2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步作业

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共8小题 ）
若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-3
设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017
下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( )
A. x +x+2=0 B. x +x-2=0 C. x -x+2=0 D. x -x-2=0
如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（　　）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，则m的值是（ ）
A．4 B．-1 C．4或-1 D．-4或1
已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（　　）
A． B． C．4 D．﹣4
关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题（本大题共6小题 ）
已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为　 　．
已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 .
若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是　 　．
设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=　　　　　　．
关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是　　　　　　．
通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=，x1 x2=、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为　　．
三、解答题（本大题共7小题 ）
已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2—2m＝0有一个实根为一1，求m的值及方程的另一个实根.
已知关于的方程（ 的两根之和为，两根之差为1，其中是△的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△的形状．
（2015鄂州）关于x的一元二次方程有两个不等实根，．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根，满足，求k的值．
已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
(1)x12＋x22；
(2) ；
(3)x12＋x22－3x1x2.
已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
答案解析
一、选择题
【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根
解： 设一元二次方程的另一根为，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得-1+=-3，
解得：=-2．
故选A．
C
【解析】解：∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，a2+a﹣2017=0，∴a2=﹣a+2017，∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b=2017﹣1=2016．故选C．
点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则， ．也考查了一元二次方程的解．
D
【解析】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误；
B．两根之和=－1，故错误；
C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故错误；
D．两根之和=1，故正确．
故选D．
【分析】 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式
解：根据题意可得
x1+x2==3，
故选B．
【分析】先利用勾股定理表示出方程两根之间的数量关系，即两根的平方和是25，再根据根与系数的关系把有关字母的系数代入其中得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
解：如图．设BC=a，AC=b．
根据题意得a+b=2m-1，ab=4（m-1）．
由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（2m-1）2-8（m-1）=4m2-12m+9=25，
∴4m2-12m-16=0，
即m2-3m-4=0，
解之得m1=-1，m2=4．
∵a+b=2m-1＞0，
即m＞，
∴m=4．
故选A．
【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选D．
【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．
解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，
∴，
∴则m2（）===﹣4．
故答案选D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解题关键．
根据根与系数的关系，关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根积为2n，而两个整数根且乘积为正，得n＞0，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根和为-2n且两根是同号，故关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根都是负数.同理关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根也都是负数.故①正确. ∵两根方程都有两个整数根∴△≥0即4m2-8n≥0 4n2-8m≥0 的m2-2n≥0，n2-2m≥0 ∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m +1+n2-2n+1=m2-2n+1+ n2-2m+1≥2 故②正确. 设x1、x2是方程x2+2mx+2n=0的两根，根据根与系数的关系得x1+x2=-2m，x1x2=2n∵方程的两个根都是负数且为整数，∴x1≤-1， x2≤-1 （x1+1）（x2+1）≥0 得x1x2+ x1+x2+1≥0 ，2n-2m+1≥0 2m-2n≤1 同理设y1、y2是方程y2+2ny+2m=0的两根, 得y1y2+ y1+y2+1≥0 2m-2n+1≥0 2m-2n≥-1故③正确
故选D.
二、填空题
【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．
解：设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
10【分析】根据方程的根的概念，可以把m，n看作是方程x2-6x-4=0的两个根，再根据根与系数的关系可以得到的值．
解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，
∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，
∴mn=-．M+n=-2
∴===-
【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）与x1x2的值，代入计算即可．
解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15，
故答案为：15．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
故答案为：m＞．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
【分析】由方程的有两个实数根x1、x2可得△=k2﹣4（k+1）≥0，求得k的范围，又由x1+x2=﹣k，x1x2=k+1及x12+x22=1可求得k的值．
解：∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，
解得：k≤2﹣2或k≥2+2，
又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1，
∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，
解得：k=﹣1或k=2（舍），
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系的是关键．
三、解答题
15.【分析】(1)把x=3代入方程可直接求出m的值，然后把m的值代入原方程，再求另一解
解：把x＝－1代入方程，
得 1－1＋m2—2m＝0.
解得m1＝0,m2＝2.
设方程的另一个根为x2,
则由一元二次方程根与系数的关系可得 －1＋x2＝－1.
∴x2＝0.
解：（1）设方程的两根为，
则
解得
（2）当时，，
所以.
当时，
所以.
所以.所以△为等边三角形．
（1）k＞；（2）k=2．
【解析】试题分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．
试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x1+x2=-（2k+1）＜0，
又∵x1 x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，
∵|x1|+|x2|=x1 x2，
∴2k+1=k2+1，
∴k1=0，k2=2，
又∵k＞，
∴k=2．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键
解：（1）原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±1时，方程有整数解
（1），（2）-, （3）.
【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，然后把要求值的代数式进行变形，把得到的数值代入即可求值.
试题解析： 由题意得：x1＋x2＝，x1·x2＝－ ；
（1）x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝()2-2×（-）＝ ；
（2）= ＝ =- ；
（3）x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=()2-5×（-）= .
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1 x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=6x1 x2，
即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m=＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m＞0或m＜﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．
解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n=①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48×≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)