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圆周角
【经典例题】
知识点一 圆心角与弧的度数之间的转化
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E。求、的度数。
【分析】连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数。
【解答】解：连接CD
∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°
∴∠A＝90°－36°＝54°
∵AC＝DC
∴∠ADC＝∠A＝54°
∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°
∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°
∵∠ACD、∠BCD分别是、所对的圆心角
∴的度数为72°，的度数为18°
知识点二 圆周角与圆心角之间的换算
【例2】如图，在⊙O中，AB为直径，C，D是⊙O上的两点，CD∥AB，若∠COD＝40°，则∠A的度数为__________
【分析】由OC＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，以及同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出所求即可．
【解答】解：∵OC＝OD，∠COD＝40°
∴∠CDO＝70°
∵AB∥CD
∴∠BOD＝∠CDO＝70°
∵∠BOD与∠A都对 ∴∠A＝∠BOD＝35°
知识点三 利用圆周角定理及推论进行计算
【例3】如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOB＝110°，则∠ACB等于（ ）
A．55° B．110° C．125° D．140°
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．利用圆内接四边形的性质即可。
【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．
∵∠ADB＝∠AOB＝55°
∵∠ACB＋∠ADB＝180°
∴∠ACB＝125°
故选：C．
知识点四 利用圆周角定理及推论进行证明
【例4】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF。求证：AE是⊙O的直径。
【分析】由BE＝CF，则可证得∠BAE＝∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；
【解答】证明：∵BE＝CF
∴＝
∴∠BAE＝∠CAF
∵AF⊥BC
∴ADC＝90°
∴∠FAD＋∠ACD＝90°
∵∠E＝∠ACB
∴∠E＋∠BAE＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
知识点五 圆外角、圆周角、圆内角之间的转化
【例5】如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，若所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°，求∠P的度数。
【分析】根据圆周角定理求出∠ADC和∠BAD度数，根据三角形外角性质求出∠P即可．
【解答】解：连结AD，
∵所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°
∴∠BAD＝10°，∠ADC＝50°
∵∠ADC为三角形ADP的外角
∴∠P＝50°－10°＝40°．
知识点六 圆心角、圆周角性质定理的综合运用
【例6】如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE．
（1）求证：EC平分∠BED．
（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE．
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，得到∠AEB=90°，求得∠DEB＝90°．推出∠BEC＝∠DEC，于是得到结论；
（2）连结BC根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CDE．根据圆周角定理得到∠AOE＝∠COE，于是得到AE＝CE．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径
∴∠AEB＝90°
∴∠DEB＝90°
∵OC⊥AB
∴∠AOC＝∠BOC＝90°
∴∠BEC＝45°
∴∠DEC＝45°
∴∠BEC＝∠DEC
即EC平分∠BEC；
（2）连结BC，OE
∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC
在△BEC与△DEC中
∴△BEC≌△DEC
∴∠CBE＝∠CDE
∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE
∴∠ABE＝∠CBE
∴∠AOE＝∠COE
∴AE＝CE．
【知识巩固】
1. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为( )
A．84° B．60° C．36° D．24°
2. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．80° C．110° D．140°
3. 如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝40°，则∠BOC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4. 如图，在⊙O中，已知OA⊥BC，∠AOB＝58°，则∠ADC的度数为（ ）
A．29° B．58° C．87° D．32°
5. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么BC的长是（ ）
A. B. C. 1 D.
【培优特训】
6. 如图，已知在⊙O中，半径OA＝，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝________度
7. 如图，AB、BC是⊙O的弦，OM∥BC交AB于M，若∠AOC＝100°，则∠AMO＝________°
8. 如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，则∠ABC＝________度．
9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径。
10. 如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求证：△ACM≌△BCP；
（2）若PA＝1，PB＝2，求△PCM的面积
【中考链接】
11. （2018 广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是______
12. （2018 威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A. B. 5 C. D.
13.（2018 白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
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圆周角
【经典例题】
知识点一 圆心角与弧的度数之间的转化
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E。求、的度数。
【分析】连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数。
【解答】解：连接CD
∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°
∴∠A＝90°－36°＝54°
∵AC＝DC
∴∠ADC＝∠A＝54°
∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°
∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°
∵∠ACD、∠BCD分别是、所对的圆心角
∴的度数为72°，的度数为18°
知识点二 圆周角与圆心角之间的换算
【例2】如图，在⊙O中，AB为直径，C，D是⊙O上的两点，CD∥AB，若∠COD＝40°，则∠A的度数为__________
【分析】由OC＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，以及同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出所求即可．
【解答】解：∵OC＝OD，∠COD＝40°
∴∠CDO＝70°
∵AB∥CD
∴∠BOD＝∠CDO＝70°
∵∠BOD与∠A都对 ∴∠A＝∠BOD＝35°
知识点三 利用圆周角定理及推论进行计算
【例3】如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOB＝110°，则∠ACB等于（ ）
A．55° B．110° C．125° D．140°
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．利用圆内接四边形的性质即可。
【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．
∵∠ADB＝∠AOB＝55°
∵∠ACB＋∠ADB＝180°
∴∠ACB＝125°
故选：C．
知识点四 利用圆周角定理及推论进行证明
【例4】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF。求证：AE是⊙O的直径。
【分析】由BE＝CF，则可证得∠BAE＝∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；
【解答】证明：∵BE＝CF
∴＝
∴∠BAE＝∠CAF
∵AF⊥BC
∴ADC＝90°
∴∠FAD＋∠ACD＝90°
∵∠E＝∠ACB
∴∠E＋∠BAE＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
知识点五 圆外角、圆周角、圆内角之间的转化
【例5】如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，若所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°，求∠P的度数。
【分析】根据圆周角定理求出∠ADC和∠BAD度数，根据三角形外角性质求出∠P即可．
【解答】解：连结AD，
∵所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°
∴∠BAD＝10°，∠ADC＝50°
∵∠ADC为三角形ADP的外角
∴∠P＝50°－10°＝40°．
知识点六 圆心角、圆周角性质定理的综合运用
【例6】如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE．
（1）求证：EC平分∠BED．
（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE．
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，得到∠AEB=90°，求得∠DEB＝90°．推出∠BEC＝∠DEC，于是得到结论；
（2）连结BC根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CDE．根据圆周角定理得到∠AOE＝∠COE，于是得到AE＝CE．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径
∴∠AEB＝90°
∴∠DEB＝90°
∵OC⊥AB
∴∠AOC＝∠BOC＝90°
∴∠BEC＝45°
∴∠DEC＝45°
∴∠BEC＝∠DEC
即EC平分∠BEC；
（2）连结BC，OE
∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC
在△BEC与△DEC中
∴△BEC≌△DEC
∴∠CBE＝∠CDE
∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE
∴∠ABE＝∠CBE
∴∠AOE＝∠COE
∴AE＝CE．
【知识巩固】
1. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为( )
A．84° B．60° C．36° D．24°
【解答】解：∵∠B与∠C所对的弧都是
∴∠C＝∠B＝24°
故选：D
2. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．80° C．110° D．140°
【解答】解：作所对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P＝∠AOC＝×140°＝70°
∵∠P＋∠B＝180°
∴∠B＝180°70°＝110°
故选：C
3. 如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝40°，则∠BOC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，∠A＝40°
∴∠B＝∠A＝40°
∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝100°
∵点C是的中点，OC过O
∴＝
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝50°
故选：C．
4. 如图，在⊙O中，已知OA⊥BC，∠AOB＝58°，则∠ADC的度数为（ ）
A．29° B．58° C．87° D．32°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴＝
∴∠ADC＝∠AOB＝29°
故选：A
5. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么BC的长是（ ）
A. B. C. 1 D.
【解答】解：∵∠BAC＝60°
∴∠BOC＝120°
∵OD⊥弦BC
∴∠BOD＝90°
∵∠BOD＝∠A＝60°
∴OD＝OB＝1
∴
∴BC＝2BD＝
故选：A
【培优特训】
6. 如图，已知在⊙O中，半径OA＝，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝________度
【解答】解：∵OA＝ ，OB＝，AB＝2
∴，OA＝OB
∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°
∴∠OBA＝45°
∵∠BAD＝18°
∴∠BOD＝36°
∴∠ACO＝∠OBA＋∠BOD＝45°＋36°＝81°
故答案为：81
7. 如图，AB、BC是⊙O的弦，OM∥BC交AB于M，若∠AOC＝100°，则∠AMO＝________°
【解答】解：∵∠AOC＝2∠B，∠AOC＝100°，
∴∠B＝50°，
∵OM∥BC，
∴∠AMO＝∠B＝50°，
故答案为：50
8. 如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，则∠ABC＝________度．
【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分
∴OA＝AB
∵OA＝OC
∴△OAB是等边三角形
∴∠AOB＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠ABC＝120°
故答案为120
9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径。
【解答】解：（1）∵∠C＝45°
∴∠A＝∠C＝45°
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠ABD＝45°；
（2）连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3
∴AB＝6
∴⊙O的半径为3
10. 如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求证：△ACM≌△BCP；
（2）若PA＝1，PB＝2，求△PCM的面积
【解答】证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°
∴∠BAC＝∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形
∴BC＝AC，∠ACB＝60°
∵CM∥BP
∴∠PCM＝∠BPC＝60°
又∵∠APC＝60°
∴△PCM是等边三角形
∴PC＝MC，∠M＝60°
∵∠BCA－∠PCA＝∠PCM－∠PCA
∴∠PCB＝∠ACM
在△ACM和△BCP中
∴△ACM≌△BCP≌△ACM（AAS）
（2）∵△ACM≌△BCP
∴AM＝PB＝2
∴PM＝PA＋AM＝1＋2＝3
∵△PCM是等边三角形
∴△PCM的面积＝＝
【中考链接】
11. （2018 广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是______
【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．
故答案为50°．
12. （2018 威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A. B. 5 C. D.
【解答】解：连接OC、OA
∵∠ABC＝30°
∴∠AOC＝60°
∵AB为弦，点C为的中点
∴OC⊥AB
在Rt△OAE中，AE＝
∴AB＝
故选：D
13.（2018 白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：连接DC
∵C（，0），D（0，1）
∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝
∴∠DCO＝30°
∴∠OBD＝30°
故选：B．
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