22.2.1 直接开平方法和因式分解法（2）同步作业

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22.2.1 直接开平方法和因式分解法（2）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共10小题 ）
一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4
方程x（x﹣3）+x﹣3=0的解是（　　）
A．3 B．﹣3，1 C．﹣1 D．3，﹣1
若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（　　）
A． B． C．3 D．5
已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．11和13
关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　）
A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3
C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3
关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（　　）
A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2
二、填空题（本大题共5小题）
若2（x2+3）的值与3（1- x2）的值互为相反数，则x值为_________
若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则= .
已知若分式的值为0，则x的值为 ．
对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=　　　　　　．
关于x的一元二次方程的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．
三、解答题（本大题共6小题）
解方程：
（1）x2﹣2x﹣8=0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．
先化简，再求值．
（1﹣），其中x是方程x2﹣5x+6=0的根．
已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长．
若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
某蔬菜有限公司一年四季都有大量新鲜蔬菜销往全国各地，近年来它的蔬菜产值不断增加，2014年蔬菜的产值是640万元，2016年产值达到1000万元.
（1）求2015年、2016年蔬菜产值的平均增长率是多少？
（2）若2017年蔬菜产值继续稳定增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2017年该公司的蔬菜产值达到多少万元？
答案解析
一、选择题
【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．
解：（x+6）2=16，
两边直接开平方得：x+6=±4，
则：x+6=4，x+6=﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：x（x﹣3）+x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0，x+1=0，
x1=3，x2=﹣1，
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
【分析】首先同时除以a得：（x﹣b）2=，再两边直接开平方可得：x﹣b=±，然后把﹣b移到右边，再根据方程的两根可得a、b的值，进而算出a+b的值．
解：a（x﹣b）2=7，
两边同时除以a得：（x﹣b）2=，
两边直接开平方可得：x﹣b=±，
则x=±+b，
∵两根为±，
∴a=4，b=，
∴a+b=4=，
故选：B．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
【分析】首先移项把﹣m移到方程右边，再根据直接开平方法可得m的取值范围．
解；（x+1）2﹣m=0，
（x+1）2=m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
【分析】根据直接开平方法可得x﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．
解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，
∴没有实数根，
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
A
【解析】试题解析：当1≤x＜2时，=1，解得x1=，x2=﹣；
当x=0，=0，x=0；
当﹣1≤x＜0时，=﹣1，方程没有实数解；
当﹣2≤x＜﹣1时，=﹣1，方程没有实数解；
所以方程的解为0或．故选A．
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．
解：方程x2﹣6x+8=0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，
可得x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x1=2，x2=4，
当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；
当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．
故选B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
解：x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．
解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，
∴（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．
【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．
解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，
所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，
方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，
所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
二、填空题
±3
【解析】解：由题意得：2（x2+3）+3（1- x2）=0，整理得：－x2+9=0，∴ ，∴x=±3．故答案为：±3．
专题：计算题．
分析：利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．
解答：解：∵x2=（ab＞0），
∴x=±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，
∴=2，
∴=4.．
故答案为4．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
分析： 首先根据分式值为零的条件，可得；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．
解答： 解：∵分式的值为0，
∴
解得x=3，
即x的值为3．
故答案为：3．
点评： （1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
（2）此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）=0，
解得：x=3或2，
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．
-2
【解析】由题意把代入方程得：
，解得： ，
∴原方程为： ，解此方程得： ，
∴原方程的另一根为：-2.
三、解答题
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）（x﹣4）（x+2）=0，
x﹣4=0或x+2=0，
所以x1=4，x2=﹣2；
（2）（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=﹣1．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
解：原式= =，
方程x2﹣5x+6=0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，
解得：x=2（舍去）或x=3，
当x=3时，原式=．
14.
【解析】试题分析：将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
试题解析：解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2，∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．
点睛：本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键．
(1) x1=2，x2=-4;(2) x1=2，x2=-4;(3)
【解析】试题分析：要注意a※b=4ab新定义的运算方法，把已知数按照运算法则代入即可求值，后两问将数值代入后得到了两个方程，解方程即可．
试题解析：解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60；
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，4x2+8x﹣32=0，即x2+2x﹣8=0，∴x1=2，x2=﹣4；
（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=．
点睛：此题主要还是考查了方程的解题方法以及技巧，难易程度适中．
（1）2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％；
（2）2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元.
【解析】试题分析：对于（1），设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为x，则2015年的产值是640(1+x)万元，2016年的产值是640(1+x)2万元，结合2016年产值达到1000万元列方程求解；
对于（2），根据（1）求解的结果，进一步列式1000×(1+25%)，计算即可确定答案．
解：（1）设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为，
则有，
解得： （舍去），，
∴2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％.
（2）1000×（1+25％）=1250(万元)
∴2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元
点睛：本题考查了一元一次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
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