第一章 数与式
第4讲 二次根式
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1.二次根式的有关概念
★★
了解二次根式的概念
掌握同类二次根式、最简二次根式
掌握二次根式有意义的条件
理解算术平方根、立方根，了解数的开方与平方的关系
掌握二次根式的相关性质，理解二次根式的双重非负性
会进行二次根式的加减乘除乘方等运算
二次根式的概念和运算是历年中考的必考内容，在中考中一般为1-2道题，分值为3-6分，主要以考二次根式有意义的条件，二次根式简单运算及化简，多以选择、填空、简单运算解答题形式出现。由于高中教学要求，近年来在中考综合解答题中，特别是与三角函数、一次函数、二次函数相关加大了二次根式的计算要求。
2.二次根式的有关运算
★★★★
二次根式的定义：形如 的式子叫做二次根式．
公式＝，其中的取值范围为 ．
若，则x叫a的 ，一个正数有 ，它们互为 ，其中正的平方根叫 ；0的平方根是0， 没有平方根，；，则x叫a的 ，正数有 正的立方根，负数有 负的立方根，0的立方根是0.
二次根式的乘除法与积、商的算术平方根．
运算法则： 其中；，其中
最简二次根式：最简二次根式应符合两个条件 一是 二是 ．
同类二次根式：几个二次根式化为 后，如果被开方数相同，这几个根式叫同类二次根式．
二次根式，其中的取值范围是全体实数．
二次根式的 实际上就是合并同类二次根式．
※考向一：二次根式有意义的条件
典例1：（2018·苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】．考查二次根式有意义的条件 【解答】解：由二次根式有意义的条件即被开方数要大于等于0可知，此时则的取值范围为．故答案为
答案：D
※考向二：二次根式的性质
典例2： 求
【分析】． 考查二次根式定义及二次根式双重非负性 以及乘方运算 【解答】解：由题意得，从而得x=2018，y=2017,则
典例3： (2018?桂林)若＋，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】．考查二次根式双重非负性、非负数和为0的性质及二元一次方程组解法 【解答】解：由题意可得解得
故选D
典例4：若，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．x为任意实数
【分析】．考查二次根式双重非负性 【解答】解：由题意，须得，故选A．
※考向三：二次根式性质的运用
典例5：（2018·广州）如图8，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋＝ .
【分析】． 考查利用二次根式的性质在所给条件下进行化简
【解答】解：由于a＋＝a＋＝a＋，由数轴可知0＜a＜2，所以a－2＜0，故原式＝a＋2－a＝2．
答案：2
※考向四：利用二次根式进行估算
典例6：（2017?庆阳）估计与的大小关系： ．(填“”或“”或“”)
【分析】． 实数大小比较一般可用数轴比较法，绝对值比较法，平方比较法，作差或作商比较，倒数比较法等．
【解答】解：因为，所以，则，故应填．
※考向五：二次根式运算
典例7：（2017?北京）：
【分析】．本题考查二次根式运算 【解答】解：．原式＝
★易错点一：忽视二次根式有意义的条件
题1： （2017?齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ――――
【分析】．本题考查二次根式及负指数有意义的条件．
【解答】解：由题意可得：且，故答案为且．
错因透视：易错用二次根式有意义的条件及忽视负指数有意义的条件．
★易错点二：不明确相关概念
题2：（2018·泰州）下列运算正确的是
A.+= B.=2 C.·= D.÷=2
【分析】．考查二次根式的合并及同类二次根式、最简二次根式、有理化因式等相关概念．
【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；==3，故B错误；·==，故C错误；÷===2，D正确.
答案：D，
错因透视：对最简二次根式及同类二次根式等概念不熟悉,因而不先化简而直接从被开方数入手而出错
★易错点三：二次根式计算出错
题3：（2017?张家界）计算
【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数幂和零指数幂，在计算时需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解： 原式＝
＝
＝2
错因透视：本题易将算错成，去绝对值时要虑到绝对值号里面的数的正负，此外在计算时，一定要注意运算顺序．
第一章 数与式
第4讲 二次根式
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1.二次根式的有关概念
★★
了解二次根式的概念
掌握同类二次根式、最简二次根式
掌握二次根式有意义的条件
理解算术平方根、立方根，了解数的开方与平方的关系
掌握二次根式的相关性质，理解二次根式的双重非负性
会进行二次根式的加减乘除乘方等运算
二次根式的概念和运算是历年中考的必考内容，在中考中一般为1-2道题，分值为3-6分，主要以考二次根式有意义的条件，二次根式简单运算及化简，多以选择、填空、简单运算解答题形式出现。由于高中教学要求，近年来在中考综合解答题中，特别是与三角函数、一次函数、二次函数相关加大了二次根式的计算要求。
2.二次根式的有关运算
★★★★
二次根式的定义：形如 的式子叫做二次根式．
公式＝，其中的取值范围为 ．
若，则x叫a的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫算术根；0的平方根是0，负数没有平方根，；，则x叫a的立方根，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
二次根式的乘除法与积、商的算术平方根．
运算法则：其中；，其中
最简二次根式：最简二次根式应符合两个条件 一是被开方数（式）的指数小于根指数，二是被开方数不含分母和小数 ．
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个根式叫同类二次根式．
二次根式，其中的取值范围是全体实数．
二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式．
※考向一：二次根式有意义的条件
典例1：（2018·苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】．考查二次根式有意义的条件 【解答】解：由二次根式有意义的条件即被开方数要大于等于0可知，此时则的取值范围为．故答案为
答案：D
※考向二：二次根式的性质
典例2： 求
【分析】． 考查二次根式定义及二次根式双重非负性 以及乘方运算 【解答】解：由题意得，从而得x=2018，y=2017,则
典例3： (2018?桂林)若＋，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】．考查二次根式双重非负性、非负数和为0的性质及二元一次方程组解法 【解答】解：由题意可得解得
故选D
典例4：若，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．x为任意实数
【分析】．考查二次根式双重非负性 【解答】解：由题意，须得，故选A．
※考向三：二次根式性质的运用
典例5：（2018·广州）如图8，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋＝ .
【分析】． 考查利用二次根式的性质在所给条件下进行化简
【解答】解：由于a＋＝a＋＝a＋，由数轴可知0＜a＜2，所以a－2＜0，故原式＝a＋2－a＝2．
答案：2
※考向四：利用二次根式进行估算
典例6：（2017?庆阳）估计与的大小关系： ．(填“”或“”或“”)
【分析】． 实数大小比较一般可用数轴比较法，绝对值比较法，平方比较法，作差或作商比较，倒数比较法等．
【解答】解：因为，所以，则，故应填．
※考向五：二次根式运算
典例7：（2017?北京）：
【分析】．本题考查二次根式运算 【解答】解：．原式＝
★易错点一：忽视二次根式有意义的条件
题1： （2017?齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ――――
【分析】．本题考查二次根式及负指数有意义的条件．
【解答】解：由题意可得：且，故答案为且．
错因透视：易错用二次根式有意义的条件及忽视负指数有意义的条件．
★易错点二：不明确相关概念
题2：（2018·泰州）下列运算正确的是
A.+= B.=2 C.·= D.÷=2
【分析】．考查二次根式的合并及同类二次根式、最简二次根式、有理化因式等相关概念．
【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；==3，故B错误；·==，故C错误；÷===2，D正确.
答案：D，
错因透视：对最简二次根式及同类二次根式等概念不熟悉,因而不先化简而直接从被开方数入手而出错
★易错点三：二次根式计算出错
题3：（2017?张家界）计算
【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数幂和零指数幂，在计算时需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解： 原式＝
＝
＝2
错因透视：本题易将算错成，去绝对值时要虑到绝对值号里面的数的正负，此外在计算时，一定要注意运算顺序．
第4讲《二次根式》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018?·曲靖）下列二次根式中能与合并的是（）
A． B． C． D．
2．. (2018?··宁夏) 计算： 的结果是
A．1 B． C．0 D．－1
3．(2018·荆门)在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤1
4．（2018?重庆）估计的值应在
A．1和2之间 B．2和3之间 C． 3和4之间 D．4和5之间
5．（2017?聊城） 计算的结果为 （ ）
A．5 B． C． D．
6．在实数范围内，下列说法正确的是( ).
A.若|x|=|y|，则x=y B.若x>y，则x2>y2
C.若|x|=，则y=x D.，则x=y
7．（2018?十堰） 如图，是按一定规律排成的三角形数阵 ，按图中的数阵排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
1
2
2 3
………………………………
A．2 B． C．5 D．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·仙桃）计算： ．
9．（2017?常德）计算：= .．
10．（2018?滨州）观察下列各式：
＝1＋，
＝1＋，
＝1＋，
… …
请利用你所发现的规律．
计算＋＋＋……＋，其结果为_________．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．(2018?安徽)计算：5°－(－2)＋
12．（2017?达州）计算：．
．
13．已知，求的值
．
14．(1)已知:,求的值.
(2) 已知 是的算术平方根，是的立方根，求的立方根.
(3)设a,b,c都是实数且满足，，求的值
15．（2018·泰安）先化简，再求值：
÷(－m－1)，其中m＝－2．
16．（2018·盐城）先化简，再求值：（1－）÷，其中x＝＋1．
第4讲《二次根式》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018?·曲靖）下列二次根式中能与合并的是（）
A． B． C． D．
【分析】． 考查二次根式化简及最简二次根式及最简二次根式等概念 【解答】解：,它不是的同类二次根式,故不能合并,A错误;；＝，因此可以与合并.故B正确;,它不是的同类二次根式,故不能合并,C错误;它不是的同类二次根式,故不能合并,D错误
故选 B
2．. (2018?··宁夏) 计算： 的结果是
A．1 B． C．0 D．－1
【分析】．本题实数的运算、绝对值的意义，根式的化简运算．
【解答】解：原式＝＝
故选 C．
3．(2018·荆门)在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤1
【分析】 考查二次根式及分式有意义的条件．
【解答】解：由题意得解得x＞1．
故选B．
4．（2018?重庆）估计的值应在
A．1和2之间 B．2和3之间 C． 3和4之间 D．4和5之间
【分析】 考查算术平方根、数感、估算及不等式基本性质．
【解答】解：，而在4到5之间，所以在2到3之间
故答案:B
5．（2017?聊城） 计算的结果为 （ ）
A．5 B． C． D．
【分析】 考查二次根式化简及运算 ．
【解答】解：原式＝
把除法转化为乘法后，再用乘方分配律运算更为简便．
故选 A
6．在实数范围内，下列说法正确的是( ).
A.若|x|=|y|，则x=y B.若x>y，则x2>y2
C.若|x|=，则y=x D.，则x=y
【分析】考查开方与乘方运算及区别及二次根式,立方根等性质
【解答】解：由二次根式性质可知A,B,C错误
故选D
7．（2018?十堰） 如图，是按一定规律排成的三角形数阵 ，按图中的数阵排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
1
2
2 3
………………………………
A．2 B． C．5 D．
【分析】考查探寻数列规律及二次根式运算
【解答】解:由图形可知，第n行最后一个数为＝，∴第8行最后一个数为＝＝6，则第9行从左至右第5个数是＝，
故选B．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·仙桃）计算： ．
【分析】 考查二次根式运算及算术平方根的求法．
【解答】解：原式＝
故答案为 0．
9．（2017?常德）计算：= .．
【分析】 考查绝对值及立方根求法
【解答】解：原式＝2－2＝0
故答案为 0．
10．（2018?滨州）观察下列各式：
＝1＋，
＝1＋，
＝1＋，
… …
请利用你所发现的规律．
计算＋＋＋……＋，其结果为_________．
【分析】 考查二次根式有意义的条件．
【解答】解：＋＋＋……＋
＝1＋＋1＋＋1＋＋……＋1＋
＝1×9＋1－＋－＋－＋……＋－
＝9＋1－
故答案为：9
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．(2018?安徽)计算：5°－(－2)＋
【分析】考查零指数、相反数和二次根式的乘法等相关计算，再进行有理数的加减．
【解答】解：原式＝5°－(－2)＋＝1＋2＋4＝7．
12．（2017?达州）计算：．
【分析】．考查二次根式运算、绝对值、负指数幂及特殊锐角三角函数值
【解答】解：原式＝．
13．已知，求的值
【分析】．考查二次根式运算、0指数幂及绝对值
【解答】解：∵
∴
解得
∴=2019
．
14．(1)已知:,求的值.
(2) 已知 是的算术平方根，是的立方根，求的立方根.
(3)设a,b,c都是实数且满足，，求的值
【分析】考查二次根式双重非负性质运用
【解答】解：(1)由题意得x=2,y=8,所以
(2)由题意得m-1=2,2m-2n+3=3，所以得m=3,n=3,则M=,∴=2, ∴的立方根等于
(3)由题意可得，∴，∵，∴，∴，∴
15．（2018·泰安）先化简，再求值：
÷(－m－1)，其中m＝－2．
【分析】考查分式化简与二次根式运算
【解答】解：原式＝÷＝÷
＝×＝．
当m＝－2时，原式＝＝＝2－1．
16．（2018·盐城）先化简，再求值：（1－）÷，其中x＝＋1．
【分析】．考查二次根式运算及分式化简求值
【解答】解：原式＝（1－）÷＝×＝×＝x－1，
当x＝＋1时，原式＝＋1－1＝
