4．1 从问题到方程
知识点 1 一元一次方程的有关概念
1．下列方程是一元一次方程的是( )
A．2x＋5＝ B．3x－2y＝6
C.＝5－x D．x2＋2x＝0
2．若关于x的方程(k－1)x2＋x－1＝0是一元一次方程，则( )
A．k＝0 B．k＝－1
C．k≠1 D．k＝1
3．有下列方程：①x＋2y＝3；②－3x＝9；③＝y＋；④x＝0.其中是一元一次方程的有__________(只填序号)．
4．当a__________时，方程(a＋1)x＋2＝0是关于x的一元一次方程．
知识点 2 列方程描述实际问题中的相等关系
5．在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七(1)班学生回收饮料瓶共10 kg，男生回收的质量是女生的4倍，设女生回收饮料瓶x kg，根据题意可列方程为( )
A．4(10－x)＝x B．x＋x＝10
C．4x＝10＋x D．4x＝10－x
6．3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍．设3年前儿子的年龄为x岁，则可列出方程：______________．
7．学校七年级共有216名师生参加某次活动，要用一辆小型客车和几辆中型客车接送．已知一辆小型客车可坐16人，一辆中型客车可坐40人，则还需要多少辆中型客车？(列出方程即可)
8．已知(m－3)x|m|－2＝18是关于x的一元一次方程，则( )
A．m＝2 B．m＝－3
C．m＝±3 D．m＝1
9．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设这件衬衫的成本为x元．
(1)填写下表：(用含有x的代数式表示)
成本
标价
售价
x
(2)根据相等关系列出方程．
10．我国明代数学家程大为曾提出过这样一个有趣的问题：有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面．后面的人问赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我如果再得到这么一群羊，再得到这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？请设未知数，列出方程．
1．C 2.D
3．③④
4．≠－1
5．D
6．4x＋6＝3(x＋6)．
7．解：设还需要x辆中型客车．根据题意列方程，得40x＋16＝216.
8． B
9． 解：(1)x＋60
0．8x＋48
(2)根据题意，得(0.8x＋48)－x＝24.
10．解：设这群羊有x只．根据题意，得
x＋x＋x＋x＋1＝100.
4．2 第1课时 等式的性
知识点 1 方程的解
1．下列方程的解是x＝2的是( )
A．4x＋8＝0 B．－x＋＝0
C.x＝27 D．1－3x＝5
2．若关于x的方程4x＋a＝0的解是x＝1，则a的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
3．检验x＝－5与x＝5是不是方程＝x－2的解．
知识点 2 等式的性质
4．将3x－7＝2x变形正确的是( )
A．3x＋2x＝7 B．3x－2x＝－7
C．3x＋2x＝－7 D．3x－2x＝7
5．如果3x－5＝2x，那么3x＝2x＋5，其依据是________．
6．用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．
(1)如果3x＋5＝9，那么3x＝9－________；
(2)如果2x＝5－3x，那么2x＋________＝5；
(3)如果0.2x＝10，那么x＝________．
7．教材练一练变式解下列方程：
(1)x－1＝2; (2)5x－3＝4x＋6；
(3)x＝－4； (4)－x－5＝4.
8．下列运用等式性质进行的变形，正确的是( )
A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B．如果＝，那么a＝b
C．如果a＝b，那么－＝－
D．如果a2＝3a，那么a＝3
9．填空：
(1)如果a－b＝c，那么a＝__________；
(2)如果a＋b＝c，那么a＝__________；
(3)如果a＋(－b)＝c，那么a＝__________；
(4)如果a－(－b)＝c，那么a＝__________．
10．已知m－1＝n，试用等式的性质比较m与n的大小．
11．2017·资中县期中如图4－2－1，下列四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，其中图①中的天平是平衡的，根据图①中的天平，后三个天平中不平衡的有( )
图4－2－1
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
1．B
2．B [解析] 把x＝1代入4x＋a＝0，
得4×1＋a＝0，解得a＝－4.
3．解：把x＝－5代入方程的左右两边，
左边＝＝－，
右边＝－5－2＝－7.
因为左边≠右边，
所以x＝－5不是方程＝x－2的解；
把x＝5代入方程的左右两边，
左边＝＝3，
右边＝5－2＝3.
因为左边＝右边，
所以x＝5是方程＝x－2的解．
4．D
5．等式的基本性质1 [解析] 等号的两边都加5，其依据是等式的基本性质1.
6．(1)5 (2)3x (3)50
7．解：(1)方程两边都加上1，得x－1＋1＝2＋1，
即x＝3.
(2)方程两边都减去4x，得
5x－3－4x＝4x＋6－4x，即x－3＝6.
方程两边都加上3，得x－3＋3＝6＋3，即x＝9.
(3)方程两边都乘3，得
3×x＝－4×3，
即x＝－12.
(4)根据等式的基本性质1，方程两边都加上5，
得－x－5＋5＝4＋5，
化简，得－x＝9，
再根据等式的基本性质2，方程两边同除以－(或乘－3)，得－x·(－3)＝9×(－3)，即x＝－27.
8． B [解析] 利用等式的基本性质1，两边都加c，得到a＋c＝b＋c，所以A不正确；利用等式的基本性质2，两边都乘c，得到a＝b，所以B正确；C不正确，因为不能确定c是不是等于0；D不正确，因为根据等式的基本性质2，只有当a≠0时，a＝3才成立，但不能确定a是不是等于0.故选B.
9．](1)b＋c (2)c－b (3)b＋c (4)c－b
[解析] (1)等式两边都加上b即可；
(2)等式两边都减去b即可；
(3)等式两边都减去－b即可；
(4)等式两边都加上－b即可．
10．解：等式两边都乘，得m－＝n，则m＞n.
11．B [解析] 由图①中的天平，得到一个球的质量等于两个圆柱体的质量，故图③中的天平平衡，不符合题意；两个球的质量等于四个圆柱体的质量，故图②中的天平平衡，不符合题意，图④中的天平不平衡，符合题意．故选B.
第2课时 用移项与合并同类项解一元一次方程
知识点 用移项与合并同类项解一元一次方程
1．方程3x＋6＝2x－8移项后，正确的是( )
A．3x＋2x＝6－8 B．3x－2x＝－8＋6
C．3x－2x＝－8－6 D．3x－2x＝8－6
2．下列方程变形中的移项正确的是( )
A．从7＋x＝3得x＝3＋7
B．从5x－x＝x－3得5x－x＝－3
C．从2x＋3－x＝7得2x＋x＝7－3
D．从2x－3＋x＝6得2x＋x＝6＋3
3．3x＋6＝17移项得__________，x＝______．
4．方程2x－0.3＝1.2＋3x移项得______________．
5．方程3x＋1＝7的解是________．
6．当x＝________时，代数式4x＋2与3x－9的值互为相反数．
7．某数的一半比它的大4，则这个数为________．
8．下列移项对不对？如果不对，请说明错在哪里？应怎样改正？
(1)从3x＋6＝0得3x＝6；
(2)从2x＝x－1得到2x－x＝1；
(3)从2＋x－3＝2x＋1得到2－3－1＝2x－x.
9．教材练一练第1题变式解下列方程：
(1)x－6＝x； (2)4x－5＝x＋4；
(3)12x＋8＝8x－4－2x.
10．小华同学在解方程5x－1＝( )x＋3移项时，“( )”处的数字忘记变号了，解得x＝2，则该方程的正确的解应为x＝__________．
11．当x为何值时，代数式x＋1的值比代数式5－x的值大9?
12．若x＝－3是方程ax＋4＝20＋a的解，试解关于y的方程ay＋6＝a－2y.
13．解方程|x|－2＝0，可以按下面的步骤进行：
解：当x≥0时，得x－2＝0.
解这个方程，得x＝2；
当x＜0时，得－x－2＝0.
解这个方程，得x＝－2.
所以原方程的解是x＝2或x＝－2.
仿照上述的解题过程，解方程|x－2|－1＝0.
1．C 2.D
3．3x＝17－6
4．2x－3x＝1.2＋0.3 [解析] 根据等式的基本性质1，移项时要变号．
5．x＝2 [解析] 移项，得3x＝7－1，合并同类项，得3x＝6，方程两边再同除以3，得x＝2.
6．1 [解析] 由题意得(4x＋2)＋(3x－9)＝0，化简得7x－7＝0，解得x＝1.
7．24 [解析] 设这个数为x.由题意得x＝x＋4，解得x＝24.故这个数为24.
8．解： (1)不对．移项时忘了要变号，应改为3x＝－6.
(2)不对．原方程中的－1仍然在方程的右边，并没有移项，所以不能变号，应改为2x－x＝－1.
(3)对．
9．解：(1)移项，得x－x＝6.
合并同类项，得－x＝6.
系数化为1，得x＝－24.
(2)移项，得4x－x＝4＋5.
合并同类项，得－x＝9.
系数化为1，得x＝－18.
(3)移项，得12x－8x＋2x＝－4－8.
合并同类项，得6x＝－12.
系数化为1，得x＝－2.
10．
[解析] 设“( )”处的正确数字为a，根据题意，把x＝2代入方程得10－1＝－a×2＋3，解得a＝－3，所以“( )”处的正确数字是－3，即5x－1＝－3x＋3，解得x＝.
11．解：根据题意，得x＋1＝5－x＋9.
移项、合并同类项，得2x＝13.
系数化为1，得x＝.
即当x＝时，代数式x＋1的值比代数式5－x的值大9.
12． 解：把x＝－3代入方程ax＋4＝20＋a，
得－3a＋4＝20＋a，解得a＝－4.
把a＝－4代入方程ay＋6＝a－2y，得
－4y＋6＝－4－2y，解得y＝5.
13．解：当x≥2时，得x－2－1＝0，解这个方程，得x＝3；当x＜2时，得2－x－1＝0，解这个方程，得x＝1.所以原方程的解是x＝3或x＝1.
第3课时 解含有括号的一元一次方程
知识点 用去括号解一元一次方程
1．填空：－3(2x＋1)＝2(1－2x)－1.
解：去括号，得________________．
移项，得________________．
合并同类项，得________________．
系数化为1，得________________．
2．解方程3－5(x＋2)＝x，去括号正确的是( )
A．3－x＋2＝x B．3－5x－10＝x
C．3－5x＋10＝x D．3－x－2＝x
3．方程2(x－1)＝x＋2的解是( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝3 D．x＝4
4．若代数式4x－7与代数式5的值相等，则x的值是( )
A．－9 B．1 C．－5 D．3
5．y＝________时，代数式2(3y＋4)的值比5(2y－7)的值大3.
6．若2(x＋3)和3(1－x)互为相反数，则x＝________．
7．已知a＝2x－7，b＝3(x＋2)，当a＝b－2时，x＝__________．
8．解下列方程：
(1)4x－2(x－2)＝8；
(2)3－(5－2x)＝x＋2；
(3)3x－4(2x＋5)＝x＋4；
(4)2x－2(3－2x)＝4(1＋x)．
9．x为何值时，代数式2x－1的值比x＋3的值的3倍少5?
10．方程＝1的解为( )
A．x＝12 B．x＝24 C．x＝25 D．x＝28
11．定义运算：a*b＝a(ab＋7)，则方程3*x＝2*(－8)的解为________．
12．解下列方程：
(1)3－[2x－4(x＋1)]＝2；
(2)3x－[3(x＋1)－(x＋4)]＝1.
13．小明解关于y的一元一次方程3(y＋a)＝2y＋4，在去括号时，将a漏乘了3，得到方程的解是y＝3，请你求出a的值及方程正确的解．
14．请你阅读下面解方程的过程，再回答问题：
10y－(14y－4)＝20y＋15－3y.
解：去括号，得10y－14y－4＝20y＋15－3y.
移项，得10y－14y＋20y－3y＝15－4.
合并同类项，得13y＝11.
系数化为1，得y＝.
(1)上述解方程过程中，从哪一步开始出现错误？
(2)请你写出正确的解答过程．
15．如图4－2－2是数值转换机的示意图．
→→→→
图4－2－2
(1)若输入的x是7，则输出结果y的值是多少？
(2)若输出结果y的值是7，求输入的x的值．
16．阅读理解题：
请你仔细阅读下列材料：让我们规定一种运算：＝ad－bc，例如＝2×5－3×4＝10－12＝－2，请你按照这种规定，解下列各题：
(1)求的值；
(2)求x的值，使得＝.
1．－6x－3＝2－4x－1 －6x＋4x＝2－1＋3
－2x＝4 x＝－2
2．B [解析] 去括号，得3－5x－10＝x.
故选B.
3．D
4．A [解析] 根据题意得4x－7＝5，解得x＝－9.
5．10 [解析] 根据题意得2(3y＋4)－5(2y－7)＝3，解得y＝10.
6．9 [解析] 因为2(x＋3)与3(1－x)互为相反数，所以2(x＋3)＋3(1－x)＝0，解得x＝9.
7．－11 [解析] 把a＝2x－7，b＝3(x＋2)代入a＝b－2得2x－7＝3(x＋2)－2，解得x＝－11.
8．解：(1)去括号，得4x－2x＋4＝8.
移项，得4x－2x＝8－4.
合并同类项，得2x＝4.
系数化为1，得x＝2.
(2)去括号，得3－5＋2x＝x＋2.
移项，得2x－x＝2－3＋5.
合并同类项，得x＝4.
(3)去括号，得3x－8x－20＝x＋4.
移项、合并同类项，得－6x＝24.
系数化为1，得x＝－4.
(4)去括号，得2x－6＋4x＝4＋4x.
移项，得2x＋4x－4x＝4＋6.
合并同类项，得2x＝10.
系数化为1，得x＝5.
9．解：根据题意得2x－1＝3(x＋3)－5，解得x＝－5，∴当x＝－5时，代数式2x－1的值比x＋3的值的3倍少5.
10．D [解析] 方程两边分别乘2，3，4，即＝2，x－1＝6，x－4＝24，所以x＝28.
11．x＝－
12．解：(1)去小括号，得3－(2x－4x－4)＝2.
再去小括号，得3－2x＋4x＋4＝2.
移项，得－2x＋4x＝2－3－4.
合并同类项，得2x＝－5.
系数化为1，得x＝－.
(2)(方法一)先去小括号，
得3x－(3x＋3－x－4)＝1.
合并括号内的同类项，
得3x－(2x－1)＝1.
去括号，得3x－2x＋1＝1.
合并同类项，得x＋1＝1.
移项，得x＝0.
(方法二)先去中括号，得
3x－3(x＋1)＋(x＋4)＝1.
去括号，得3x－3x－3＋x＋4＝1.
合并同类项，得x＋1＝1.
移项，得x＝0.
13． 解：由题意，得y＝3是关于y的方程3y＋a＝2y＋4的解，解得a＝1.则原方程可化为3(y＋1)＝2y＋4，解得y＝1.所以a的值是1，方程正确的解是y＝1.
14．解：(1)从第一步去括号开始出现错误．
(2)去括号，得10y－14y＋4＝20y＋15－3y.
移项，得10y－14y－20y＋3y＝15－4.
合并同类项，得－21y＝11.
系数化为1，得y＝－.
15． 解：由图可得4(x－2)＋x＝y.
(1)当x＝7时，y＝27.
即输出结果y的值是27.
(2)当y＝7时，4(x－2)＋x＝7，
解得x＝3.即输入的x的值是3.
16．解：(1)＝－1×1－2×(－1)＝－1＋2＝1.
(2)由＝
得3(x－1)－3×2＝－x＋2，解得x＝.
第4课时 解含有分母的一元一次方程
知识点 用去分母解一元一次方程
1．依据下列解方程＝的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)．(_______________________________________)
去括号，得9x＋15＝4x－2.(________________)
(________________)，得9x－4x＝－15－2.(________________)
合并同类项，得5x＝－17.
(______________)，得x＝－.(__________________________________________)
2．解方程－1＝时，为了去分母应将方程两边同时乘( )
A．12 B．10 C．9 D．4
3．解方程－1＝时，去分母正确的是( )
A．3x－3＝2x－2 B．3x－6＝2x－2
C．3x－6＝2x－1 D．3x－3＝2x－1
4．下列解方程中，去分母正确的是( )
A．由－1＝，得2x－1＝3－3x
B．由－＝－1，得2(x－2)－3x－2＝－4
C．由＝－－y，得3y＋3＝2y－3y＋1－6y
D．由－1＝，得12y－1＝5y＋20
5．方程－＝1去分母，得____________．
6．在公式S＝(a＋b)h中，已知S＝16，a＝3，h＝4，则b＝________．
7．当x＝________时，代数式6＋与的值互为相反数．
8．解下列方程：
(1)－＝3；
(2)－＝1；
(3)－1＝；
(4)－＝－1.
9．当x取何值时，代数式x－比的值小1?
10．已知方程＝x－的解是x＝1，则k的值是( )
A．－2 B．2 C．0 D．－1
11．若代数式x＋2与5－2x的值互为相反数，则关于a的方程3x＋(3a＋1)＝x－6(3a＋2)的解为( )
A．a＝1 B．a＝－1
C．a＝4 D．a＝－
12．解方程：
(1)－＝3；
(2)－6.5＝－7.5.
13．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：－＝－，“■”是被污染的内容，“■”是哪个数呢？他很着急，翻开书后面的答案，发现这道题的解是x＝2，你能帮助他补上“■”的内容吗？说说你的方法．
14．若方程＋＝1－与关于x的方程x＋＝－3x的解相同，求a的值．
15．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2＋2ab＋a.如：1*3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.
(1)求2*(－2)的值；
(2)若2*x＝m，(x)*3＝n(其中x为有理数)，试比较m，n的大小；
(3)若[*(－3)]*＝a＋4，求a的值．
1．等式的基本性质2 去括号法则或乘法分配律 移项 等式的基本性质1 系数化为1 等式的基本性质2
2．A
3．B
4．C [解析] A项，不含分母的项漏乘各分母的最小公倍数6，错误；B项，的分子作为一个整体没有加上括号，错误；C项正确；D项，不含分母的项漏乘各分母的最小公倍数15，错误．
5．2(2x＋5)－(x－1)＝6
6．5 [解析] 把S＝16，a＝3，h＝4代入公式，得到16＝(3＋b)×4，解得b＝5.
7．－2 [解析] 根据题意可列方程6＋＋＝0，去分母，得12＋x＋x－8＝0，移项、合并同类项，得2x＝－4，解得x＝－2，即当x＝－2时，代数式6＋与 的值互为相反数．
8．解：(1)去分母，得2x－(x＋1)＝12，
去括号，得2x－x－1＝12，
移项、合并同类项，得x＝13.
(2)去分母，得3(x－2)－2(2x＋1)＝6.
去括号，得3x－6－4x－2＝6.
合并同类项，得－x＝14.
系数化为1，得x＝－14.
(3)去分母，得3(x－1)－12＝2(2x＋1)．
去括号，得3x－3－12＝4x＋2.
移项，得3x－4x＝2＋3＋12.
合并同类项，得－x＝17.
系数化为1，得x＝－17.
(4)去分母，得
4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12.
去括号，得8x－4－20x－2＝6x＋3－12.
移项，得8x－20x－6x＝3－12＋2＋4.
合并同类项，得－18x＝－3.
系数化为1，得x＝.
9．[解析] 由已知条件可以得到等量关系，把它写成方程，再解出x的值．
解：由题意，得x－＝－1.
去分母，得12x－4(x＋2)＝3(1＋3x)－12.
去括号，得12x－4x－8＝3＋9x－12.
移项，得12x－4x－9x＝3－12＋8.
合并同类项，得－x＝－1.
系数化为1，得x＝1.
10． A [解析] 将x＝1代入方程＝x－得＝－，解得k＝－2.故选A.
11．B [解析] 因为代数式x＋2与5－2x的值互为相反数，所以x＋2＝2x－5，解得x＝4.把x＝4代入方程3x＋(3a＋1)＝x－6(3a＋2)得12＋(3a＋1)＝4－6(3a＋2)，整理，得21a＝－21，解得a＝－1.故选B.
12． 解：(1)原方程可化为－＝3，即(5x－10)－(2x＋2)＝3.
去括号，得5x－10－2x－2＝3.
移项、合并同类项，得3x＝15.
系数化为1，得x＝5.
(2)利用分数的基本性质，将方程变形为400－600x－6.5＝1－100x－7.5.
移项、合并同类项，得500x＝400.
系数化为1，得x＝.
13．解：设被污染的数字为k，将x＝2代入方程，得－＝－，整理，得＝2.
去分母，得10－k＝6.
解得k＝4.
即“■”处的数字为4.
14．解：由第一个方程得
2(1－2x)＋4(x＋1)＝12－3(2x＋1)，
去括号，得2－4x＋4x＋4＝12－6x－3，
解得x＝.
将x＝代入第二个方程，得
＋＝－3×，
即＋＝－，解得a＝6.
[点评] 两个方程的解相同，即第一个方程的解也是第二个方程的解．
15．解：(1)2*(－2)＝2×(－2)2＋2×2×(－2)＋2＝2.
(2)m＝2*x＝2x2＋2×2x＋2＝2x2＋4x＋2，
n＝(x)*3＝x×32＋2×x×3＋x＝4x，
m－n＝2x2＋4x＋2－4x＝2x2＋2≥2，故m＞n.
(3)*(－3)＝×(－3)2＋2××(－3)＋＝2a＋2，
(2a＋2)*＝(2a＋2)×()2＋2×(2a＋2)×＋(2a＋2)＝＋，即a＋4＝＋，解得a＝－.
4.3 第1课时 比例与数字问题
知识点 1 比例分配问题
1．有一个加工茶杯的车间，一个工人每小时平均可以加工杯身12个，或者加工杯盖15个，车间共有90人．安排加工杯身的人数为多少时，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？
解：设安排加工杯身的人数为x，
则加工杯盖的为________人，
每小时加工杯身________个，杯盖________个，
则可列方程为________________，
解得x＝________．
2．用铝片做听装饮料瓶，现有150张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底43个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程正确的是( )
A．2×16x＝43(150－x)
B．16x＝43(150－x)
C．16x＝2×43(150－x)
D．16x＝43(75－x)
3．某洗衣机厂今年计划生产A，B，C三种型号的洗衣机共25500台，其中A型、B型、C型三种洗衣机的数量比为1∶2∶14，则这三种洗衣机计划各生产多少台？
知识点 2 数字问题
4．小明在假期里参加四天一期的夏令营活动，这四天每天的日期之和为66，则夏令营的开营日是( )
A．15日 B．16日 C．17日 D．18日
5．一个三位数满足以下条件：(1)三个数位上的数字之和为8；(2)百位上的数字比十位上的数字大4；(3)个位上的数字是十位上数字的2倍．如果设十位上的数字为x，则可得方程是____________．
6．一个两位数的个位上的数字的3倍加1是十位上的数字，个位上的数字与十位上的数字的和等于9，这个两位数是多少？
7．已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2∶3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4∶5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满大纸杯的个数是( )
A．64 B．100 C．144 D．225
8．3个连续偶数的和为36，则它们的积为( )
A．998 B．1200 C．1680 D．1868
9．如果某月共有4个星期五，这4个星期五的日期之和为62，那么这4天分别是______________．
10．一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小36，求原来的两位数．
11．有蔬菜地975公顷，种植青菜、西红柿和芹菜，其中种青菜和西红柿的面积之比是3∶2，种西红柿和芹菜的面积之比为5∶7，三种蔬菜各种多少公顷？
1．(90－x) 12x 15(90－x) 12x＝15(90－x)
50
2．A
3．解：设计划生产A型洗衣机x台，则生产B型、C型洗衣机分别为2x台和14x台．
根据题意，得x＋2x＋14x＝25500，解得x＝1500，则2x＝3000，14x＝21000.
答：A，B，C三种型号的洗衣机计划各生产1500台、3000台、21000台．
4．A [解析] 设开营日为x日，那么其他三天可表示为x＋1，x＋2，x＋3，根据“四天每天的日期之和为66”，可列方程：x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＝66，解得x＝15.故选A.
5．x＋4＋x＋2x＝8
6．解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为3x＋1.根据题意列方程得x＋(3x＋1)＝9，解得x＝2，则3x＋1＝7，所以这个两位数是72.
7． B
8．C.
9．5号、12号、19号、26号．
10．解：设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为2x.
根据题意，得(20x＋x)－36＝10x＋2x，
解得x＝4.
所以2x＝8.
答：原来的两位数为84.
11．解：由题意，得青菜、西红柿和芹菜的面积之比为15∶10∶14.设种植青菜的面积为15x公顷，种植西红柿的面积为10x公顷，种植芹菜的面积为14x公顷，则15x＋10x＋14x＝975，解得x＝25.则15x＝375，10x＝250，14x＝350.
答：种植青菜的面积为375公顷，种植西红柿的面积为250公顷，种植芹菜的面积为350公顷．
第2课时 和差倍分问题
知识点 和差倍分问题
1．小明买书需用34元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共10张，设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A．x＋10(x－50)＝34 B．x＋5(10－x)＝34
C．x＋5(x－10)＝34 D．5x＋(10－x)＝34
2．用一根长12 cm的铁丝围成一个长方形，使得长方形的宽是长的，则这个长方形的面积是( )
A．4 cm2 B．6 cm2 C．8 cm2 D．12 cm2
3．某学校今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机的数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是( )
A．25台 B．50台 C．75台 D．100台
4．一份数学试卷有20道选择题，规定答对一题得5分，不做或做错一题扣1分，结果某学生得分为76分，则他做对的题数为( )
A．16道 B．17道 C．18道 D．19道
5．学校举行“大家唱大家跳”文艺会演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，全校师生一共表演了30个节目，其中歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，则全校师生表演的歌唱类节目有________个.
6．2016·荆门为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有________台．
7．兄弟二人今年分别为15岁和6岁，多少年后哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍？
8．某课外小组女同学的人数原来占全组人数的，加入4名女同学后，女同学的人数就占全组人数的，则课外小组原来的人数是( )
A．35 B．12 C．37 D．38
9. 小明同学在某月的日历上圈出了三个相邻的数a，b，c，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能的是( )
图4－3－1
10. 一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少．
11．一群学生前往某工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽．休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每名男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每名女生看到白色的安全帽是红色的2倍，根据上述信息，请你推测这群学生共有多少人．
1．B 2.C
3．C [解析] 设今年购置计算机的数量是x台，则去年购置计算机的数量是(100－x)台．
根据题意，得x＝3(100－x)，
解得x＝75.
故选C.
4．A [解析] 设他做对的题数为x道，则不做或做错了(20－x)道．根据题意，得5x－(20－x)＝76，解得x＝16，即他做对的题数为16道．
5．22 [解析] 设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有(30－x)个．根据题意，得x＝3(30－x)－2, 解得x＝22, 即歌唱类节目有22个．
6．16 [解析] 设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为(100－x)台．
依题意，得x＝(100－x)－5，
即20－x＝0，解得x＝16.
∴购置的笔记本电脑有16台．故答案为16.
7．解：设x年后，哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍，则x年后哥哥的年龄是(15＋x)岁，弟弟的年龄是(6＋x)岁．由题意，得2×(6＋x)＝15＋x，解得x＝3.
答：3年后哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍．
8．B.
9．B.
10． 解：设考生人数为a，及格分数为x分．根据题意，得
25%a(x＋15)＋75%a(x－25)＝60a，
解得x＝75.
答：这次考试规定的及格分数是75分．
11．解：设男生有x人，则女生有(x－1)人．
根据题意，得x＝2(x－1－1)，
解得x＝4.
x－1＝3.
4＋3＝7(人)．
答：这群学生共有7人．
第3课时 盈亏与体积问题
知识点 1 盈亏问题
1．几个人打算合买一件物品，每人出7元，还少4元；每人出8元，就多3元，则总人数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．某幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，则共有小朋友( )
A．4人 B．5人
C．10人 D．12人
3．2017年“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是( )
A．30x－8＝31x＋26 B．30x＋8＝31x＋26
C．30x－8＝31x－26 D．30x＋8＝31x－26
4．某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是( )
A．47，6 B．46，6 C．54，7 D．61，8
5．2017·南京联合体二模某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个中国结，可列方程______________．
6．小明根据方程5x＋2＝6x－8编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整：某手工小组计划教师节前做一批手工品送给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________________________________________________________________________.
手工小组有几人？(设手工小组有x人)
7．教材练一练第3题变式现有若干辆汽车装运一批货物，每辆装3.5 t，这批货物就有2 t不能运走；每辆装4 t，那么这批货物装完后，还可以装其他货物1 t．汽车有多少辆？这批货物有多少吨？
8．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？
知识点 2 图形面积(体积)问题
9．2016·苏州期末如图4－3－2，在周长为10 m的长方形窗户上钉一块宽为1 m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为( )
图4－3－2
A．4 m2 B．9 m2
C．16 m2 D．25 m2
10．把一个直径为12 cm的圆柱形茶壶中的水倒入一个直径为6 cm，高为12 cm的圆柱形茶杯，茶杯中水满后，茶壶中水的高度下降了______cm.
11．如图4－3－3，长方形纸片的长是15 cm，长、宽上各剪去一个宽为3 cm的长条，剩下的面积是原面积的.求长方形的原面积．
图4－3－3
12．如图4－3－4所示，将底面半径为200 mm的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300 mm、300 mm、80 mm的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的高(π取3.14，精确到1 mm)．
图4－3－4
13．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则还有1人不能上车．有下列四个方程：
①40m＋10＝43m－1; ②＝；③＝； ④40m＋10＝43m＋1.
其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
14．如图4－3－5①是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3.
图4－3－5
15．有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工粉刷8个房间，结果还有50平方米没有刷完；同样时间5名二级技工粉刷完10个房间外，还多刷了另外的40平方米．已知每名一级技工比二级技工一天多刷10平方米，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
16．有若干张完全相同的小长方形纸片，已知小长方形纸片的长与宽的和等于6 cm.茗茗用6张这样的纸片拼出了如图4－3－6①所示的大长方形；墨墨用4张这样的纸片拼出了如图②所示的大正方形．
求：(1)茗茗所拼大长方形的周长；
(2)墨墨所拼大正方形中间的小正方形的面积．
图4－3－6
17．学校综合实践活动小组的同学们乘车到天池山农科所进行社会调查，可供租用的车辆有两种：第一种可乘8人，第二种可乘4人．若只租用第一种车若干辆，则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满．
(1)参加本次社会调查的同学共有多少人？
(2)已知第一种车租金为300元/天，第二种车租金为200元/天．要使每个同学都有座位，并且租车费最少，应该怎样租车？
1．B [解析] 设出总人数，利用买物品的总钱数不变，列出方程进行求解．
2．B [解析] 设有x个小朋友．由题意，得3x－3＝2x＋2，解得x＝5.故选B.
3．D [解析] 找到不变的量建立等量关系：因为人数是确定不变的，每排坐30人，则有8人无座位，所以人数为30x＋8；每排坐31人，则空26个座位，所以人数为31x－26，因此30x＋8＝31x－26.故选D.
4．C [解析] 设船数为x只．
根据题意，得7x＋5＝8x－2，解得x＝7，
故7x＋5＝7×7＋5＝54(人)．
故这个班参加划船的同学人数和船数分别是54，7.
5.＝
6．如果每人做6个，那么就比计划多8个
7．[解析] 这个问题中有两个数量关系：如果每辆装3.5 t，这批货物就有2 t不能运走；每辆装4 t，还可装其他货物1 t．设汽车有x辆，可以画出如图所示的线形示意图．
由示意图可以看出其相等关系．
解：设汽车有x辆，则这批货物有(3.5x＋2)吨或(4x－1)吨．根据题意，得3.5x＋2＝4x－1，
解得x＝6.则4x－1＝23.
答：汽车有6辆，这批货物有23吨．
8．解：设这个班有x名学生，
根据题意，得3x＋20＝4x－25，解得x＝45.
答：这个班有45名学生．
9．A [解析] 设正方形的边长为a m，根据题意，得2a＋2(a＋1)＝10，解得a＝2，故正方形的面积为4 m2，即透光面积为4 m2.故选A.
10．3 [解析] 设茶壶中水的高度下降了x cm.根据题意，得()2π×12＝()2π×x，解得x＝3，所以茶壶中水的高度下降了3 cm.
11．解：设长方形纸片的宽是x cm，则原面积是15x cm2.根据题意，得15x·＝12·(x－3)，解得x＝12.则长方形的原面积是15×12＝180(cm2)．
12．解：设圆柱形水桶的高为x mm.
依题意得π·2002·x＝300×300×80，
解得x≈57.
答：圆柱形水桶的高约为57 mm.
13．D [解析] 根据总人数列方程，应是40m＋10＝43m＋1，①错误，④正确；根据客车辆数列方程，应该为＝，②错误，③正确，所以正确的是③④.故选D.
14．1000 [解析] 设长方体的高为x cm，则其宽为(30－4x)cm，根据题意，得30－4x＝2x，解得x＝5，故长方体的宽为10 cm，长为20 cm，长方体的体积为5×10×20＝1000(cm3)．
15． 解：设每一个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米，则一级技工每天刷平方米，二级技工每天刷平方米．
由题意列方程，得－＝10，解得x＝52.
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为52平方米．
16．解：(1)设小长方形的长为x cm，则宽为(6－x)cm.
由题意，得x＝2(6－x)，解得x＝4，
所以小长方形的宽为2 cm.
即茗茗所拼大长方形的周长为(4＋4)×2＋(4＋2)×2＝28(cm)．
(2)因为小长方形的长为4 cm，宽为2 cm，
所以大正方形的边长为4＋2＝6(cm)，
大正方形的面积为6×6＝36(cm2)．
小正方形的面积为36－4×(2×4)＝4(cm2)．
即墨墨所拼大正方形中间的小正方形的面积为4 cm2.
17．解：(1)设参加本次社会调查的同学共有x人，则3＋＝，
解得x＝28.
答：参加本次社会调查的同学共有28人．
(2)其租车方案有以下五种：
①第一种车4辆，第二种车0辆，费用为1200元；
②第一种车3辆，第二种车1辆，费用为1100元；
③第一种车2辆，第二种车3辆，费用为1200元；
④第一种车1辆，第二种车5辆，费用为1300元；
⑤第一种车0辆，第二种车7辆，费用为1400元．
比较后知：租第一种车3辆，第二种车1辆时费用最少．
第4课时 行程问题
知识点 行程问题
1．A，B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，快车提前30分钟出发，两车相向而行，慢车行驶多少小时后两车相遇？设慢车行驶x小时后两车相遇，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A．60(x＋30)＋90x＝480
B．60x＋90(x＋30)＝480
C．60(x＋)＋90x＝480
D．60x＋90(x＋)＝480
2．甲、乙两人从学校到博物馆去，甲每小时走4 km，乙每小时走6 km，甲先出发1 h，结果乙还比甲早到1 h．设学校到博物馆的距离为s km，则以下方程正确的是( )
A.＋1＝－1 B.＝－1
C.－1＝＋1 D．4s－1＝6s＋1
3．小明每秒跑6米，小彬每秒跑5米，小彬站在小明前10米处，两人同时起跑，小明追上小彬要用( )
A．5秒 B．6秒 C．8秒 D．10秒
4．一艘轮船在A，B两港口之间行驶，顺水航行需要5 h，逆水航行需要7 h，水流的速度是5 km/h，则A，B两港口之间的路程是( )
A．105 km B．175 km C．180 km D．210 km
5．甲、乙两人在环形跑道上同时同地出发，同向跑步，甲的速度为7米/秒，乙的速度为6.5米/秒，若跑道一周的长为400米，设经过x秒后甲、乙两人第一次相遇，则列方程为____________．
6．一条山路，某人从山下往山顶走3小时，还差1千米才到山顶，若从山顶走到山下，只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，则上山速度为____________．
7．列车从甲站到乙站原需16小时．采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度提高了176千米/时，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，列车提速后的速度为________千米/时．
8．一只轮船在A，B两码头之间航行，从A到B顺流需4 h，已知A，B间的路程为80 km，水流的速度为2 km/h，则从B返回A用______h.
9．甲、乙两站相距240千米，一列慢车由甲站开出，每小时行驶50千米；同时，一列快车由乙站开出，每小时行驶70千米．两车同向而行时，快车在慢车的后面，经过几小时快车可以追上慢车？
10．甲、乙两站相距60千米，一列快车从甲站开出，每小时行48千米；一列慢车从乙站开出，每小时行36千米，问：两车相向而行，同时开出，经过多少小时相遇？
11．王强参加了一场3000米的赛跑，他以6米/秒的速度跑了一段路程，又以4米/秒的速度跑完了其余的路程，一共花了10分钟，王强以6米/秒的速度跑了多少米？
12．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则6 h相遇；若同向而行，则12 h甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的( )
A.倍 B.倍 C．3倍 D.倍
13．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是________米．
14．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，则A港和B港相距多少千米？
15．如图4－3－7，已知甲、乙两车同时从A地出发，相背而行，甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时30千米，2小时以后，甲车因有重要物品要还给乙车，回头去追赶乙车，从A地出发多长时间后，甲车追上乙车？
图4－3－7
16．A，B两地相距120 km，一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40 km的速度从B地出发，两车相向而行．经过多少时间两车相距30 km?
17．张伯和李婶每天饭后都有到学校大操场跑道上散步半小时的习惯，张伯采用变速散步的方式，李婶则坚持匀速散步．某次散步，张伯刚开始10分钟以60米/分的速度行走，热身后速度减慢继续行走10分钟后，最后又以比开始时增加的速度快速行走10分钟，若设张伯行走时间为x(分钟)，行走的路程为y(米)．
(1)请用含x的代数式表示y：
①当行走时间在10分钟内时，y＝________；
②当行走时间在10至20分钟时，y＝________；
③当行走时间在20至30分钟时，y＝________．
(2)若李婶与张伯同时同地同向出发，李婶以50米/分的速度匀速散步，则他们散步多少时间时相距90米？
1．D 2.C
3．D 4．B
5．7x－6.5x＝400
千米/时
7．256
8．5
9．解：设经过x小时快车可以追上慢车．
根据题意，得70x－50x＝240，
解得x＝12.
答：经过12小时快车可以追上慢车．
10．解：设两车经过x小时相遇．
根据题意，得48x＋36x＝60，
解得x＝.
答：两车经过小时相遇．
11．解：设王强以6米/秒的速度跑了x米，根据题意，得＋＝10×60，解得x＝1800.
答：王强以6米/秒的速度跑了1800米．
12．C .
13．640米．
14．解：设A港和B港相距x千米．
根据题意，得＋3＝，
解得x＝504.
答：A港和B港相距504千米．
15．解：设从A地出发x小时后，甲车追上乙车．由题意得40×(x－2)＝30x＋2×40，解得x＝16.
答：从A地出发16小时后，甲车追上乙车．
16．解：相遇前：行程之和＋30＝两地距离；相遇后：行程之和－30＝两地距离．
设经过x小时两车相距30 km.根据题意，得
①相遇前：50x＋40x＋30＝120，解得x＝1；
②相遇后：50x＋40x－30＝120，解得x＝.
答：经过1小时或小时两车相距30 km.
17．解：(1)①60x ②40x＋200 ③80x－600
(2)①当行走时间在10分钟内时，
根据题意，得60x－50x＝90，解得x＝9；
②当行走时间在10至20分钟时，
根据题意，得40x＋200－50x＝90或50x－(40x＋200)＝90，
解得x＝11或x＝29，
但x＝29＞20，不符合题意，舍去；
③当行走时间在20至30分钟时，
根据题意，得80x－600－50x＝90或50x－(80x－600)＝90，解得x＝23或x＝17，
但x＝17＜20，不符合题意，舍去．
综上所述，当x＝9或11或23时，他们相距90米．
答：他们散步9分钟或11分钟或23分钟时，相距90米．
第5课时 工程问题
知识点 1 工程问题
1．一项工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成，现由甲独做4小时，剩下的甲、乙合做，还需几小时？设剩下部分要x小时完成，下列方程正确的是( )
A.－－＝1 B.＋－＝1
C.＋＋＝1 D.－＋＝1
2．有两支同样长的蜡烛，一支能点燃4小时，另一支能点燃3小时，一次遇到停电，同时点燃这两支蜡烛，来电后同时吹灭，发现其中一支的长度是另一支长度的一半，则停电时间为( )
A．2小时 B．3小时 C.小时 D.小时
3．某中学的学生自己动手整修操场，如果让八年级学生单独工作，需要6小时完成；如果让九年级学生单独工作，需要8小时完成．现在由八、九年级学生一起工作x小时，完成了任务的.根据题意，可列方程为____________．
4．甲工人接到120个零件的任务，工作1小时后，因为要提前完成任务，调来乙工人和甲合作，共同做了3小时完成，已知甲每小时比乙少做5个，则乙每小时做________个．
5．某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务分配给甲、乙两个工程队，他们先后接力完成，共用时20天．已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
6．甲、乙两班同学参加“绿化家乡，植树造林”活动，已知甲班同学单独完成分配给学校的植树任务需7小时，乙班同学单独完成该任务需5小时，现由甲、乙两班同学共同来完成此项任务，并在植树过程中开展劳动竞赛，甲班的工作效率提高了40%，乙班的工作效率提高了50%，求两班同学合作几小时就可把树全部植完．
知识点 2 劳动力调配问题
7．甲队有37人，乙队有23人，现在从乙队抽调x人到甲队，使甲队人数正好是乙队人数的2倍，根据题意，列出方程是________________．
8．某服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装(一件上衣和两条裤子配成一套)．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？
9．阳光工程队派出大、小汽车共17辆运75吨沙子，如果大汽车每辆可运沙子5吨，小汽车每辆可运沙子3吨，如何分配大、小汽车的辆数，使它们恰好能一次运完这批沙子？
10．已知9人14天完成了一项工程的，而剩下的工程要在4天内完成，若每人每天的工作量不变，则需要增加的人数是( )
A．14 B．13 C．12 D．11
11．某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间的人数就是第二车间人数的.求第一车间、第二车间原有的人数．
12.古代有个寓言故事，驴子和骡子一起走路，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都一样重，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨什么？如果你给我一袋，那我负担的就是你的2倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多．”试问驴子原来所驮的货物是多少袋？
(1)若设驴子原来所驮的货物为x袋，则骡子原来驮了________袋．
(2)根据题意，列出方程并解答．
13．抗震救灾重建家园，为了修建在地震中受损的一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修建需6个月完成，每月耗资5万元．
(1)请问甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？
(2)若要求最迟4个月完成修建任务，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．(时间按整月计算)
14．某乳制品厂有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：
方案一：4天时间全部用来生产奶粉，剩余鲜牛奶直接销售；
方案二：将一部分鲜牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利较多，为什么？
1．C
2．C
3.x＋x＝
4．20
5．解：设甲工程队整治了x m的河道，则乙工程队整治了(360－x)m的河道．根据题意，得
＋＝20，
解得x＝120，
则360－x＝240.
答：甲工程队整治了120 m的河道，乙工程队整治了240 m的河道．
6．解：设两班同学合作x小时就可把树全部植完．由题意，得×(1＋40%)x＋×(1＋50%)x＝1，
解得x＝2.
答：两班同学合作2小时就可把树全部植完．
7．37＋x＝2(23－x)
8．解：设x名工人缝制上衣，(40－x)名工人缝制裤子．
由题意，得2×3x＝4(40－x)，
解得x＝16，
则40－x＝40－16＝24.
答：应分配16名工人缝制上衣，24名工人缝制裤子．
9．解：设大汽车有x辆，则小汽车有(17－x)辆．
由题意，得5x＋3(17－x)＝75，
解得x＝12.
当x＝12时，17－x＝5.
答：应安排12辆大汽车，5辆小汽车才能恰好一次运完这批沙子．
10．C.
11．解：设第二车间原有x人，则第一车间原有人．
根据题意，得x－30＋10＝(x－10)，
解得x＝250，所以x－30＝170.
答：第一车间、第二车间的原有人数分别是170人、250人．
12．解：(1)(2x－3)
(2)由题意，得x＋1＝2x－3－1，解得x＝5.
答：驴子原来所驮的货物为5袋．
13． 解：(1)设甲、乙两工程队合作修建需x个月完成．
根据题意，得x＝1，
解得x＝2.
(12＋5)×2＝34(万元)．
答：甲、乙两工程队合作修建需要2个月完成，共耗资34万元．
(2)根据题意，有如下三种方案：
方案一：由甲工程队单独修建3个月完成任务，耗资12×3＝36(万元)；
方案二：由甲、乙两工程队合作修建2个月完成任务，耗资34万元；
方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成任务．
设甲、乙合作y个月，剩下的由乙来完成．
(＋)y＋＝1，解得y＝1.
此时耗资1×12＋5×4＝32(万元)．
因为32<34<36，
所以甲、乙合作1个月，剩下的由乙来做3个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金．
14． 解：方案二获利较多．理由：方案一：1×4×2000＋6×500＝11000(元)；
方案二：设制奶粉x天，则制酸奶(4－x)天．
则1×x＋(4－x)×3＝10，解得x＝1.
1×1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．
因为12800＞11000，
所以方案二获利较多．
第6课时 打折销售问题
知识点 1 存款利息问题
1．王海的爸爸想用一笔钱买年利率为2.48%的5年期国库券，他想5年后本息和为11240元，如果设应买这种国库券x元，那么可以列出方程( )
A．x·(1＋2.48%×5)＝11240
B．5x·(1＋2.48%)＝11240
C．x·(1＋2.48%)5＝11240
D．x·2.48%×5＝11240
2．王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%，到期后得到本息共23000元，则当年王大伯存入银行多少钱？
知识点 2 商品利润问题
3．一件商品的进价为80元，按标价的七折售出仍可获利5%.若标价为x元，则可列方程为( )
A．80(1＋5%)＝0.7x
B．80×0.7(1＋5%)＝x
C．(1＋5%)x＝0.7x
D．80×5%＝0.7x
4．2017·深圳二模一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为360元，则每件服装的进价是( )
A．168元 B．300元 C．60元 D．400元
5．阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为( )
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
6．小华买了一件上衣和一条裤子，共用去306元．其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价是300元，则裤子的标价是( )
A．160元 B．150元 C．120元 D．100元
7．某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价为________元．
8．某电器商城五一促销，将某品牌彩电按进价提高40%，然后在广告上写“五一大酬宾，八折出售”，结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电进价是多少元？
9．小王去新华书店买书，书店规定花20元办优惠卡后购书可按原价的8.5折付款．小王办卡后购买了一些书，购书优惠后的价格加上办卡费用比这些书的原价还少了10元钱，小王购买这些书的原价是多少？
10．某个体户同时卖出两件商品，每件售价都是1350元，按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么这次买卖中该个体是( )
A．不赔不赚 B．赚了90元
C．赚了180元 D．赔了180元
11.某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元，不享受优惠；(2)一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款( )
A．288元 B．332元
C．288元或316元 D．332元或363元
12．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
13．购买某书有以下优惠：每本原价5元，购买20本以下的，可以打9折；购买20本和20本以上的可以打7折．现有人两次共购买30本书，花费111元，两次各购买多少本书？
14．小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：
图4－3－8
(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
(2)当标价总额是多少时，甲、乙两家超市实付款一样？
(3)小王两次到乙超市购物分别付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
详解详析
1．A
2．解：设当年王大伯存入银行x元，年利率为5%，存入3年，所以3年的利息为3×5%x元，3年到期后的本息共为23000元．
根据题意，得x＋3×5%x＝23000，
解得x＝20000.
答：当年王大伯存入银行20000元．
3．A [解析] 根据题意建立等量关系：进价×(1＋5%)＝商品标价×0.7，依此列方程即可．
4．B [解析] 设每件服装的进价为x元，由题意得(1＋50%)x×80%＝360，解得x＝300.故每件服装的进价是300元．故选B.
5．C [解析] 设这种电子产品的标价为x元．由题意得0.9x－21＝21×20%，解得x＝28，所以这种电子产品的标价为28元．故选C.
6．C [解析] 设裤子的标价是x元．根据题意可列方程 300×0.7＋0.8x＝306，解得x＝120，即裤子的标价是120元．故选C.
7．2750 [解析] 设这种空调的标价为x元，根据题意可得＝10%，解得x＝2750.即标价为2750元．
8．解：设每台彩电进价是x元．
依题意，得0.8×(1＋40%)x－x＝270，
解得x＝2250.
故每台彩电进价是2250元．
9．[解析] 办卡费用加上打折后的书款应该等于书的原价减去节省下来的10元，由此数量关系可列方程进行解答．
解：设书的原价为x元．由题意，得
20＋0.85x＝x－10，解得x＝200.
答：小王购买这些书的原价是200元．
10． D
11．C [解析] (1)若第二次购物超过100元，但不超过300元，设此时所购物品价值为x元，则90%x＝252，解得x＝280，两次所购物品价值为80＋280＝360(元)＞300元，所以享受8折优惠，因此应付360×80%＝288(元)．
(2)若第二次购物超过300元，设此时所购物品价值为y元，则80%y＝252，解得y＝315，两次所购物品价值为80＋315＝395(元)，因此应付395×80%＝316(元)．故选C.
12解：设每件衬衫降价x元．依题意有
120×400＋(120－x)×100＝80×500×(1＋45%)，
解得x＝20.
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
13．解：①若两次购书都没有超过20本，
由题意得5×30×0.9＝135(元)，不符合题意，故舍去．
②若两次购书，有一次购书超过20本．
设其中一次购书x本，另一次购书(30－x)本．
由题意得5x×0.9＋5(30－x)×0.7＝111，
解得x＝6，30－x＝24.
综上所述，其中一次购书6本，另一次购书24本．
14．解：(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲超市实付款为300×0.88＝264(元)，乙超市实付款为300×0.9＝270(元)．
(2)设当标价总额是x元时，甲、乙两家超市实付款一样．当一次性购物标价总额是500元时，甲超市实付款为500×0.88＝440(元)，乙超市实付款为500×0.9＝450(元)，∵440＜450，∴x＞500.根据题意，得0.88x＝500×0.9＋0.8(x－500)，解得x＝625.
答：当标价总额是625元时，甲、乙两家超市实付款一样．
(3)小王两次到乙超市购物分别付款198元和466元，第一次购物付款198元，购物标价可能是198元，也可能是198÷0.9＝220(元)，第二次购物付款466元，购物标价是(466－450)÷0.8＋500＝520(元)，两次购物标价之和是198＋520＝718(元)，或220＋520＝740(元)．若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为500×0.9＋0.8×(718－500)＝624.4(元)，或500×0.9＋0.8×(740－500)＝642(元)，可以节省198＋466－624.4＝39.6(元)，或198＋466－642＝22(元)．
答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省39.6元或22元．
