第一章 数与式
第1讲 实数
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
1.实数的有关概念 ★★★★★ 会用正负数表示相反意义的量;有理数、无理数和实数的概念、知道实数与数轴上的点一一对应 数轴、相反数、倒数、绝对值的概念和意义、科学记数学法、有效数字、近似数与准确数平方根、算术平方根及立方根的概念、会用根号表示、会计算某些数用有理数估计一个无理数的大致范围理解乘方的意义，运用有理数与实数的运算法则简化运算、有理数与实数的混合运算，非负数的性质 实数的概念和运算是历年中考的必考内容，在中考中一般为2-3道题，分值为6-10分，主要以考查相反数、倒数、绝对值等基本概念，多以选择、填空、简单实数运算解答题形式出现，科学记数法、实数的运算是历年中考的热点，17年中考部分地区加大了对近似数与准确数的考查。
2.实数的大小比较与运算3.二次根式4.实数的运算 ★★
实数： 和 统称为实数．有理数分为 和 ，无理数是指
数轴：规定了 、 、 的直线称为数轴。实数和数轴上的点是一一对应的关系。
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0．
绝对值：一个数的绝对值就是表示 ，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若a≥0，则|a|= ；若a≤0，则|a|=- 。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
倒数：如果a与b互为倒数，则有 ，反之亦成立．倒数等于本身的数是 ， 没有倒数．
实数大小比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．除此之外还有以下的几种常用方法；数轴比较、求差比较、求商比较法、绝对值比较法、平方法．
科学记数法：把一个数写成±a×10n的形式，其中 ≤a< ，n是 ，这种记数法叫做科学记数法．通过测量和估计得到的数字是 ，不用测量和估计得到的数字是
平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。一个正数有 平方根，他们互为相反数；零的平方根是 ； 没有平方根。
算术平方根： 叫做a的算术平方根，记作。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是 。
立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫a的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数的运算：实数范围内混合运算顺序是先 ，然后 ，最后 。同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的。
※考向一：会用正负数表示相反意义的量
典例1：如果水位上升3米记作+3米,那么水位下降5米记作( )米
+3 B．－3 C．+5 D． -5
【分析】根据正负数意义即可得答案．
【解答】解：水位上升和下降是一对相反意义的量,水位上升3米记作+3米,那么水位下降5米记作-5米
故答案为D．
※考向二：相反数
典例2：(2018·永州)－2018的相反数是( )
A．2018 B．－2018 C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0;求相反数时,只要在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数或者利用互为相反数的两个数的和为0可得答案．
【解答】解：－2018的相反数是2018．故答案为A．
※考向三：倒数
典例3：（2018·孝感）的倒数是（ ）
A．4 B．-4 C． D．16
【分析】利用倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．0没有倒数;需要注意的是负数的倒数还是负数．
【解答】解：∵，-的倒数是－4，故答案为A．
※考向四：绝对值
典例4：（2017 嘉兴）-2的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】-2是负数，它的绝对值是它的相反数．
【解答】解：-2的绝对值是|-2|=2，故选A．
※考向五：实数大小比较
典例5：（2017 北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞-4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d大小，再根据有理数运算，绝对值性质可得答案．
【解答】解：由数轴可知：a＜-4＜b＜0＜c＜1＜d，故答案选C．
※考向六：实数分类
典例6：（2018·菏泽）下列各数：－2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据无理数是无限不循环小数，其中0.020020002…，π是无理数，注意＝3它不是无理数．
【解答】解：0.020020002…，π是无理数，故选C．
※考向七：科学记数法
典例7：（2018·广东）据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14 420 000人次，将14 420 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】科学计数法的定义：将一个数字表示成 a×10n的形式；其中1≤|a|<10，n为整数，由此可得出正确答案．
【解答】解：，故答案A。．
※考向八：近似数与准确数
典例8：（2017 宜昌）5月18日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实现了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采．据介绍，“蓝鲸1号”拥有27354台设备，约40 000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米．其中准确数是（ ）
A 27354 B 40 000 C 50 000 D 1200
【分析】近似数是通过测量和估计得到的，而准确数是具体的不用测量和估计得到的．
【解答】拥有27354台设备是具体的不用测量，其他数字是通过测量和估计得到的，故答案为A．
※考向九：实数的运算
典例9:（2017 达州）计算：20170﹣|1﹣|+（）﹣1+2cos45°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而求出答案．此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
【解答】解：20170﹣|1﹣|+（）﹣1+2cos45°
=1﹣+1+3+2×
=5﹣+
=5
※考向十：规律探索
典例10：（2014 邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41．
【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题．
【解答】解：由题意可得：
移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；
移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；
移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；
移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；
移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；
移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；
…
∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；
移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．
①当3n﹣2≥41时，
解得：n≥
∵n是正整数，
∴n最小值为15，此时移动了29次．
②当3n﹣1≥41时，
解得：n≥14．
∵n是正整数，
∴n最小值为14，此时移动了28次．
纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：28．
★易错点一：概念理解不清
题1：下列实数： 、 、、 、-1.010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
【解答】解： 、 、-1.010010001…是无理数，故答案选C．
错因透视：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，如题中，=2，像-1.010010001…这类有特殊结构的数，也是无理数，本题判断，-1.010010001…容易出现错误．
★易错点二：数形意识不明
题2：（2016 福州）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相反数定义，结合数轴可解答．
【解答】只有符号不同的两个数互为相反数，相反数的和为0，0的相反数是0，由此可得答案为B
错因透视：对定义要抓本质，注重数形结合理解。
★易错点三：法则理解不透
题3（2016 天津）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把-a，-b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是
（A）-a < 0 < -b
（B）0 < -a < -b
（C）-b < 0 < -a
（D）0 < -b < -a
【分析】理解相反数的定义，根据实数大小比较法则，数轴上右边的数总比左边的大，结合数轴可解答．
【解答】由相反数定义可知-a，-b分别是实数a，b的相反数，由此可得答案为B
★易错点四：实数的计算出错
题4：计算
【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数幂和零指数幂，在计算时需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
=
=
=
错因透视：本题易将算错成，去绝对值时没有考虑到绝对值号里面的数的正负，此外在计算时，一定要注意运算顺序．
★易错点五：数学思想方法欠缺
题5（2017 河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
【分析】（1）根据以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，进而得到p的值；（2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31，据此可得p的值．
【解答】（1）解：若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2， ∴p=1+0﹣2=﹣1；
若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，∴p=﹣3﹣1+0=﹣4
（2）解：若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31， ∴p=﹣31﹣29﹣28=﹣88
错因透视：本题易忽视画图分析，数形意识欠缺。
第3题图
a 0 b
第（10）题图
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第1讲《实数》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1.(2018·临沂)自2013年10月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来，各地积极推进精准扶贫.加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人， 将1100万人用科学记数法表示为( )
A．1.1×103 人 B．1.1×107人 C．1.1×108 人 D．1.1×106人
【分析】理解科学计数法的表示方法，特别注意单位亿的转换．
【解答】1100万人=11000000人=1.1×107人
故选B
2. （2018·河北)若，则n=（ ）．
A.－1 B.－2 C.0 D.
【分析】利用乘方意义和方程思想求解．
【解答】解：由可得：，即，所以n=－1,
故选A
3. (2018 乐山) 如图，在数轴上点A表示的数为-1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为
A.－3 B.－4 C.-5 D.-6
【分析】实数与数轴上的点一一对应及数轴上两点距离和对称性质,可转化为方程求解．
【解答】解：BA=5，∴CA=5，则点C表示的数为-1-5=-6
故选：D
4．(2016·自贡)若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】根据非负数的和为零，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】解：由+b2﹣4b+4=0，得
a﹣1=0，b﹣2=0．
解得a=1，b=2．
ab=2．
故选：D．
5．（2017 滨州）（2017山东滨州）下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）()2＝12，（4），其中结果正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】结合二次根式的性质及运算可得
【解答】解：（1）根据“”可知()2＝2成立；（2）根据“”可知＝2成立；（3）根据“(ab)2＝a2b2”可知，计算()2，可将－2和分别平方后，再相乘．所以这个结论正确；（4）根据“(a＋b)(a－b)＝a2－b2”，＝＝2－3＝－1．
故选D
6． (2018·福建)已知，则以下对m的估算正确的是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【分析】结合算术平方根的定义及实数估算方法,利用不等式性质即可求解．
【解答】解：∵1＜＜2，，∴ 3＜＜4，
故选：B．
7．（2018·北京）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A． B． C． D．
【分析】利用实数与数轴一一对应和绝对值定义,确定各个字母所代表的数的符号．
【解答】解：∵，∴，故A选项错误；数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；∵，，∴，故Ｃ选项错误；∵，，，∴，故D选项错误．
故选 B
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·威海）用若干个形状，大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为_______．
【分析】利用算术根的意义及方程思想求解．
【解答】解：图①的阴影面积为12，则边长为＝2；图②的阴影面积为8，则边长为＝2；
设小矩形的长为x，宽为y，则根据题意得，解得；
则12个同样的小矩形围成的阴影部分面积是S＝（x－3y）2＝(）2＝44－16．
故答案:44－16
9. （2018·潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入右侧的程序中，则输出的结果是 ．
【分析】理解题意,运用实数运算法则和运算顺序即可求解．
【解答】解：32＝9，输入9后，得9÷3－＝3－＞1，再按程序要求计算(3－)×(3＋)＝32－()2＝7．
故答案为：7
10．（2017 天水）定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3）*2=________．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（ ）*2=4*2= =2，
故答案为：2
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11. （2018 宿迁）计算：．
【分析】利用零指数幂，绝对值的代数意义以及特殊角的三角函数值然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解原式＝
＝
＝5
12.(2018·孝感）计算（－3）2＋|－4|＋－4cos30°.
【分析】按绝对值、立方根、乘方和实数运算法则分别计算.
【解答】解:原式
.
13.（2018·曲靖）计算－（－2）＋＋＋
【分析】按去括号法则,负指数幂,零指数幂、立方根、乘方和实数运算法则分别计算.
【解答】解:原式＝2＋1＋3＋(-3)＝6＋（－3）＝3
14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①7表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为17（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
．
【分析】理解数轴上的实数与数轴上的点一一对应，会根据对折进行动手操作，从而推理求出答案．
【解答】解：：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，∴对称中心是原点，
∴﹣2表示的点与2表示的点重合，故答案为：2；
（2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合，
∴对称中心是1表示的点，∴7表示的点与数﹣5表示的点重合；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为17÷2=8.5，
∵对称点是表示1的点，∴A、B两点表示的数分别是﹣7.5，9.5，
15．若约定：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，试求a2013．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：∵a1=﹣，∴a2==，a3==4，a4==﹣，…
2013÷3=671．∴a2013与a3相同，为4．
．16.如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的运动速度比之是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．
（1）求两个动点运动的速度；
（2）A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；
（3）若A、B两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：经过几秒钟，A、B两点之间相距4个单位长度？
【分析】本题属动点问题，关键是会用数轴上的数表示出动点对应的位置，然后转化为方程求解
【解答】（1）设点A的速度为每秒3t个单位长度，则点B的速度为每秒2t个单位长度．
依题意有：3t×3+2t×3=15，
解得t=1，
答：点A的速度为每秒3个单位长度，点B的速度为每秒2个单位长度．
（2）3×3=9，2×3=6，
画图：
；
（3）设x秒时，点A、B之间相距4个单位长度．
①根据题意，得3x﹣2x=15﹣4，
解得：x=11，
②根据题意，得3x﹣2x=15+4，
解得：x=19，
③2x+3x=15+4
解得：x=，
④2x+3x=15﹣4，
解得：x=，
即运动11、19、或秒时，点A、B之间相距4个单位长度．
输入显示结果
÷3
是
否
输出
大于1
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第1讲《实数》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1.(2018·临沂)自2013年10月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来，各地积极推进精准扶贫.加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人， 将1100万人用科学记数法表示为( )
A．1.1×103 人 B．1.1×107人 C．1.1×108 人 D．1.1×106人
2. （2018·河北省)若，则n=（ ）．
A.－1 B.－2 C.0 D.
3. (2018 乐山) 如图，在数轴上点A表示的数为-1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为
A.－3 B.－4 C.-5 D.-6
4．(2016·自贡)若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
5．（2017 滨州）（2017山东滨州）下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）()2＝12，（4），其中结果正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6． (2018·福建)已知，则以下对m的估算正确的是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
7．（2018·北京）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A． B． C． D．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·威海）用若干个形状，大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为_______．
9. （2018·潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入右侧的程序中，则输出的结果是 ．
10．（2017 天水）定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3）*2=________．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11. （2018 宿迁）计算：．
12.(2018·孝感）计算（－3）2＋|－4|＋－4cos30°.
13.（2018·曲靖）计算－（－2）＋＋＋
14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①7表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为17（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
．
15．若约定：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，试求a2013．
．16.如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的运动速度比之是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．
（1）求两个动点运动的速度；
（2）A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；
（3）若A、B两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：经过几秒钟，A、B两点之间相距4个单位长度？
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第1讲 实数
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
1.实数的有关概念 ★★★★★ 会用正负数表示相反意义的量;有理数、无理数和实数的概念、知道实数与数轴上的点一一对应 数轴、相反数、倒数、绝对值的概念和意义、科学记数学法、有效数字、近似数与准确数平方根、算术平方根及立方根的概念、会用根号表示、会计算某些数用有理数估计一个无理数的大致范围理解乘方的意义，运用有理数与实数的运算法则简化运算、有理数与实数的混合运算，非负数的性质 实数的概念和运算是历年中考的必考内容，在中考中一般为2-3道题，分值为6-10分，主要以考查相反数、倒数、绝对值等基本概念，多以选择、填空、简单实数运算解答题形式出现，科学记数法、实数的运算是历年中考的热点，17年中考部分地区加大了对近似数与准确数的考查。
2.实数的大小比较与运算3.二次根式4.实数的运算 ★★
实数：有理数和无理数统称为实数．有理数分为整数和分数，无理数是指无限不循环小数．
数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。实数和数轴上的点是一一对应的关系。
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0．
绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若a≥0，则|a|=a；若a≤0，则|a|=-a。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立．倒数等于本身的数是1和-1，零没有倒数．
实数大小比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．除此之外还有以下的几种常用方法；数轴比较、求差比较、求商比较法、绝对值比较法、平方法．
科学记数法：把一个数写成±a×10n的形式，其中1≤a<10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法．通过测量和估计得到的数字是近似数，不用测量和估计得到的数字是准确数
平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫a的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数的运算：实数范围内混合运算顺序是先乘方、开方，然后乘除，最后加减。同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的。
※考向一：会用正负数表示相反意义的量
典例1：如果水位上升3米记作+3米,那么水位下降5米记作( )米
+3 B．－3 C．+5 D． -5
【分析】根据正负数意义即可得答案．
【解答】解：水位上升和下降是一对相反意义的量,水位上升3米记作+3米,那么水位下降5米记作-5米
故答案为D．
※考向二：相反数
典例2：(2018·永州)－2018的相反数是( )
A．2018 B．－2018 C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0;求相反数时,只要在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数或者利用互为相反数的两个数的和为0可得答案．
【解答】解：－2018的相反数是2018．故答案为A．
※考向三：倒数
典例3：（2018·孝感）的倒数是（ ）
A．4 B．-4 C． D．16
【分析】利用倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．0没有倒数;需要注意的是负数的倒数还是负数．
【解答】解：∵，-的倒数是－4，故答案为A．
※考向四：绝对值
典例4：（2017 嘉兴）-2的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】-2是负数，它的绝对值是它的相反数．
【解答】解：-2的绝对值是|-2|=2，故选A．
※考向五：实数大小比较
典例5：（2017 北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞-4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d大小，再根据有理数运算，绝对值性质可得答案．
【解答】解：由数轴可知：a＜-4＜b＜0＜c＜1＜d，故答案选C．
※考向六：实数分类
典例6：（2018·菏泽）下列各数：－2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据无理数是无限不循环小数，其中0.020020002…，π是无理数，注意＝3它不是无理数．
【解答】解：0.020020002…，π是无理数，故选C．
※考向七：科学记数法
典例7：（2018·广东）据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14 420 000人次，将14 420 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】科学计数法的定义：将一个数字表示成 a×10n的形式；其中1≤|a|<10，n为整数，由此可得出正确答案．
【解答】解：，故答案A。．
※考向八：近似数与准确数
典例8：（2017 宜昌）5月18日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实现了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采．据介绍，“蓝鲸1号”拥有27354台设备，约40 000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米．其中准确数是（ ）
A 27354 B 40 000 C 50 000 D 1200
【分析】近似数是通过测量和估计得到的，而准确数是具体的不用测量和估计得到的．
【解答】拥有27354台设备是具体的不用测量，其他数字是通过测量和估计得到的，故答案为A．
※考向九：实数的运算
典例9:（2017 达州）计算：20170﹣|1﹣|+（）﹣1+2cos45°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而求出答案．此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
【解答】解：20170﹣|1﹣|+（）﹣1+2cos45°
=1﹣+1+3+2×
=5﹣+
=5
※考向十：规律探索
典例10：（2014 邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41．
【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题．
【解答】解：由题意可得：
移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；
移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；
移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；
移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；
移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；
移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；
…
∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；
移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．
①当3n﹣2≥41时，
解得：n≥
∵n是正整数，
∴n最小值为15，此时移动了29次．
②当3n﹣1≥41时，
解得：n≥14．
∵n是正整数，
∴n最小值为14，此时移动了28次．
纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：28．
★易错点一：概念理解不清
题1：下列实数： 、 、、 、-1.010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
【解答】解： 、 、-1.010010001…是无理数，故答案选C．
错因透视：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，如题中，=2，像-1.010010001…这类有特殊结构的数，也是无理数，本题判断，-1.010010001…容易出现错误．
★易错点二：数形意识不明
题2：（2016 福州）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相反数定义，结合数轴可解答．
【解答】只有符号不同的两个数互为相反数，相反数的和为0，0的相反数是0，由此可得答案为B
错因透视：对定义要抓本质，注重数形结合理解。
★易错点三：法则理解不透
题3（2016 天津）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把-a，-b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是
（A）-a < 0 < -b
（B）0 < -a < -b
（C）-b < 0 < -a
（D）0 < -b < -a
【分析】理解相反数的定义，根据实数大小比较法则，数轴上右边的数总比左边的大，结合数轴可解答．
【解答】由相反数定义可知-a，-b分别是实数a，b的相反数，由此可得答案为B
★易错点四：实数的计算出错
题4：计算
【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数幂和零指数幂，在计算时需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
=
=
=
错因透视：本题易将算错成，去绝对值时没有考虑到绝对值号里面的数的正负，此外在计算时，一定要注意运算顺序．
★易错点五：数学思想方法欠缺
题5（2017 河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
【分析】（1）根据以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，进而得到p的值；（2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31，据此可得p的值．
【解答】（1）解：若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2， ∴p=1+0﹣2=﹣1；
若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，∴p=﹣3﹣1+0=﹣4
（2）解：若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31， ∴p=﹣31﹣29﹣28=﹣88
错因透视：本题易忽视画图分析，数形意识欠缺。
第3题图
a 0 b
第（10）题图
3
