1 第1课时 正切
知识点 1 正切
1．如图1－1－1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( )
A．2 B．8 C．2 D．4
2．在Rt△ABC中，各边都扩大为原来的4倍，则锐角A的正切值( )
A．扩大为原来的4倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．以上都不对
图1－1－1 图1－1－2
3．[2017·河北模拟] 如图1－1－2，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为( )
A. B.
C. D.
4．2017·遵义模拟在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则tanA的值是( )
A. B. C. D.
知识点 2 正切与梯子的倾斜程度的关系
图1－1－3
5．如图1－1－3，梯子(长度不变)和地面所成的锐角为∠A.关于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是( )
A．tanA的值越大，梯子越缓
B．tanA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越大，梯子越陡
D．梯子的陡缓程度与∠A的正切值无关
图1－1－4
6．如图1－1－4所示，甲、乙两个自动扶梯，________自动扶梯比较陡．(填“甲”或“乙”)
7．一个大坝的横断面为梯形ABCD，如图1－1－5，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡面哪一个的倾斜程度更大一些．
图1－1－5
知识点 3 坡度
图1－1－6
8．河堤横断面如图1－1－6所示，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为( )
A．12 m B．4 m
C．5 m D．6 m
9．某人沿着有一定坡度的坡面前进了130米，此时他沿水平方向前进了120米，则这个坡面的坡度为________．
10．如图1－1－7，汽车从引桥下的端点A处行驶200 m后到达高架桥的点B处．已知高架桥的高度BC为12 m，求引桥AB的坡度(结果精确到0.01 m)．
图1－1－7
11．如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，△ABC中最小的角为∠A，那么tanA的值为________．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝6 cm，则△ABC的面积为________cm2.
图1－1－8
13．如图1－1－8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝________．
14．在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9 ，点D在BC边上，连接AD.若tan∠CAD＝，则BD的长为________．
15．如图1－1－9，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm.为方便残疾人士进出，打算将台阶改为斜坡．设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长是________ cm.
图1－1－9
16．如图1－1－10，方方和圆圆分别将两根木棒AB，CD斜靠在墙上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm.你能判断谁的木棒更陡吗？并说明理由．
图1－1－10
17．如图1－1－11，小明家所住楼房的高度AB＝10 m，到对面较高楼房的距离BD＝20 m．当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平面的夹角为40°.据此，小明便知楼房CD的高度．请你写出计算过程．(结果精确到0.1 m，参考数据：tan40°≈0.84)
图1－1－11
18．如图1－1－12①，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图②，将纸片展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于点N，则tan∠ANE＝________．
图1－1－12
1．A
2．B [解析] 设在原Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边分别为a，b，则各边都扩大为原来的4倍后，∠A的对边与邻边分别为4a，4b，此时tanA＝＝.
3．A
4．C [解析] ∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，∴tanA＝＝.
故选C.
5．C 6.乙
7．解：tanB＝＝，tanC＝＝.
∵＞，∴左边坡面的倾斜程度更大一些．
8．A 9.
10．解：在Rt△ABC中，AC＝≈199.64 m.
∴引桥AB的坡度＝tanA≈≈0.06(m)．
答：引桥AB的坡度约为0.06 m.
11．
12．24
13．
14．6
[解析] 在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9 ，
根据勾股定理，得CA2＋CB2＝AB2，
即2CA2＝2CB2＝(9 )2，
解得CA＝CB＝9.
如图，在Rt△CAD中，
tan∠CAD＝＝，
∴CD＝3，∴DB＝9－3＝6.
故答案为6.
15．210
16．解：圆圆的木棒CD更陡．理由如下：
在Rt△ABE中，AE＝＝＝8(cm)，
∴tan∠ABE＝＝＝.
在Rt△CDE中，CE＝＝＝4(cm)，
∴tan∠CDE＝＝＝2.
∴tan∠CDE>tan∠ABE.
故圆圆的木棒CD更陡．
17．解：在Rt△ABP中，tan40°＝＝，∴BP＝≈11.90(m)．
在Rt△CDP中，tan40°＝≈，
∴CD≈31.90×0.84≈26.8(m)．
答：楼房CD的高度约为26.8 m.
18．.
第2课时 正弦和余弦
知识点 1 正弦
1．2017·安顺模拟在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列等式成立的是( )
A．sinA＝ B．sinA＝
C．sinA＝ D．sinA＝
图1－1－13
2．如图1－1－13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )
A. B.
C. D.
3．[2017·日照] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，sinB＝，则BC＝________．
知识点 2 余弦
图1－1－14
5．[2017·湖州] 如图1－1－14，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )
A. B.
C. D.
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝( )
A. B. C. D.
7．在等腰三角形ABC中，若AB＝AC＝4，BC＝6，则cosB的值是________．
8．如图1－1－15，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3 m，cos∠BAC＝，则梯子长AB＝________m.
图1－1－15 图1－1－16
9．如图1－1－16，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为________．
知识点 3 锐角三角函数
10．在△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AB＝4，则下列说法正确的是( )
A．sinB＝ B．cosB＝
C．tanB＝ D．tanB＝
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°.若sinA＝，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
12．已知∠α是锐角，且cosα的值为，则tanα＝________．
13．2017·贵阳模拟在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，下列结论中，正确的是( )
A．AB＝2sinA B．AB＝2cosA
C．BC＝2tanA D．BC＝2cotA
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．
15．如图1－1－17所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为________．
图1－1－17 图1－1－18
16．如图1－1－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E.若BC＝6，sinA＝，则DE＝________．
17．如图1－1－19，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，sin∠AOB＝，则四边形ABCD的面积为________．(结果保留根号)
图1－1－19
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，且sinB＝，试分别求出AC，AB的长．
19．已知：如图1－1－20，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝.
(1)求线段DC的长；
(2)求tan∠EDC的值．
图1－1－20
20．如图1－1－21，矩形ABCD的周长为30 cm，两条邻边AB与BC的长度之比为2∶3.
求：(1)AC的长；
(2)∠α的正弦、余弦和正切．
图1－1－21
21．如图1－1－22，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.
(1)求sin2A＋cos2A的值；
(2)比较sinA和cosB的大小；
(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相似的结果？若有，请说明理由．
图1－1－22
1．B [解析] 如图所示，sinA＝.故选B.
2．C 3.B 4.6 5.A 6.D
7. [解析] 如图，作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝BC＝3.
在Rt△ABD中，cosB＝＝.故答案为.
8．4
9. [解析] 将∠AOB放在一直角三角形中，相邻的直角边为1，对边为2，由勾股定理得斜边为，则cos∠AOB＝＝.
10．B 11.D 12.
13．C [解析] 如图，∵∠C＝90°，AC＝2，∴cosA＝＝，故AB＝，故选项A，B错误；tanA＝＝，则BC＝2tanA，
故选项C正确，选项D错误．故选C.
14．
15． [解析] 设每个小正方形的边长为1，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝，AC＝.在Rt△ACD中，sinA＝＝＝.
16．
17．12
[解析] 如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵sin∠AOB＝，OA＝3，
∴AE＝3×sin∠AOB＝，
∴S△ABD＝BD·AE＝×8×＝6 ，同理S△BCD＝6 .
∴四边形ABCD的面积为12 .
18．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinB＝＝.设AC＝3x，则AB＝5x.
又由AB2＝AC2＋BC2，知
(5x)2＝(3x)2＋62＝9x2＋36，
解得x＝(负值已舍去)．
∴AC＝3x＝，AB＝5x＝.
19．解：(1)在Rt△ABD中，∵AD＝12，sinB＝，即＝，∴AB＝＝15.
由勾股定理，得BD＝＝＝9，
∴DC＝BC－BD＝14－9＝5.
(2)在Rt△ACD中，
∵DE是斜边AC上的中线，
∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∴tan∠EDC＝tanC＝＝.
20．解：(1)∵AB＋BC＝15 cm，AB∶BC＝2∶3，
∴AB＝6 cm，BC＝9 cm，
∴AC＝＝3 cm.
(2)在Rt△ABC中，
sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.
21．[全品导学号：77264016]
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13.
∴sinA＝＝，cosA＝＝，cosB＝＝.
(1)∵sin2A＝()2＝，cos2A＝()2＝，
∴sin2A＋cos2A＝＋＝1.
(2)sinA＝cosB.
(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相似的结果，即对任意直角三角形中的锐角A，有sin2A＋cos2A＝1；在Rt△ABC中，若∠C为直角，则sinA＝cosB.
理由如下：设在任意Rt△ABC中，∠C＝90°，sin2A＝，cos2A＝，
∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1.
∵sinA＝，cosB＝，
∴sinA＝cosB.
