2.2.2 用配方法解一元二次方程同步作业

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2.2.2用配方法解一元二次方程同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
1 、选择题（本大题共8小题 ）
若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（　　）
A．22 B．28 C．34 D．40
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　）
A．（x+）2= B．（x+）2=
C．（x﹣）2= D．（x﹣）2=
配方法解方程2 x 2＝0变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　）
A．（x﹣2）2=3 B．2（x﹣2）2=3 C．2（x﹣1）2=1 D．
用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为(　　)
A． (x－3)2＝ B． 3(x－1)2＝
C. (x－1)2＝ D． (3x－1)2＝1
将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（　　）
A．（x+3）2+6 B．（x﹣3）2+6 C．（x+3）2﹣12 D．（x﹣3）2﹣12
若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
EMBED Equation.DSMT4 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
1 、填空题（本大题共7小题 ）
用配方法解方程，则配方后的方程是 .
将变形为，则m+n= .
用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣　　）2=　　．
将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m=　　　　　　．
若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是　　．
若a为实数，则代数式的最小值为　　．
已知实数满足，则代数式的值为________．
1 、解答题（本大题共6小题 ）
用配方法解方程：
用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
已知a、b是等腰△ABC的边且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求等腰△ABC的周长．
已知实数a，b满足，求的值.
一元二次方程指：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的等式，求一元二次方程x2-4x-5=0解的方法如下：第一步：先将等式左边关于x的项进行配方，（x-2）2-4-5=0，第二步：配出的平方式保留在等式左边，其余部分移到等式右边，（x-2）2=9；第三步：根据平方的逆运算，求出x-2=3或-3；第四步：求出x．
类比上述求一元二次方程根的方法，（1）解一元二次方程：9x2+6x-8=0；（2）求代数式9x2+y2+6x-4y+7的最小值．
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
答案解析
1 、选择题
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可．
解：4x2+12x﹣1147=0，
移项得：4x2+12x=1147，
4x2+12x+9=1147+9，
即（2x+3）2=1156，
2x+3=34，2x+3=﹣34，
解得：x=，x=﹣，
∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a=，b=﹣，
∴3a+b=3×+（﹣）=28，
故选B．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+x=﹣，
x2+x+（）2=﹣+（）2，
（x+）2=，
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】根据配方法的步骤，把方程配方即可．
解：移项得：，二次项系数化为1得：，配方得：， 故选：D．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】利用配方法得到（x﹣1）2=，然后对各选项进行判断．
解：x2﹣2x=﹣，
x2﹣2x+1=﹣+1，
所以（x﹣1）2=．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
C
【解析】∵3x2－6x＋1＝0，
∴3x2－6x＝-1，
∴x2－2x＝ ，
∴x2－2x+1＝+1 ，
∴(x-1)2=.
故选C.
点睛：本题考查了配方法解一元二次方程，其步骤是：①转化：将方程化为ax2+bx+c=0的形式；②移项：将常数项移到等号的右边，即ax2+bx=-c；③系数化1：将二次项系数化为1，即化为的形式；④配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，即；⑤整理：把左边写成完全平方式， ；⑥开方：两边开平方求出未知数的值.
【考点】配方法的应用．
【分析】利用配方法的一般步骤把原式变形即可．
解：x2+6x﹣3
=x2+6x+9﹣12
=（x+3）2﹣12，
故选：C．
【点评】本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
【考点】配方法的应用
【分析】利用求差法判定两式的大小，将M与N代入M-N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
解：M-N=（2-12x+15）-（-8x+11），=-4x+4，=．∵≥0，∴M≥N．故选：A．
B
【解析】略
1 、填空题
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，即可求得结果。
解：方程变形得：配方，得：即：故答案为：
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程变为的形式。
解： 则m＝3，n=15则m+n=3+15=18故答案为：18
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断．
解：方程整理得：x2﹣2x=﹣，
配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
故答案为：1；
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【考点】配方法的应用．
【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．
解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，
则m=3，
故答案为：3
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】由a+b2=1，得出b2=1﹣a，代入得到a2+b2=a2+1﹣a，利用配方法即可求解．
解：∵a+b2=1，
∴b2=1﹣a，
∴a2+b2=a2+1﹣a=（a﹣）2+≥，
∴当a=时，a2+b2有最小值．
故答案为．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，将b2=1﹣a代入得到a2+b2=a2+1﹣a是解题的关键．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；二次根式的性质与化简．
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
解：∵ ==≥3，
∴代数式的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数的性质的应用，配方求代数式最值的方法．
2
【解析】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0,
∴ ,
∴2x+ =1+1=2.
1 、解答题
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解。
解：由原方程，得，配方，得即，开方得解得：，
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，
∴a≠0．
∴由原方程，得
x2+x=﹣，
等式的两边都加上，得
x2+x+=﹣+，
配方，得
（x+）2=﹣，
当b2﹣4ac＞0时，
开方，得：x+=±，
解得x1=，x2=，
当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
【分析】已知等式配方后，利用两非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，即可求出三角形的周长．
解：a2+b2-8a-4b+20=a2-8a+16+b2-4b+4=（a-4）2+（b-2）2=0，
∴a-4=0，b-2=0，即a=4，b=2，
则等腰三角形的三边长为4，4，2，即周长为4+4+2=10．
【考点】配方法的应用
【分析】方程左边前两项利用完全平方公式变形，求出方程的解即可确定出所求式子的值。
解：方程变形得： 分解因式得：则=3或-1
【分析】（1）方程两边都除以9变形后，常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方后转化为两个一元一次方程来求解；
（2）多项式常数项7分为3+4，重新结合后，利用完全平方公式变形，根据完全平方式大于等于0，即可求出多项式的最小值．
解：（1）9x2+6x-8=0，
变形得：x2+x=，
配方得：x2+x+=1，即（x+）2=1，
开方得：x+=±1，
解得：x1=，x2=-；
（2）9x2+y2+6x-4y+7=9（x2+x+）+（y2-4y+4）+2=9（x+）2+（y-2）2+2，
当x=-，y=2时，原式取最小值2．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．
解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
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