2.1.1 一元二次方程的定义和一般形式同步作业

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2.1.1 一元二次方程的定义和一般形式同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（本大题共8小题）
方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A．1，2，－15 B．1，－2，－15 C．－1，－2，－15 D．－1，2，－15
下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A． B．
C. D．
若关于x的方程(a＋1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． a≠－1 B． a＞－1 C． a＜－1 D． a≠0
若，代数式的值是( )
A． B． C． -3 D． 3
关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0有一个根为0，则m的值应为（　　）
A． 2 B． ﹣2 C． 2或﹣2 D． 1
下列方程中，一元二次方程共有（　　）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③ +3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④+x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
把方程x2-3=-3x转化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．0，-3，-3 B．1，-3，-3 C．1，3，-3 D．1，-3，3
二、填空题（本大题共5小题）
已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_______________．
方程x（2x-1）=5（x+3）的一次项系数是-6，二次项系数是 2，常数项是 ．
当m______时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m______时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
方程（3x+1）=x2+2 化为一般形式为____________________________
若一元二次方程（a≠0）有一个根为1，则_________；若有一个根是-1，则b与、c之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.
三、解答题（本大题共7小题）
试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.
x=-1是关于x的方程6x2-（m-1）x-9=0的一个解，求m的值
若（m+1）+6-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
（1）若关于x的方程x2-x-1=mx2（2x-m+1）是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）已知关于x的一元二次方程为2xm-4xn+（m+n）=0，试直接写出满足要求的所有m、n的值．
已知关于x的方程2mx2-mx-x2+m+2=0
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
（2）它的二次项系数为5
（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
有这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
(1)下面式子中是方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)
①x2－x－2＝0，②－ x2＋x＋2＝0，③x2－2x＝4，④－x2＋2x＋4＝0，⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？
答案解析
一 、选择题
A
【解析】试题分析：去括号可得： ，化简可得： ，即a=1，b=2，c=-15，故本题选A．
A
【解析】试题解析：A．是一元二次方程.正确.
B.含有分式，不符合题意,故错误.
C. 含有分式，不符合题意,故错误.
D. 含有分式，不符合题意,故错误.
故选A．
点睛：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程.
A
【解析】根据一元二次方程的定义可得a+1≠0，即a≠－1，故选A．
B
【解析】先解一元二次方程变为aa=3代入代数式求值即可.
解：∵aa-3=0，∴aa=3，
原式=.
故选B.
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0有一个根为0，
∴m2﹣4=0且m﹣2≠0，
解得，m=﹣2．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．解题时，注意一元二次方程的二次项系数一定不能等于零．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：一元二次方程有②③⑥，共3个，
故选B．
【分析】要确定二次项系数、一次项系数、常数项，首先要把方程化成一般形式．
解：由方程x2-3=-3x，得
x2+3x-3=0，
∴该方程的二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是-3．
故选C．
二 、填空题
-1
【解析】∵方程(m 1)x|m|+1 3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m 1≠0，
解得：m= 1.
故答案为： 1.
【分析】首先将方程x（2x-1）=5（x+3）化为一般形式：2x2-6x-15=0，然后根据此一般形式，即可求得答案．
解：∵x（2x-1）=5（x+3），
∴2x2-x=5x+15，
∴2x2-x-5x-15=0，
∴2x2-6x-15=0．
∴方程x（2x-1）=5（x+3）化成一般形式是2x2-6x-15=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-15．
故答案为：-6，2，-15．
=1 ≠1
【解析】试题解析：当时，方程是关于的一元一次方程；当时，上述方程才是关于的一元二次方程.
故答案为：
点睛：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0），特别要注意 a≠0 的条 件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其 中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解；（3x+1）=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1﹣x2﹣2=0，
5x2﹣x﹣3=0， 故答案为：5x2﹣x﹣3=0，
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般式与多项式乘法，去括号的过程中要注意符号的变化， 不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
0; ; 0.
【解析】由一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)有一个根为1，
将x=1代入方程得：a+b+c=0；
由方程有一根为 1，将x= 1代入方程得：a b+c=0，即b=a+c；
由方程有一根为0，将x=0代入方程得：c=0，
故答案为：0；b=a+c；0
点睛：本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
三 、解答题
见解析
【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
试题解析：∵kk+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(kk＋12)x2＝3－(k)x必是一元二次方程．
【分析】把方程的解x=-1代入方程，可以求出字母系数m的值．
解：∵x=-1是关于x的方程6x2-（m-1）x-9=0的一个解，
∴6×（-1）2-（m-1）×（-1）-9=0
解得：m=4．
m=1
【解析】【试题分析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为0，即，解得m=1．
【试题解析】
因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．
所以得到，
解得m=1．
【方法点睛】本题目考查一元二次方程的基本定义，要求未知数的最高次项为2次项，且二次项的系数不为0，这两点是解决问题的关键.
【分析】（1）把方程化简成一般形式得到：2mx3-（m2-m+1）x2+x-1=0，这个式子是一元二次方程，则2m=0即m=0，所以方程就变成：x2+x-1=0就可以确定它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）解决时要注意对2xm-4xn分别是几次项进行讨论．
解：（1）方程化简得：2mx3-（m2-m+1）x2+x-1=0，
又∵这个式子是一元二次方程，
∴2m=0即m=0，∴方程是：x2-x-1=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-1．
（2）这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2．
∴或或或或
（1）m=；（2）m≠;二次项系数2m-1、一次项系数是-m；常数项是m+2.
【解析】试题分析：（1）把原方程化为一般形式，根据一元一次方程的概念解答；
（2）根据一元二次方程的一般形式解答即可．
（1）原方程变形为：（2m-1）x2-mx+m+2=0，
点睛：熟练掌握一元二次方程的一般形式, 一元一次方程的定义是解答本题的关键.
这个方程是5xx－=0（答案不唯一）
【解析】试题分析：本题主要考查一元二次方程的定义，由（2）（3）可确定 的值，任意给出 的值即可得到所求方程.
试题解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5xx－=0.
(1) ①②④⑤;(2)见解析
【解析】试题分析：（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2 即可变形得到正确选项；
（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
试题解析：（1）x2－x＝2，移项得： x2－x-2=0，所以①是一般形式，①两边同乘-1，得：－x2＋x＋2＝0，故②是一般形式，③不是一般形式，①两边同乘-2得：－x2＋2x＋4＝0，故④是一般形式，①两边同乘2得： xx－4＝0，故⑤是一般形式，
故答案为：①②④⑤；
（2） 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4).
【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
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