2.4 用因式分解法解一元二次方程同步作业

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2.4用因式分解法解一元二次方程同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共8小题 ）
方程x2=2x的解是（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±
方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解为( )
A．x=2 B．x1=2，x2=1 C．x=﹣1 D．x1=2，x2=﹣1
一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　）
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
关于x的方程ax2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax2-bx-c=0的根（ ）
A．-2，-3 B．-6，1 C．2，-3 D．-1，6
三角形的一边长为10，另两边长是方程X2-14x+48=0的两个根，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（　　）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　　）
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
二、填空题（本大题共6小题 ）
若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____．
解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________
关于x的一元二次方程的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．
若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是______．
已知代数式x2+6x+5与x﹣1的值相等，则x=　　．
小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对（x，-2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=___________．
三、解答题（本大题共7小题 ）
由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+　 　）（x+　 　）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．
用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2+5x﹣4=0； （2）3y（y﹣1）=2（y﹣1）
已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长．
先化简，再求值：
，其中a满足.
若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0.
（1）求m的值；
（2）求方程的解.
根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为　 　；
②方程x2﹣3x+2=0的解为　 　；
③方程x2﹣4x+3=0的解为　 　；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为　 　；
②关于x的方程　 　的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
答案解析
一 、选择题
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：方程变形得：x2﹣2x=0，
分解因式得：x（x﹣2）=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选C
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，
可得x﹣2=0或x+1=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
故选D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，
解得：x1=﹣2，x2=6，
故选B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
解：x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
【分析】因为方程的两个根为2和3，所以方程可以方程因式为a（x-2）（x-3）=0，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根．
解：∵ax2+bx+c=0的两根为2和3，
∴a（x-2）（x-3）=0，
整理得：ax2-5ax+6a=0，
∴b=-5a，c=6a．
把b，c代入方程ax2-bx-c=0，
得：ax2+5ax-6a=0，
a（x+6）（x-1）=0，
∴x1=-6，x2=1．
故选B．
【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，然后利用勾股定理的逆定理即可判定这个三角形是直角三角形．
解：∵x2-14x+48=0，
∴（x-6）（x-8）=0，
∴x-6=0或x-8=0，
∴x1=6，x2=8，
∵102=100，62=36，82=64，
∴102=62+82，
∴这个三角形是直角三角形．
故选B．
【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．
解：解方程x2+2x﹣3=0，得
x1=1，x2=﹣3，
∵x=﹣3是方程的增根，
∴当x=1时，代入方程，得
，
解得a=﹣1．
故选：C．
【分析】 上述解题过程利用了转化的数学思想
解： 我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，
进而得到原方程的解为=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
二、填空题
1或－
【解析】由题意得：4x2－2x－5+2x2＋1=0，解得：x=1或x=-，
故答案为：1或-.
【分析】 把方程左边分解，则原方程可化为x-1=0或x+3=0
解：（x-1）（x+3）=0，
x-1=0或x+3=0．
故答案为x-1=0或x+3=0
-2
【解析】由题意把代入方程得：
，解得： ，
∴原方程为： ，解此方程得： ，
∴原方程的另一根为：-2.
9．
【解析】解：（x﹣4）（x﹣5）=0，x﹣4=0或x﹣5=0，所以x1=4，x2=5．∵△ABC的两边长分别为2和3，∴第三边为4，∴△ABC的周长为2+3+4=9．故答案为：9．
【分析】根据题意得出x2+6x+5=x﹣1，整理成一般式后利用因式分解法求解可得．
解：根据题意得x2+6x+5=x﹣1，
整理得：x2+5x+6=0，
∴（x+2）（x+3）=0，
∴x+2=0或x+3=0，
解得：x=﹣2或x=﹣3，
故答案为：﹣2或﹣3．
-5或1
【解析】解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为：﹣5或1．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
三、解答题
【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；
（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．
解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），
故答案为：2，4；
（2）∵x2﹣3x﹣4=0，
x2+（﹣4+1）x+（﹣4）×1=0，
∴（x﹣4）（x+1）=0，
则x+1=0或x﹣4=0，
解得：x=﹣1或x=4．
【分析】 （1）用公式法求解，先得出a，b，c，再代入x=，求解即可；
（2）先移项，再提公因式y﹣1，使每一因式为0，求解即可．
解：（1）x2+5x﹣4=0，
∵a=1，b=5，c=﹣4，∴x==，
∴x1=，x2=；
（2）3y（y﹣1）=2（y﹣1），
移项得，3y（y﹣1）﹣2（y﹣1）=0
提公因式得，（3y﹣2）（y﹣1）=0
即3y﹣2=0或y﹣1=0，
y1=，y2=1．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法
14.
【解析】试题【分析】将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
试题解析：解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2，∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．
点睛：本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键．
QUOTE
【解析】试题【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程a2+2a﹣24=0的根求出a的值，把a的值代入进行计算即可．
试题解析：原式=
=
=，
∵a满足a2+2a﹣24=0，
∴a=4（舍）或a=﹣6，
当a=﹣6时代入求值，原式=．
(1) x1=2，x2=-4;(2) x1=2，x2=-4;(3)
【解析】试题【分析】要注意a※b=4ab新定义的运算方法，把已知数按照运算法则代入即可求值，后两问将数值代入后得到了两个方程，解方程即可．
试题解析：解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60；
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，4x2+8x﹣32=0，即x2+2x﹣8=0，∴x1=2，x2=﹣4；
（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=．
点睛：此题主要还是考查了方程的解题方法以及技巧，难易程度适中．
（1）的值为1或2；（2）当时，方程的解为；当时，方程的解为， .
【解析】试题【分析】
（1）由题意可得： ，解此方程可得的值；
（2）把（1）中求得的的值代入原方程，再解所得方程可得原方程的解.
试题解析：
（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴ m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得：
x2+5x=0，解得：x1=0，x2=﹣5；
当m=1时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得：
5x=0，解得x=0.
综上所述，当时，方程的解为；当时，方程的解为， .
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．
（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．
解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；
②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；
③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．
（3）x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+=﹣8+，
（x﹣）2=
x﹣=±，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确．
故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；
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