第24章《解直角三角形》检测题
一、选择题:(本大题共8小题,每题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于( )
A. B. C. D.
2.已知,△ABC中,∠C=90°,cosA=,则sinA=( )
A. B. C. D. 2
3.如图,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点P到点O的距离( )
A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 无法判断
4.点(﹣sin60°,cos60°)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (,) B. (﹣,) C. (﹣,﹣) D. (﹣,﹣)
5.如图,将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°,若楔子沿水平方向前进6cm(如箭头所示),则木桩上升了( )
A. 6sin15°cm B. 6cos15°cm C. 6tan15°cm D. cm
6.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处,若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60°方向上,则B、C之间的距离为( )
A. 20海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 30海里
8.如图,∠MON=90°,边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM,ON上当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,等边三角形的形状保持不变,运动过程中,点C到点O的最大距离为( )
A. 2.4 B. C. D.
二、填空题:(本大题共8小题,每题3分,共24分)
9.若a为锐角,且sina=,则tana为 .
10.若α是锐角,且sinα=1﹣2m,则m的取值范围是 .
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=6,cosA=,那么AC= .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,若BC=6,AC=8,则tan∠ACD的值为 .
13.将sin37°、cos44°、sin41°、cos46°的值按从小到大的顺序排列是 .
14.在△ABC中,如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+(cosB﹣)2=0,那么∠C= .
15.如图是一把剪刀的局部示意图,刀片内沿在AB、CD上,EF是刀片外沿.AB、CD相交于点N,EF、CD相交于点M,刀片宽MH=1.5cm.小丽在使用这把剪刀时,∠ANC不超过30°.若想一刀剪断4cm宽的纸带,则刀身AH长至少为 cm.(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.41,≈1.73)
16.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,DE是AC的垂直平分线,线段DE=1cm,则BD的长为 .
三、解答题:(本大题共8个题,共72分)
17. (每小题5分,共10分)计算(1)2cos30°+tan60°﹣2tan45°?tan60°;
(2).
18.(6分)如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求sinC的值.
19.(8分)在一次数学活动课上,数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
20.(8分)如图,AB、CD交与点O,且BD=BO,CA=CO,E、F、M分别是OD、OA、BC的中点.求证:ME=MF.
21.(8分)如图,小明从点A处出发,沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B,sinα=,然后又沿着坡度为i=1:4的斜坡向上走了1千米达到点C.问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米(结果保留根号)?
22.(10分)如图,一台起重机,他的机身高AC为21m,吊杆AB长为40m,吊杆与水平线的夹角∠BAD可从30°升到80°.求这台起重机工作时,吊杆端点B离地面CE的最大高度和离机身AC的最大水平距离(结果精确到0.1m)(参考数据:sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan33°≈5.67).
23.(10分)如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°,求岛屿两端A、B的距离(结果保留根号).
24.(12分)问题情景:学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对定义,解下列问题:
自主探究:(1)sad60°的值为( )A. B.1 C. D.2
(2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是 .
合作交流:(3)已知sinα=,其中α为锐角,试求sadα的值.
参考答案
一选择题
1.B.解:由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,
∴斜边为=2.
∴cos∠ABC==.
2.C.解:∵sin2A+cos2A=1,即sin2A+()2=1,
∴sin2A=,
∴sinA=或﹣(舍去),
3.A.解:不变.连接OP,
在Rt△AOB中,OP是斜边AB上的中线,
那么OP=AB,
由于木棍的长度不变,
所以不管木棍如何滑动,OP都是一个定值.
4.A.解:∵sin60°=,cos60°=,
∴(﹣sin60°,cos60°)=(﹣,),
关于y轴对称点的坐标是(,).
5.C.解:∵tan15°=.
∴木桩上升了6tan15°cm.
6.C.解:过P作PD⊥OB,交OB于点D,
在Rt△OPD中,cos60°==,OP=12,
∴OD=6,
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND=MN=1,
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
7.C.解:如图,∵∠ABE=15°,∠DAB=∠ABE,
∴∠DAB=15°,
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°.
又∵∠FCB=60°,∠CBE=∠FCB,∠CBA+∠ABE=∠CBE,
∴∠CBA=45°.
∴在直角△ABC中,sin∠ABC===,
∴BC=20海里.
8.C.解:如图,取AB的中点D,连接CD.
∵△ABC是等边三角形,且边长是2,∴BC=AB=1,
∵点D是AB边中点,
∴BD=AB=1,
∴CD===,即CD=;
连接OD,OC,有OC≤OD+DC,
当O、D、C共线时,OC有最大值,最大值是OD+CD,
由(1)得,CD=,
又∵△AOB为直角三角形,D为斜边AB的中点,
∴OD==1,
∴OD+CD=1+,即OC的最大值为1+.
二、填空题
9.答案:.解:根据题意,∠a是锐角,且sinα=,
则cosα==,
则tana==.
故tana为.
10.0<m<.解:∵α是锐角,
∴0<sinα<1.
∴0<1﹣2m<1,
解得0<m<.
11.4.解:如图所示,
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=,
∴cosA==,
则AC=AB=×6=4,
12..解:∵∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD,
∴tan∠ACD=tan∠A===.
13.sin37°<sin41°<cos46°<cos44°.解:∵cos44°=sin(90°﹣44°)=sin46°、cos46°=sin(90°﹣46°)=sin44°,
∴根据当角是锐角时,正弦值随角度的增大而增大得出sin37°<sin41°<cos46°<cos44°,
14.75°.解:∵△ABC中,|tanA﹣1|+(cosB﹣)2=0
∴tanA=1,cosB=
∴∠A=45°,∠B=60°,
∴∠C=75°.
15.6.6.解:在直角△MNH中,∠MNH=∠ANC=30°,
则HN===1.5(cm),
则AH=HN+4=1.5+4≈6.6(cm).
16.4cm.解:连接AD,∵等腰△ABC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴∠CAD=∠C=30°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°,
在Rt△CDE中,CD=2DE,
在Rt△ABD中,BD=2AD,
∴BD=4DE,
∵DE=1cm,
∴BD的长为4cm.
三、解答题
17.答案:(1)0;(2) 3+2.
解:(1)原式=2cos30°+tan60°﹣2tan45°?tan60°=2×+﹣2×=0;
(2)原式====3+2.
18.答案:.
解:∵在直角△ABD中,tan∠BAD==,
∴BD=AD?tan∠BAD=12×=9,
∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5,
∴AC===13,
∴sinC==.
19.答案:15﹣5.
解:过点B作BM⊥FD于点M,
在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,BC=AC tan60°=10,
∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°.
∴BM=BC?sin30°=10×=5,
CM=BC?cos30°=10×=15,
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴MD=BM=5,
∴CD=CM﹣MD=15﹣5.
20.答案:(见证明)
证明:连接BE、CF,
∵BD=BO,E为DO中点,
∴BE⊥DO,
同理CF⊥AO,
∴△BEC为直角三角形,且M为BC中点,
∴ME=BC,同理MF=BC,
∴ME=MF.
21.答案:( +)km.
解:如图所示:过点B作BF⊥AD于点F,过点C作CD⊥AD于点D,
由题意得:AB=0.65千米,BC=1千米,
∴sinα===,
∴BF=0.65×=0.25(km),
∵斜坡BC的坡度为:1:4,
∴CE:BE=1:4,
设CE=x,则BE=4x,
由勾股定理得:x2+(4x)2=12
解得:x=,
∴CD=CE+DE=BF+CE=+,
答:点C相对于起点A升高了(+)km.
22.答案:60.2 m,34.6m.
解:如图,当∠BAD=30°时,吊杆端点B离机身AC的水平距离最大;
当∠B′AD=80°时,吊杆端点B′离地面CE的高度最大.
作BF⊥AD于F,B′G⊥CE于G,交AD于F′.
在Rt△BAF中,∵cos∠BAF=,
∴AF=AB?cos∠BAF=40×cos30°≈34.6(m).
在Rt△B′AF′中,sin∠B′AF′=,
∴B′F′=AB’?sin∠B′AF′=40×sin80°≈39.2(m).
∴B′G=B′F′+F′G=60.2(m).
答:吊杆端点B离地面CE的最大高度为60.2 m,离机身AC的最大水平距离为34.6m.
23.答案:(600﹣)米.
解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,
∵AB∥CD,
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,
∴四边形ABFE为矩形.
∴AB=EF,AE=BF.
由题意可知:AE=BF=100米,CD=500米.
在Rt△AEC中,∠C=60°,AE=100米.
∴CE===(米).
在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100米.
∴DF===100(米).
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣=600﹣(米).
答:岛屿两端A、B的距离为(600﹣)米.
24.答案:(1)B;(2)0<sadA<2;(3).
解:(1)根据正对定义,
当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°,
则三角形为等边三角形,
则sad60°==1.
(2)当∠A接近0°时,sadα接近0,
当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadα接近2.
于是sadA的取值范围是0<sadA<2.
(3)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin∠A=.
在AB上取点D,使AD=AC,
作DH⊥AC,H为垂足,令BC=3k,AB=5k,
则AD=AC==4k,
又∵在△ADH中,∠AHD=90°,sin∠A=.
∴DH=ADsin∠A=k,AH==k.
则在△CDH中,CH=AC﹣AH=k,CD==k.
于是在△ACD中,AD=AC=4k,CD=k.
由正对的定义可得:sadA==,即sadα=.