22.2.1 直接开平方法和因式分解法（1）同步作业

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
22.2.1 直接开平方法和因式分解法（1）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共8小题）
能用直接开平方法求解的方程是( )
A. x2+3x+1=0 B. x2-2x+3=0 C. x2+x-1=0 D. x2-4=0
方程x（x﹣3）+x﹣3=0的解是（　　）
A．3 B．﹣3，1 C．﹣1 D．3，﹣1
一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（　　）
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　　）
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　）
A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+4=0 D．﹣x2+3=0
若25x2=16，则x的值为（ ）
A． B． C. D．
方程x2=4的解为( )
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=4，x2=﹣4 D．x1=2，x2=﹣2
方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　　）
A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3
二、填空题（本大题共7小题）
方程x2=2的解是　　　　　　．
一元二次方程x2﹣9=0的解是　 　．
若代数式3x2＋1的值等于28，则x的值为___________．
一元二次方程x2﹣3x=0的根是　　　　　　．
一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是　　　　　　．
方程x2﹣2x﹣3=0的解是　　　　　　．
方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为__________
三、解答题（本大题共4小题）
用直接开平方法解方程：
(1) 4(x－2)2－36＝0；
(2) x2＋6x＋9＝25；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
解方程：
(1)(x＋8)2＝36； (2)x(5x＋4)－(4＋5x)＝0；
(3)x2＋3＝3(x＋1)； (4)2x2－x－1＝0.
将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值．
先化简，再求值：÷（x﹣），其中x为方程（x﹣3）（x﹣5）=0的根．
答案解析
一 、选择题
D
【解析】要能用直接开平方法，方程形式必须符合(x+a）2=b（b≥0），仅有D选项移项后变为x2=4，符合此形式.
故选D.
点睛：直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程.
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：x（x﹣3）+x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0，x+1=0，
x1=3，x2=﹣1，
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．
解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，
∴（x﹣2）（x+1）=0，
∴x﹣2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=﹣1．
故选D．
【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．
【分析】 上述解题过程利用了转化的数学思想
解： 我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，
进而得到原方程的解为=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
【分析】根据直接开平方法分别求解可得．
解：A、方程x2﹣1=0的解为x=±1；
B、方程x2=0的解为x=0；
C、由方程x2+4=0可得x2=﹣4，方程无解；
D、方程﹣x2+3=0的解为x=±，
故选：C．
【分析】首先把x2的系数化为1，再求出的平方根即可．
解：25x2=16，
x2=，
x=±，
故选A．
【分析】两边开方，即可得出方程的解．
解：x2=4，
x1=2，x2=2，
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（x﹣2）（x+3）=0，
x﹣2=0，x+3=0，
x1=2，x2=﹣3，
故选D．
【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
二、填空题
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：x2=2，
x=±．
故答案为±．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
解：∵x2﹣9=0，
∴x2=9，
解得：x1=3，x2=﹣3．
故答案为：x1=3，x2=﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
3或－3
【解析】根据题意得3x2＋1=28，即3x2=27，所以x=3或-3.
故答案为3或-3.
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
解：x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
∴x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．
【分析】原方程转化为x=0或x﹣6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．
解：∵x=0或x﹣6=0，
∴x1=0，x2=6，
∴原方程较大的根为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
【分析】先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
解：方程x2﹣2x﹣3=0左边因式分解，得
（x﹣3）（x+1）=0
解得x1=3，x2=﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
【分析】 首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可
解：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
三、解答题
(1) x1＝5，x2＝－1；（2）x1＝－8，x2＝2；（3）x1＝－，x2＝－
【解析】试题分析：
（1）先移项，系数化为1后，再用直接开平方求解；
（2）左边因式分解为一个完全平方式后，再用直接开平方法求解；
（3）先移项，再用直接开平方法求解.
试题解析：
(1) 4(x－2)2－36＝0，(x－2)2=9，x-2=±3，所以x1＝5，x2＝－1；
(2) x2＋6x＋9＝25，(x+3)2=25，x+2=±5，所以x1＝－8，x2＝2；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0，2(3x-1)=±3(3x+1)，所以x1＝－，x2＝－.
(1)x1=-2, x2=-14; (2) X1=1, ；(3) x1=3， x2=0 ； (4) .
【解析】试题分析：（1）利用直接开平方法.(2)利用因式分解法.(3) 利用因式分解法.(4)利用十字相乘法.
试题解析：
解方程：(1)(x＋8)2＝36；
x＋8＝6,
.
(2)x(5x＋4)－(4＋5x)＝0；
(4＋5x)(x-1)=0,
.
(3)x2＋3＝3(x＋1)；
,
x (x-3)=0,
.
(4)2x2－x－1＝0
（2x+1）(x-1)=0,
.
点睛：一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，（4）因式分解法，可因式分解的方程适用.
x1＝，x2＝－
【解析】试题分析：
根据二阶行列式的规定列出方程，解这个方程求x的值.
试题解析：
解：由题意得(x＋1)(x＋1)－(1－x)(x－1)＝6，
整理得2x2＋2＝6，∴x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，首先要能读懂题目关于二阶行列式的定义，根据这个定义列出一元二次方程，化简整理为x2=p的形式，再用直接开平方法来求解.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求x的值，代入原式进行计算即可．
解：原式=÷
=
=，
∵x为方程（x﹣3）（x﹣5）=0的根，
∴x1=3，x2=5，
∵当x=3时分式无意义，
∴当x=5时，原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)