2.1.2 一元二次方程的解和近似解同步作业

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2.1.2 一元二次方程的解和近似解同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（本大题共8小题）
若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（　　）
A．﹣2 B．4﹣2 C．3﹣ D．1+
根据下列表格对应值，判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的取值范围为（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c ﹣0.59 0.84 2.29 3.76
A．﹣0.59＜x＜0.84 B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0，则m的值为（　　）
A． m=2 B． m=﹣2 C． m=﹣2或2 D． m≠0
根据下表可知，方程x2+3x﹣5=0的一个近似解x为（　　）
x 　1 　1.1 　1.2 　1.3 　1.4
　x2+3x﹣5 ﹣1 ﹣0.49 　0.04 　0.59 　1.16
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
下列说法正确的是（ ）
A．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
B．方程3x2=4的常数项是4
C．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（　　）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
二、填空题（本大题共6小题）
已知x与x2+12x﹣15的部分对应值如下表所示，则方程x2+12x﹣15=0的一个根x的取值范围是　 　．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76
观察表格，一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣3=0最精确的一个近似解是　 　（精确到0.1）．
x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
k ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
由表的对应值知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的一个根的百分位上的数字是　 　．
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为　 　．
为估算方程x2﹣2x﹣8=0的解，填写如表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
x2﹣2x﹣8 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
由此可判断方程x2﹣2x﹣8=0的解为　 　．
若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a2﹣2013a+1=　　　　　　．
三 、解答题（本大题共7小题）
用估算的方法确定一元二次方程x2﹣5x+3=0的近似解．（精确到0.1）
先化简，再求值：（+1）÷，其中x是方程x2+3x=0的根．
观察下表，确定一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的一个近似根．
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
x2﹣2x﹣2 ﹣1.79 ﹣1.56 ﹣1.31 ﹣1.04 ﹣0.75 ﹣0.44 ﹣0.11 0.24
（1）若关于x的方程x2-x-1=mx2（2x-m+1）是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）已知关于x的一元二次方程为2xm-4xn+（m+n）=0，试直接写出满足要求的所有m、n的值．
已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．
先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．
答案解析
一 、选择题
【分析】把x=1﹣代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+c=0的一个根是1﹣，
∴（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，
解得，c=﹣2．
故选：A．
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得出答案．
解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
则ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x=0代入一元二次方程即可得出m的值．
解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，
得m2﹣4=0，
解得：m=±2，
∵m﹣2≠0，
∴m=﹣2，
故选B．
点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
【分析】利用表值数据得到方程的解的范围为1.1＜x＜1.2，由于x的值更靠近1.2，从而可判断B选项正确．
解：当x=1.1时，x2+3x﹣5=﹣0.49，
当x=1.2时，x2+3x﹣5=0.04，
所以方程的解的范围为1.1＜x＜1.2，并且x的值更靠近1.2．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的定义、一元二次方程的解进行解答．
解：A．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，例如ax2+bx=x（ax+b）=0（a≠0）的一个根是0；故本选项正确；
B、由方程3x2=4得，3x2-4=0，则该方程的常数项是-4；故本选项错误；
C、当a=0时，方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程；故本选项错误；
D、当一次项系数为0时，关于x的一元二次方程为ax2+c=0（a≠0），它不一定总有非零解．例如，当该方程的常数项c=0时，它的根是0；故本选项错误；
故选A．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．
解：把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，
解得m=0．
故选B．
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二 、填空题
【分析】根据表格可得出方程x2+12x﹣15=0的一个根x的取值范围即可．
解：∵当x=1.1时，y=﹣0.59，
当x=1.2时，y=0.84，
当x=1.3时，y=2.29，
当x=1.4时，y=3.76，
∴当y=0时，x的值在1.1和1.2之间，
故答案为1.1＜x＜1.2．
【分析】根据表格中的数据和题意可以解答本题．
解：由表格可知，
当x=1.7时，y=0.09与y=0最接近，
故答案为：1.7．
【分析】根据表格中的数据可以知道x的值处于3.24和3.25之间，从而可以解答本题．
解：由表格可得，
一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的一个根的百分位上的数字是4，
故答案为：4．
【分析】由x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，可得1+a+b=0，推出a+b=﹣1，可得a2+2ab+b2=（a+b）2=1．
解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴1+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2=1．
故答案为1．
【分析】分别计算当x=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4时代数式入x2﹣2x﹣8的值，若x的值使代数式的值为0，则可判定此x的值为方程x2﹣2x﹣8=0的解．
解：当x=﹣2时，x2﹣2x﹣8=（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣8=0，
当x=﹣1时，x2﹣2x﹣8=（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣8=﹣5，
当x=0时，x2﹣2x﹣8=02﹣2×0﹣8=﹣8，
当x=1时，x2﹣2x﹣8=12﹣2×1﹣8=﹣9，
当x=2时，x2﹣2x﹣8=22﹣2×2﹣8=﹣8，
当x=3时，x2﹣2x﹣8=32﹣2×3﹣8=﹣5，
当x=4时，x2﹣2x﹣8=42﹣2×4﹣8=0，
所以方程x2﹣2x﹣8=0的解为x1=﹣2，x2=4．
故答案为0，﹣5，﹣8，﹣9，﹣8，﹣5，0；x1=﹣2，x2=4．
【分析】把x=a代入程x2﹣2x﹣2015=0得到a2﹣2a=2015，a2=2015+2a，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．
解：∵a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，
∴a2﹣2a﹣2015=0，
∴a2﹣2a=2015，a2=2015+2a，
∴a3﹣3a2﹣2013a+1，
=a（a2﹣2013）﹣3a2+1，
=a（2a+2015﹣2013）﹣3a2+1，
=2a2+2a﹣3a2+1，
=﹣（a2﹣2a）+1，
=﹣2015+1，
=﹣2014．
故答案是：﹣2014．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据题意将所求的代数式变形是解题的难点．
三、解答题
【分析】先观察再确定方法解方程，此题可以采用公式法或配方法，当二次项系数为1时可以采用配方法．公式法应用时要将方程化为一般形式．
解：x2﹣5x+3=0，
a=1，b=﹣5，c=3，
△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×3=13
x1=，x2=，
x≈≈4.3，x≈≈0.7．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2+3x=0可以求得x的值，注意代入的x的值必须使得原分式有意义．
解：（+1）÷
=
=
=x+1，
由x2+3x=0可得，x=0或x=﹣3，
当x=0时，原来的分式无意义，
∴当x=﹣3时，原式=﹣3+1=﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
【分析】根据二次函数的增减性，可得答案．
解：y=x2﹣2x﹣2
由二次函数的增减性，得
x=2.7时，y=﹣0.11，x=2.8时，y=0.24，
x2﹣2x﹣2=0时，x≈2.73．
【分析】（1）把方程化简成一般形式得到：2mx3-（m2-m+1）x2+x-1=0，这个式子是一元二次方程，则2m=0即m=0，所以方程就变成：x2+x-1=0就可以确定它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）解决时要注意对2xm-4xn分别是几次项进行讨论．
解：（1）方程化简得：2mx3-（m2-m+1）x2+x-1=0，
又∵这个式子是一元二次方程，
∴2m=0即m=0，∴方程是：x2-x-1=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-1．
（2）这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2．
∴或或或或
【分析】 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．
解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
则原式===3．
点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．
解：原式=[+]÷
=（+）
=
=，
∵a是方程x2+3x+1=0的根，
∴a2+3a=﹣1，
则原式=﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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