2018年华东师大九年级上第24章《解直角三角形》检测题(含答案解析)

第24章《解直角三角形》检测题
一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（　　）
A. B. C. D.
2．已知，△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA＝（　　）
A. B. C. D. 2
3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 无法判断
4．点（﹣sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A. （，） B. （﹣，） C. （﹣，﹣） D. （﹣，﹣）
5．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（　　）
A. 6sin15°cm B. 6cos15°cm C. 6tan15°cm D. cm
6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（　　）
A. 20海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 30海里
8．如图，∠MON＝90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为（　　）
A. 2.4 B. C. D.
二、填空题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）
9.若a为锐角，且sina＝，则tana为　 ．
10.若α是锐角，且sinα＝1﹣2m，则m的取值范围是　 　．
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝，那么AC＝　 　．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为　 ．
13.将sin37°、cos44°、sin41°、cos46°的值按从小到大的顺序排列是　 　．
14．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝　 　．
15.如图是一把剪刀的局部示意图，刀片内沿在AB、CD上，EF是刀片外沿．AB、CD相交于点N，EF、CD相交于点M，刀片宽MH＝1.5cm．小丽在使用这把剪刀时，∠ANC不超过30°．若想一刀剪断4cm宽的纸带，则刀身AH长至少为　 　cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）
16.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BD的长为　 ．
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）
17. （每小题5分，共10分）计算（1）2cos30°+tan60°﹣2tan45°?tan60°；
（2）．
18．（6分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
19.(8分)在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
20.（8分）如图，AB、CD交与点O，且BD＝BO，CA＝CO，E、F、M分别是OD、OA、BC的中点．求证：ME＝MF．
21．（8分）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα＝，然后又沿着坡度为i＝1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
22.（10分）如图，一台起重机，他的机身高AC为21m，吊杆AB长为40m，吊杆与水平线的夹角∠BAD可从30°升到80°．求这台起重机工作时，吊杆端点B离地面CE的最大高度和离机身AC的最大水平距离（结果精确到0.1m）（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan33°≈5.67）．
23.（10分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A、B的距离（结果保留根号）．
24.（12分）问题情景：学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
自主探究：（1）sad60°的值为（　　）A． B．1 C． D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　 　．
合作交流：（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
参考答案
一选择题
1.B．解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为＝2．
∴cos∠ABC＝＝．
2.C．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，
∴sin2A＝，
∴sinA＝或﹣（舍去），
3.A．解：不变．连接OP，
在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，
那么OP＝AB，
由于木棍的长度不变，
所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．
4.A．解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴（﹣sin60°，cos60°）＝（﹣，），
关于y轴对称点的坐标是（，）．
5.C．解：∵tan15°＝．
∴木桩上升了6tan15°cm．
6.C．解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
7.C．解：如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，
∴∠DAB＝15°，
∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝90°．
又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA+∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBA＝45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，
∴BC＝20海里．
8.C．解：如图，取AB的中点D，连接CD．
∵△ABC是等边三角形，且边长是2，∴BC＝AB＝1，
∵点D是AB边中点，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝＝＝，即CD＝；
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
由（1）得，CD＝，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD＝＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．
二、填空题
9.答案：．解：根据题意，∠a是锐角，且sinα＝，
则cosα＝＝，
则tana＝＝．
故tana为．
10.0＜m＜．解：∵α是锐角，
∴0＜sinα＜1．
∴0＜1﹣2m＜1，
解得0＜m＜．
11.4．解：如图所示，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝，
∴cosA＝＝，
则AC＝AB＝×6＝4，
12.．解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝．
13.sin37°＜sin41°＜cos46°＜cos44°．解：∵cos44°＝sin（90°﹣44°）＝sin46°、cos46°＝sin（90°﹣46°）＝sin44°，
∴根据当角是锐角时，正弦值随角度的增大而增大得出sin37°＜sin41°＜cos46°＜cos44°，
14.75°．解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0
∴tanA＝1，cosB＝
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°．
15.6.6．解：在直角△MNH中，∠MNH＝∠ANC＝30°，
则HN＝＝＝1.5（cm），
则AH＝HN+4＝1.5+4≈6.6（cm）．
16.4cm．解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CDE中，CD＝2DE，
在Rt△ABD中，BD＝2AD，
∴BD＝4DE，
∵DE＝1cm，
∴BD的长为4cm．
三、解答题
17.答案：(1)0；(2) 3+2．
解：（1）原式＝2cos30°+tan60°﹣2tan45°?tan60°＝2×+﹣2×＝0；
（2）原式＝＝＝＝3+2．
18.答案：．
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD?tan∠BAD＝12×＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝．
19.答案：15﹣5．
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC tan60°＝10，
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．
∴BM＝BC?sin30°＝10×＝5，
CM＝BC?cos30°＝10×＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．
20.答案：（见证明）
证明：连接BE、CF，
∵BD＝BO，E为DO中点，
∴BE⊥DO，
同理CF⊥AO，
∴△BEC为直角三角形，且M为BC中点，
∴ME＝BC，同理MF＝BC，
∴ME＝MF．
21.答案：（ +）km．
解：如图所示：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D，
由题意得：AB＝0.65千米，BC＝1千米，
∴sinα＝＝＝，
∴BF＝0.65×＝0.25（km），
∵斜坡BC的坡度为：1：4，
∴CE：BE＝1：4，
设CE＝x，则BE＝4x，
由勾股定理得：x2+（4x）2＝12
解得：x＝，
∴CD＝CE+DE＝BF+CE＝+，
答：点C相对于起点A升高了（+）km．
22.答案：60.2 m，34.6m．
解：如图，当∠BAD＝30°时，吊杆端点B离机身AC的水平距离最大；
当∠B′AD＝80°时，吊杆端点B′离地面CE的高度最大．
作BF⊥AD于F，B′G⊥CE于G，交AD于F′．
在Rt△BAF中，∵cos∠BAF＝，
∴AF＝AB?cos∠BAF＝40×cos30°≈34.6（m）．
在Rt△B′AF′中，sin∠B′AF′＝，
∴B′F′＝AB’?sin∠B′AF′＝40×sin80°≈39.2（m）．
∴B′G＝B′F′+F′G＝60.2（m）．
答：吊杆端点B离地面CE的最大高度为60.2 m，离机身AC的最大水平距离为34.6m．
23.答案：（600﹣）米．
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB＝EF，AE＝BF．
由题意可知：AE＝BF＝100米，CD＝500米．
在Rt△AEC中，∠C＝60°，AE＝100米．
∴CE＝＝＝（米）．
在Rt△BFD中，∠BDF＝45°，BF＝100米．
∴DF＝＝＝100（米）．
∴AB＝EF＝CD+DF﹣CE＝500+100﹣＝600﹣（米）．
答：岛屿两端A、B的距离为（600﹣）米．
24.答案：（1）B；（2）0＜sadA＜2；（3）．
解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．