOC和∠AOB的平分线，
所以∠AOM＝∠AOC，∠AON＝∠AOB，
所以∠MON＝∠AOM－∠AON＝∠AOC－∠AOB＝(∠AOC－∠AOB)＝∠BOC.
因为∠MON＝40°，所以∠BOC＝80°，
所以∠COD＋∠AOB＝180°－80°＝100°.
又因为∠AOB＝∠COD，
所以∠AOB＝∠COD＝50°，
所以∠AOC＝180°－∠COD＝130°.
第2课时 对顶角
知识点 对顶角的概念及性质
1．下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的是( )
图6－3－12
2．下列说法中，正确的是( )
A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．有的对顶角不相等
3. 如图6－3－13所示，AB与CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝280°，则∠AOC的度数为( )
图6－3－13
A．40° B．60° C．120° D．140°
4．如图6－3－14，三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3等于( )
图6－3－14
A．90° B．120°
C．180° D．360°
5. 如图6－3－15，直线AB与CD相交于点O，已知∠AOD＝120°，则∠BOC的补角是________°.
图6－3－15
6. 若两个角是对顶角且互补，则这两个角都是________角．
7．教材复习题第6题变式如图6－3－16，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠COB＝140°，则∠DOE＝________°.
图6－3－16
8．如图6－3－17，AB，CD相交于点O，∠DOE＝90°，∠AOC＝72°.求∠BOE的度数．
图6－3－17
9．如图6－3－18，AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，求∠AOC的度数．
图6－3－18
10．如图6－3－19，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝∠EOC，∠AOD＝2∠BOD，求∠AOE的度数．
图6－3－19
11．如图6－3－20，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
图6－3－20
12．如图6－3－21所示，直线AB，CD交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．
(1)求∠2和∠3的度数；
(2)OF平分∠AOD吗？请说明理由．
图6－3－21
13．如图6－3－22所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.
(1)求∠DOE的度数；
(2)求∠AOF的度数．
图6－3－22
14．2016·苏州期末如图6－3－23，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE的度数．
图6－3－23
15．观察图6－3－24，寻找对顶角(不含平角)：
图6－3－24
(1)如图①，图中共有________对对顶角；
(2)如图②，图中共有________对对顶角；
(3)如图③，图中共有________对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；
(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
1．D [解析] 根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A，B，C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D是由两条直线相交构成的图形，正确．故选D.
2．B
3．A [解析] 因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD＝∠BOC.又因为∠AOD＋∠BOC＝280°，所以∠AOD＝∠BOC＝140°.因为∠AOD与∠AOC互补，所以∠AOC＝180°－140°＝40°.故选A.
4．C
5．60 [解析] 因为∠AOD与∠BOC为对顶角，所以∠AOD＝∠BOC＝120°，故∠BOC的补角为180°－120°＝60°.
6．直 [解析] 因为两个角是对顶角，所以这两个角相等．因为这两个角互补，所以它们的度数之和为180°，所以这两个角都是90°，都是直角．
7．70 [解析] ∵∠COB＝140°，∴∠AOD＝140°，∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠DOE＝∠AOE＝70°.
8．解：因为∠BOD与∠AOC是对顶角，∠AOC＝72°，所以∠BOD＝∠AOC＝72°.因为∠DOE＝90°，所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD ＝90°－72°＝18°.
9．解：∵OB平分∠DOE，∠DOE＝60°，∴∠BOD＝∠DOE＝×60°＝30°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
10．解：设∠AOE＝x，
则∠EOC＝2∠AOE＝2x，
故∠BOD＝∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝3x，
所以∠AOD＝2∠BOD＝6x.
又因为∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以6x＋3x＝180°.故x＝20°.
所以∠AOE的度数为20°.
11．解：因为∠AOC＝70°，
所以∠BOD＝∠AOC＝70°.
因为∠BOE∶∠EOD＝2∶3，
所以∠BOE＝×70°＝28°，
所以∠AOE＝180°－28°＝152°.
12．解：(1)因为∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，所以∠1＝∠COE＝40°.根据对顶角相等，可得∠3＝∠COE＝40°.根据平角的定义，可得∠2＝180°－40°－40°＝100°.
(2)OF平分∠AOD.理由：根据对顶角相等，可得∠AOF＝∠1＝40°.又因为∠3＝40°，所以OF平分∠AOD.
13． 解：(1)∵∠AOD∶∠BOD＝2∶1，∠AOD＋∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝×180°＝60°.
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD＝×60°＝30°.
(2)∠COE＝∠COD－∠DOE＝180°－30°＝150°.
∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠COE＝×150°＝75°.
∵∠AOC＝∠BOD＝60°(对顶角相等)，
∴∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝60°＋75°＝135°.
14．解：(1)∵∠AOC＝68°，∴∠BOD＝68°.
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝34°.
∵∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－34°＝56°.
(2)∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE.
∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∠COE＋∠DOE＝180°，
∴∠COE＝∠AOE＝150°.
∵OF平分∠COE，
∴∠FOE＝∠COE＝×150°＝75°.
15．解：(1)如图①，图中共有1×2＝2(对)对顶角．
(2)如图②，图中共有2×3＝6(对)对顶角．
(3)如图③，图中共有3×4＝12(对)对顶角．
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，
若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶角．
(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成(2018－1)×2018＝4070306(对)对顶角．
