2.3 用公式法解一元二次方程同步作业

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2.3用公式法解一元二次方程同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共8小题）
用公式法解方程x2-2=-3x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，-2，-3 B．1，3，-2 C．1，-3，-2 D．1，-2，-3
用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（　　）
A．52 B．32 C．20 D．-12
方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（　　）
A．a=-1，b=3，c=-1 B．a=-1，b=3，c=1
C．a=-1，b=-3，c=-1 D．a=1，b=-3，c=-1
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是（　　）
A．1 B．2 C D．4
方程（x-1）（x-2）=1的根是（　　）
A．x1=1，x2=2 B．x1=-1，x2=-2 C．x1=0，x2=3 D．以上都不对
已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估计正确的是（　　）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
二、填空题（本大题共7小题）
一元二次方程x2-3x-2=0的解是_______
写出方程x2+x-1=0的一个正根_______
当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1=________．
已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于　　　　　　．
如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为　　．
关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　．
三、解答题（本大题共6小题）
用公式法解方程：
(1) ；
(2)
(3)
(4)
已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．
(1)求k的值；
(2)求方程2y(2k－y)＝1的解．
已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
答案解析
一 、选择题
【分析】 方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可
解：整理得：x2+3x-2=0，
这里a=1，b=3，c=-2．
故选B．
【分析】 此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先把方程化简为一般形式，然后找a、b、c，最后求出判别式的值
解：∵（x+2）2=6（x+2）-4
∴x2-2x-4=0
∴a=1，b=-2，c=-4
∴b2-4ac =4+16=20．
故选C．
【分析】 将一元二次方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c即可．
解： 将-x2+3x=1整理为一般形式得：-x2+3x-1=0，
可得出a=-1，b=3，c=-1．
故选A
【分析】 若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
解： 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．
【分析】 此题需先求出方程x2-3x+2=0的根，再求出最小的一个根的倒数即可
解： x2-3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
x-1=0或x-2=0，
x1=1或x2=2，
所以方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是1，
故选A．
【分析】 方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解
解： 方程整理得：x2-3x+1=0，
这里a=1，b=-3，c=1，
∵△= b2-4ac =9-4=5，
∴x=
故选D
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
解：解方程x2﹣2x﹣1=0得：x=1±，
∵a是方程x2﹣2x﹣1=0较大的根，
∴a=1+，
∵1＜＜2，
∴2＜1+＜3，即2＜a＜3．
故选：C．
二 、填空题
【分析】 找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解
解：这里a=1，b=-3，c=-2，
∵△=9+8=17，
∴
【分析】 找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可得到结果
解： 这里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴
则方程的一个正根为
4
【解析】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0,
∴ ,
∴时，代数式x2-8x+12的值是-4.
点睛：本题考查了一元二次方程的解法，由题意得x2-8x+12=-4，化为一般式x2-8x+16=0，然后选择合适的方法求解.
（x﹣1﹣）（x﹣1+）
【解析】试题分析：令x2－2x－1＝0，
解得：x＝1±，
则原式＝(x－1－)(x－1＋)．
故答案为：(x－1－)(x－1＋)．
点睛：此题考查了实数范围内分解因式，令原式等于0求出一元二次方程的解是解决此题的关键．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．
解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，
解得k=﹣4或3，
∵k＞0，
∴k=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
【分析】根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=﹣；
当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵方程3kx2+12x+2=0有实数根，
∴△≥0，即△=122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6．
∴k的取值范围是k≤6．
故答案为：k≤6．
【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系，同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
三、解答题
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【解析】试题分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入求根公式进行求解即可.
试题解析：（1）∵
∴方程的解为 ；
（2）∵ ，
∴方程的解为 ；
（3）∵，
∴方程的解为 ；
（4）将所给方程整理为一般形式
∴方程的解为 .
（1）k=2；
（2） ．
【解析】试题分析：（1）将代入x(x k)=2 k得到关于的方程，解答即可；
（2）将的值代入方程，利用因式分解法解答即可．
试题解析：（1）将代入所给的方程中得：
2(2 k)=2 k，
解得：k=2；
（2）(2)当k=2时,方程变为：2y(4 y)=1，整理得：
∴ ．
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算
解： 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．
解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣或m=．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要使方程有整数解，那么为整数即可，于是p可取0，4，10时，方程有整数解．
解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
，
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，
∴为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=（﹣b）2﹣8a，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论．
解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a=0中，
△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式以及新运算，解题的关键是找出△＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．
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