2.1.1 第1课时 根式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.等于( )
A．3 B.－3
C．±3 D．－27
解析：＝＝－3.
答案：B
2．若＋有意义，则a的取值范围是( )
A．0≤a B.a≥1
C．a≥2 D．a∈R
解析：∴a≥1.
答案：B
3．若x<，则 等于( )
A．3x－1 B.1－3x
C．(1－3x)2 D．非以上答案
解析：＝＝|1－3x|.
∵x<，∴1－3x>0，∴原式＝1－3x.
答案：B
4．若a＝，b＝，则a＋b＝( )
A．1 B.5
C．－1 D．2π－5
解析：∵a＝＝3－π，
b＝＝π－2，
∴a＋b＝3－π＋π－2＝1.
答案：A
5．当有意义时，化简－的结果为( )
A．2x－5 B.－2x－1
C．－1 D．5－2x
解析：因为有意义则x≤2.原式＝－＝2－x－(3－x)＝2－3＝－1.
答案：C
6．计算下列各式的值：
(1) ＝________；
(2)设b＜0，()2＝________.
解析：(1) ＝－＝－5.
(2)()2＝－b.
答案：(1)－5 (2)－b
7．若a<，化简＝_ _______.
解析：＝＝|2a－3b|
∵a<，∴2a－3b<0
∴原式＝3b－2a.
答案：3b－2a
8．计算： ＋
解析：原式＝＋
＝－＋＋＝2.
答案：2
9．计算： ＋ ＋ .
解析：∵3－2＝()2－2＋1＝(－1)2，
∴原式＝ ＋ ＋
＝|1－|＋(1－)＋|1－|
＝－1＋1－＋－1＝－1；
10．化简·.
解析：原式＝|1－a|·(a－1)
＝(a－1)(a－1)
＝(a－1)
＝
[B组 能力提升]
1．若＋()n＋1＝0，a≠0且n∈N＋，则( )
A．a>0且n为偶数 B.a<0且n为偶数
C．a>0且n为奇数 D．a<0且n为奇数
解析：由()n＋1＝a得＝－a，故n为偶数且a<0.
答案：B
2．三个数a＝2，b＝3，c＝6的大小关系是( )
A．a
C．c解析：因为a6＝(2)6＝23＝8，b6＝(3)6＝32＝9，c6＝(6)6＝6，所以c6答案：C
3．f(x)＝(x－5)0＋的定义域是________．
解析：要使f(x)有意义则即x>2且x≠5.
答案：{x|25}
4．设f(x)＝，若0＜a≤1，则f(a＋)＝________.
解析：f(a＋)＝＝＝＝|a－|
又∵0＜a≤1，∴a≤，∴f(a＋)＝－a.
答案：－a
5．计算： ＋ － .
解析： ＋ －
＝＋
－
＝ ＋ －
＝|＋|＋|2－|－|2－|
＝＋＋2－－2＋
＝2.
6．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
解析：∵x－－2y＝0，x>0，y>0，
∴()2－－2()2＝0，
∴(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
∴－2＝0，∴x＝4y，
∴＝＝.
2.1.1 第2课时 指数幂及运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．化简[]的结果是( )
A．5 B.
C．－ D．－5
解析：[]＝( )＝5＝5＝.
答案：B
2．设a－a＝m，则等于( )
A．m2－2 B.2－m2
C．m2＋2 D．m2
解析：对a－a＝m平方得：a＋－2＝m2，
∴＝a＋＝m2＋2.
答案：C
3.的值是( )
A．2 B.2
C．2 D．2
解析：＝＝＝＝2.
答案：A
4． (1)0－(1－0.5－2)÷()的值为( )
A．－ B.
C. D．
解析：原式＝1－(1－)÷
＝1－(－3)÷2＝1＋3×＝1＋＝.
答案：D
5．若102x＝25，则10－x＝( )
A．－ B.
C. D．
解析：102x＝(10x)2＝25，∵10x>0，∴10x＝5,10－x＝＝.
答案：B
6．已知102m＝2,10n＝3，则10－2m－10－n＝________.
解析：由102m＝2，得10－2m＝＝；
由10n＝3，得10－n＝＝；
∴10－2m－10－n＝－＝.
答案：
7．已知2x＝()y＋2，且9y＝3x－1，则x＋y＝________.
解析：2x＝()y＋2＝2，
9y＝32y＝3x－1，
∴解得，∴x＋y＝1.
答案：1
8．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，则的值是________．
解析：∵=
又∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.
又x＜y，∴x－y＝－＝－6.
代入化简后可得结果为－.
答案：－
9．化简求值：
(1)(2)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2) ＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0.
解析：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝(－1) ×(3)＋()－＋1
＝＋(500) －10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
10．完成下列式子的化简：
(1)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(2)2÷4×3.
解析：(1)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.
(2)原式＝2a÷(4ab)×(3b)
＝ab·3b＝ab.
[B组 能力提升]
1．若S＝(1＋2)(1＋2)(1＋2)(1＋2)(1＋2)，则S等于( )
A.(1－2)－1 B.(1－2)－1
C．1－2 D．(1－2)
解析：令2＝a，则S＝(1＋a)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8)(1＋a16)．
因为1－a≠0，所以(1－a)S＝(1－a)(1＋a)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8)(1＋a16)
＝(1－a2)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8)(1＋a16)
＝…＝1－a32＝1－2－1＝.
所以S＝(1－a)－1＝(1－2)－1.故选A.
答案：A
2．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )
A. B.
C. D．
解析：∵x＝1＋2b，∴2b＝x－1，∴2－b＝＝，
∴y＝1＋2－b＝1＋＝.
答案：D
3．已知10a＝2，10b＝，则1 0＝________.
解析：10＝(10a)2·(10b)＝(2)2·(32)
＝2－1·2＝2.
答案：2
4．若x1，x2为方程2x＝()的两个实数根，则x1＋x2＝________.
解析：∵2x＝()＝2，
∴x＝，∴x2＋x－1＝0.
∵x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝－1.
答案：－1
5．已知a＝3，求
的值
解析：
＝＋＝＝－1.
6．已知x＝(5－5)，n∈N＋，求(x＋)n的值．
解析：∵1＋x2＝1＋(5－5)2
＝1＋(5－2＋5)
＝(5＋2＋5)
＝[(5＋5)]2，
∴＝(5＋5)，
∴x＋
＝(5－5)＋(5＋5)
＝5.
∴(x＋)n＝(5)n＝5.
2.1.2 第1课时 指数函数图象及其性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B.y＝λx(λ>1)
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)
解析：A中底数不满足大于0且不等于1；C中系数不是1；D中指数不是独立的x；只有选项B满足指数函数定义．
答案：B
2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C． 0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位而得，所以－b＞0，即b＜0.故选D.
答案：D
3．下列关系中正确的是( )
A. <2<
B. <<2
C．2<<
D．2<<
解析：2＝，∵y＝x是R上的减函数，
∴>>，
即2>>.
答案：B
4．函数y＝2－|x|的值域是( )
A．(0,1) B.(0,1]
C．(0，＋∞) D．R
解析：设t＝－|x|，则t≤0，作出y＝2t(t≤0)的简图，由图象知0<2t≤1.
答案：B
5．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D．
解析：∵y＝()x是减函数，∴原不等式等价于2a＋1>3－2a，即4a>2，
∴a>.
答案：B
6．设函数f(x)＝则f[f(－4)]＝________.
解析：依题意，知f(－4)＝－4＝16，
f(16)＝＝4，∴f[f(－4)]＝f(16)＝4.
答案：4
7．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
解析：∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x.即x>.
答案：
8．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)＜2，则实数a的取值范围为________．
解析：当a＞1时，f(x)＝ax在[－2,2]上的最大值为a2，由a2＜2得，
1＜a＜.
当0＜a＜1时，f(x)＝ax在[－2,2]上的最大值为
a－2，由a－2＜2得a＞ .
答案：∪(1，)
9．(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；
(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
解析：(1)因为3>1，所以指数函数f(x)＝3x在R上是增函数．由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为[0.5，＋∞)．
(2)因为0<0.2<1，所以指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．
因为25＝－2＝0.2－2，所以0.2x<0.2－2.
由此可得x>－2，即x的取值范围为(－2，＋∞)．
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2)和；
(3)2－1.5和30.2.
解析：(1)考查函数y＝0.2x.
因为0<0.2<1，
所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，
所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考查函数y＝x.因为0<<1，所以函数y＝x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以>.
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2,
即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
[B组 能力提升]
1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝3 B.y＝31－x
C．y＝ D．y＝
解析：y＝3的值域为{y|y>0且y≠1}；
y＝31－x的值域为{y|y>0}；y＝的值域为[0，＋∞)；
y＝的值域为[0,1)．
答案：B
答案：A
3．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域值域都是[0,2]，则实数a的值为________．
解析：当a>1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，
由题意可知，，解得a＝.
当0＜a＜1时，
函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，
由题意可知，，此时a无解．
综上所述，a＝.
答案：
4．若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)是R上的增函数，
所以解得4≤a＜8.
答案：[4,8)
5．设f(x)＝，求f(x)的值域．
解析：令y＝，(2x＋1)y＝2x－1,2x(y－1)＝－1－y,2x＝，
∵2x>0，∴>0，∴
或解得－1故值域为{y|－16．已知函数y＝a (a>0且a≠1)，当x∈[1,3]时有最小值8，求a的值．
解析：令y＝at，t＝x2－3x＋3，x∈[1,3]，对称轴为t＝，x∈时，t单调递减；x∈时，t单调递增，即x＝时，tmin＝.
①当a>1时，y＝at为增函数，则x∈时，y＝ax2－3x＋3为减函数；x∈时，y＝a为增函数．显然当x＝时，ymin＝a＝8，a＝16.
②当01与0综上所述，a的值为16.
2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：y＝(1＋11.3%)x＝1.113x.
答案：D
2．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是( )
A．－ B．－4
C. D．4
解析：由题设知g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝
－＝－.
答案：A
3．函数y＝2－x＋1＋2的图象可以由函数y＝x的图象经过怎样的平移得到( )
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
解析：y＝2－x＋1＋2＝x－1＋2，设f(x)＝x，
则f(x－1)＋2＝x－1＋2，要想得到y＝2－x＋1＋2的图象，只需将y＝x图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位．
答案：C
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是( )
A．(0,1] B.[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：解法一：当x>0时，3x>3－x，f(x)＝3－x，
f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；
当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．
综上，f(x)的值域是(0,1]．
解法二：作出f(x)＝3x⊙3－x的图象，如图．
可知值域为(0,1]．
答案：A
5．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，
且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f ＜f ＜f
B．f ＜f ＜f
C．f ＜f ＜f
D．f ＜f ＜f
解析：依对称性有f ＝f ＝f ＝f ，f＝f＝f＝
f ，又f(x)在x≥1时为增函数，＜＜，∴f ＜f ＜f ，即f ＜f ＜f .
答案：B
6．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：解法一：由指数函数的性质可知f(x)＝()x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．
解法二：f(x)＝|x－1|＝
可画出f(x)的图象求其单调递增区间．
答案：(－∞，1]
7．函数f(x)＝a2x－3ax＋2(a>0，且a≠1)的最小值为________．
解析：设ax＝t(t>0)，则有f(t)＝t2－3t＋2＝
(t－)2－，∴t＝时，f(t)取得最小值－ .
答案：－
8．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析：当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾．当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，即为所求．故填＜a＜1.
答案：＜a＜1
9．求函数y＝的单调区间和值域．
解析：函数y＝的定义域为R.
令t＝x2－3x－2，对称轴为x＝，在上是减函数，在上是增函数，而y＝t在R上为减函数．所以由复合函数的单调性可知，y＝x2－3x－2在上为增函数，在上为减函数．
又∵t＝x2－3x－2在x＝时，tmin＝－，
∴y＝()t在t＝－时，取得最大值ymax＝2.
∴所求函数的值域为(0,2)
10．已知函数f(x)＝－(a为常数)．
(1)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值．
解析：(1)在(－∞，＋∞)上任取两个值x1，x2且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝，
∵2＞1且x1＜x2，∴2x2－2x1＞0.
又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(2)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即－＝0.
∴a＝1.
[B组 能力提升]
1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2 B.
C. D．a2
解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
答案：B
2．若函数f(x)＝则f(－3)的值为( )
A. B.
C．2 D．8
解析：f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)
＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.
答案：A
3．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D． (－1，＋∞)
解析：∵2x(x－a)<1，∴x－a<＝x
∴a>x－x，∵y＝x在(0，＋∞)是增函数，
y＝x在(0，＋∞)是减函数，∴y＝x－x在(0，＋∞)是增函数，
要使a>x－x在(0，＋∞)有解，
需使a>0－0＝－1.
答案：D
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，
则不等式f(x)＜－的解集是______．
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
由2x－1＜－，2x＜2－1，得x＜－1.
当x＞0时，由1－2－x＜－，x＞，得x∈?；
当x＝0时，f(0)＝0＜－不成立；
综上可知x∈(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：0＜f(x－2)＜.
解析：(1)∵f(0)＝＝0，
∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)设x1，x2∈R且x1＜x2，
则2x2＞2x1＞0,2x2－2x1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝＞0，
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上是增函数．
(3)由0＜f(x－2)＜得f(0)＜f(x－2)＜f(4)，
又f(x)在R上是增函数，∴0＜x－2＜4，
即2＜x＜6，所以不等式的解集是{x|2＜x＜6}．
6．关于x的方程x＝有负根，求a的取值范围．
解析：y＝x的定义域为x∈R.
∵x＝有负根，∴x<0.
又∵0<<1，
∴>1，
∴－1>0.
∴>0.
即或
解得2.2.1 第1课时 对 数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知logx8＝3，则x的值为( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：∵logx8＝3，∴x3＝8，∴x＝2.
答案：B
2.－2＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B.log9＝－2
C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝
解析：ax＝N?x＝logaN.
答案：B
3．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0，②ln(ln e)＝0，③若lg x＝10，则x＝100，④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③ B.②④
C．①② D．③④
解析：①lg(lg 10)＝0，正确．②ln(ln e)＝0，正确．若lg x＝10，则x＝1010，③不正确．若ln x＝e，则x＝ee，故④不正确．所以选C.
答案：C
4．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围( )
A.≤x＜2 B.＜x＜2
C.＜x＜2或x＞2 D．x＞
解析：由log(x－1)(4x－5)有意义得
?
答案：C
5．如果f(10x)＝x，则f(3)＝( )
A．log310 B.lg 3
C．103 D．310
解析：设10x＝3，则x＝lg 3，
∴f(3)＝f(10lg 3)＝lg 3.
答案：B
6．lg 1 000＝________，ln 1＝________.
解析：∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3；
e0＝1，∴ln 1＝0.
答案：3 0
7．方程log2(5－x)＝2，则x＝________.
解析：5－x＝22＝4，∴x＝1.
答案：1
8．已知log2[log3(log5x)]＝0，则x＝________.
解析：令log3(log5x)＝t1，则t1＝20＝1.
令log5x＝t2，则t2＝31＝3.
∴log5x＝3，∴x＝53＝125.
答案：125
9．求下列各式x的取值范围．
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋3)(x＋3)．
解析：(1)由题意知解得x>1且x≠2，
故x的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
(2)由题意知，解得x>－3且x≠－2.
故x的取值范围是(－3，－2)∪(－2，＋∞)．
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解析：logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
logy＝m＋2，∴m＋2＝y，
y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
[B组 能力提升]
1．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵a＝，a>0，
∴a＝＝3，
设loga＝x，∴()x＝a.
∴x＝3.
答案：B
2．已知logxy＝2，则y－x的最小值为( )
A．0 B. C．－ D．1
解析：∵logxy＝2，∴y＝x2(x>0且x≠1)，
∴y－x＝x2－x＝(x－)2－，
∴x＝时，y－x有最小值－.
答案：C
3．若f(2x＋1)＝log ，则f(17)＝________.
解析：f(17)＝f(24＋1)＝log ＝log ＝－8.
答案：－8
4．方程4x－6×2x－7＝0的解是________．
解析：原方程可化为(2x)2－6×2x－7＝0.
设t＝2x(t＞0)，则原方程可化为：t2－6t－7＝0.
解得：t＝7或t＝－1(舍)，∴2x＝7，∴x＝log27，
∴原方程的解为： x＝log27.
答案：x＝log27
5．计算下列各式：
(1)10lg 3－log41＋2log26；
(2)22＋log23＋32－log39.
解析：(1)10lg 3－log41＋2log26＝3－0＋6＝9.
(2)22＋log23＋32－log39＝22×2log23＋＝4×3＋＝12＋1＝13.
6．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值．
解析：原函数式可化为
f(x)＝lg a(x＋)2－＋4lg a.
∵f(x)有最大值3，
∴lg a<0，且－＋4lg a＝3，
整理得4(lg a)2－3lg a－1＝0，
解之得lg a＝1或lg a＝－.
又∵l g a<0，∴lg a＝－.
∴a＝10.
2.2.1 第2课时 对数运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．2log510＋log50.25＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
答案：C
2．(lg 5)2＋lg 2 lg 5＋lg 20的值是( )
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 20＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.
答案：C
3．2的值是( )
A．12 B.9＋
C．9 D．84
解析：∵＋2log23＝log2＋log29＝log29，
又∵alogax＝x，∴原式＝9.
答案：C
4．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A． 9 B.
C．25 D．
解析：原式＝××＝＝2
∴－lg x＝2lg 5＝lg 52＝lg 25，∴x＝.
答案：D
5．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logab＋logac
解析：由对数的运算公式loga(bc)＝logab＋logac可判断选项C，D错误．选项A，由对数的换底公式知logab·logcb＝logca?·＝?(lg b)2＝(lg a)2，此式不恒成立．选项B，由对数的换底公式知logab·logc a＝·＝＝logcb，故恒成立．
答案：B
6．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
解析：由题意知
解之得x＝4.
答案：4
7.＝________.
解析：原式＝＝＝＝1.
答案：1
8．计算log225·log32·log59的结果为________．
解析：原式＝··＝··＝6.
答案：6
9．计算：
(1)＋log；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg＋lg 0.06.
解析：(1)原式＝＋log()－1
＝－1＝0.
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2
＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3lg22－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
10．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.
证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
则x＝log2k＝，
y＝log3k＝，
z＝log6k＝
∴＋＝＝＝.
[B组 能力提升]
1．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于( )
A. B. C. D.
解析：∵log89＝a，∴a＝＝，
b＝＝，∴lg 2＝，
∴lg 3＝alg 2＝×＝.
答案：C
2．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于( )
A．2 B. C．4 D．
解析：由韦达定理知
∴(lg)2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×＝2.
答案：A
3．设lg a＋lg b＝2lg(a－2b)，则log4的值是________．
解析：依题意，得a>0，b>0，a－2b>0，原式可化为ab＝(a－2b)2，即a2－5ab＋4b2＝0，则2－5＋4＝0，∴＝4或＝1.∵a－2b>0，>2，∴＝4，∴log4＝1.
答案：1
4．已知x，y，z都是大于1的正数，m＞0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．
解析：logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，
故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.
5．已知ab＝8，a＝4，求a、b的值．
解析：由a＝4两边取对数得
log2(a)＝log24?(log2a)(log2b)＝2，①
由ab＝8得log2(ab)＝log28?log2a＋log2b＝3.②
由①②得或
解得或
2.2.2第1课时 对数函数的图象及性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B.{x|x<1}
C．{x|－1解析：由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，
则M∩N＝{x|－1＜x＜1}．
答案：C
2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B.(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：∵y＝log2x在[1，＋∞)是增函数，∴当x≥1时，log2x≥log21＝0，
∴y＝2＋log2x≥2.
答案：C
3．与函数y＝x的图象关于直线y＝x对称的函数是( )
A．y＝4x B.y＝4－x
C．y＝logx D．y＝log4x
解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称．
答案：C
4．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则函数g(x)＝ax2＋x＋1在 [－2,2]上的值域为( )
A．[，5] B.[－，5]
C．[－，3] D．[0,3]
解析：显然函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上是单调的，∴函数f(x)在[0,1]上的最大值和最小值之和为f(0)＋f(1)＝1＋a＋loga2＝a，解得a＝.
∴g(x)＝x2＋x＋1在[－2，－1]上单调递减，在[－1,2]上单调递增．
∴g(x)＝x2＋x＋1在[－2,2]上的值域为.故选A.
答案：A
5．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是( )
解析：由对数函数y＝log2x过定点(1,0)可知，函数f(x)＝1＋log2x的图象过定点(1,1)，且是单调递增的．同理，函数g(x)＝21－x的图象过定点(1,1)，并且是单调递减的．观察函数图象可得选项C满足条件．
答案：C
6．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.
解析：因为f(－2)＝10－2>0，f(10－2)＝lg 10－2＝－2lg 10＝－2，所以f(f(－2))＝－2.
答案：－2
7．对数函数f(x)的图象过点(3，－2)，则f()＝________.
解析：设f(x)＝logax，则loga3＝－2，∴a－2＝3，
∴a＝，∴f(x)＝，
∴f()＝＝－1.
答案：－1
8．已知函数y＝loga的图象恒过点P，则点P坐标为________．
解析：当＝1时，x＝－2，所以恒过点(－2,0)．
答案：(－2,0)
9．(1)求函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域；
(2)求函数f(x)＝log (x2＋2x＋3)的值域．
解析：(1)由，得，
∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2)．
(2)∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
∴定义域为R.
∴f(x)≤log2＝－1，
∴值域为(－∞，－1]．
10．设函数f(x)＝ln(x2＋ax＋1)的定义域为A.
(1)若1∈A，－3?A，求实数a的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)由题意，得，
所以a≥.
故实数a的取值范围为.
(2)由题意，得x2＋ax＋1>0在R上恒成立，则Δ＝a2－4<0，解得－2故实数a的取值范围为(－2,2)．
[B组 能力提升]
1．函数f(x)＝loga|x|＋1(0解析：当x>0时，f(x)＝logax＋1，其图象可以看作f(x)＝logax的图象向上平移一个单位而得到的，又因f(x)＝loga|x|＋1(00时的图象关于y轴对称．
答案：A
2．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B.(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析：设a由f(a)＝f(b)＝f(c)
得|lg a|＝|lg b|.
∵a、b、c互不相等，∴lg a＝－lg b.
∴ab＝1.
∴10答案：C
3．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是________．
解析：∵y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，∴Δ＝4k2－4k≥0，即4k(k－1)≥0，∴k≥1或k≤0.
答案：k≥1或k≤0
4．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．
解析：∵0＜a＜1，∴函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
∴在区间[a,2a]上，f(x)min＝loga(2a)，f(x)max＝logaa＝1，∴loga(2a)＝，∴a＝.
答案：
5．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．
解析：若f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x为对数函数，则
?
∴m＝2，
∴f(x)＝log3x，
∴f(27)＝log327＝3.
6．设x≥0，y≥0，且x＋2y＝，求函数u＝log(8xy＋4y2＋1)的最大值与最小值．
解析：x＋2y＝，∴2y＝－x，
设p＝8xy＋4y2＋1＝4x＋2＋1＝－3x2＋x＋＝－32＋，又x≥0，y≥0，x＋2y＝，∴－x＝2y≥0，即x≤，∴0≤x≤.
∴当x＝时，p取到最大值；当x＝时，p取到最小值1.
又y＝logp是关于p的减函数，
∴函数y＝log (8xy＋4y2＋1)的最大值是log1＝0，最小值为log.
第2课时 对数函数及其性质的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则( )
A．aC．a解析：∵y＝log5x是增函数，∴log53y＝log4x是增函数，∴log45>log44＝1，
∴log53答案：D
2．若loga(a2＋1)A．(0,1) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：∵a≠1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，
∴logax是减函数，∴得答案：B
3．定义在R上的函数f(x)＝ln(＋x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．不是奇函数又不是偶函数
解析：f(x)＋f(－x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝ln[(＋x)(－x)]＝
ln(1＋x2－x2)＝ln 1＝0，
∴f(x)是定义在R上的奇函数．
答案：A
4．设函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为( )
A．f(a＋1)＝f(2) B.f(a＋1)>f(2)
C．f(a＋1)解析：易知f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以0f(2)．
答案：B
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f(log3)，c＝f ，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＜c＜b B.b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
解析：a＝f(－)＝f()，b＝f(log3)＝f(log32)，c＝f .
∵0＜log32＜1,1＜＜，∴＞＞log32.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴a＞c＞b.
答案：C
6．已知log0.45(x＋2)＞log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．
解析：原不等式等价于解得－2＜x＜－.
答案：
7．若实数a满足loga2>1，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>1时，loga2>1＝logaa.
∴2>a.∴1当0不满足题意．
答案：18．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．
解析：由题意得：当x≥1时，2x－b≥1恒成立，
又当x≥1时，2x≥2，∴b≤1.
答案：b≤1
9．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，解关于x的不等式0解析：由得－1由0得1<<10.
因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由
得－故原不等式的解集为.
10．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取得最大值时的x的值．
解析：由f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]得f(x2)＝2＋log3x2，x2∈[1,9]，即x∈[1,3]，
得函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，
y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2，
即y＝(log3x)2＋6log3x＋6
＝(log3x＋3)2－3，
令log3x＝t,0≤t≤1，
y＝(t＋3)2－3，当t＝log3x＝1，
即x＝3时，ymax＝13.
[B组 能力提升]
1．已知x＝ln π，y＝log52，z＝e，则( )
A．xC．z解析：∵x＝ln π>ln e，∴x>1.
∵y＝log52∴z＝e－＝>＝，∴综上可得，y答案：D
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)若a>b>1,0A．acC．alogbc解析：∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，
∴当a>b>1,0bc，选项A不正确．
∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当a>b>1,0ac－1bac，选项B不正确．
∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0.
∴>.又∵0∴<，∴alogbc同理可证logac>logbc，选项D不正确．
答案：C
3．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f ＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________．
解析：由题意可知，f(log4x)＜0?－＜log4x＜?log44＜log4x＜log44?＜
x＜2.
答案：
4．已知f(x)＝是R上的增函数，求a的取值范围．
解析：f(x)是R上的增函数，则当x≥1时，y＝logax是增函数，∴a＞1.
又当x＜1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．∴6－a＞0，∴a＜6.
又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥.
∴≤a＜6.
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log (－x＋1)．
(1)求f(0)，f(1)；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝log (－x＋1)，所以f(0)＝0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以
f(1)＝f(－1)＝log [－(－1)＋1]＝log2＝－1，即f(1)＝－1.
(2)令x>0，则－x<0，
从而f(－x)＝log (x＋1)＝f(x)，
∴x>0时，f(x)＝log (x＋1)．
∴函数f(x)的解析式为
(3)设x1，x2是任意两个值，且x1－x2≥0，
∴1－x1>1－x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝log(－x2＋1)－log (－x1＋1)＝log>log1＝0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)＝log (－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a＞1.
(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；
(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f对任意x1＞0，x2＞0恒成立．
解析：(1)∵[f(0)＋f(1)]＝(loga1＋loga2)＝loga，
又∵f ＝loga，且＞，由a＞1知函数y＝logax为增函数，所以loga＜loga.
即[f(0)＋f(1)]＜f .
(2)由(1)知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．
接下来探索不等号左右两边的关系：
[f (x1－1)＋f(x2－1)]＝loga，
f＝loga，
因为x1＞0，x2＞0，
所以－＝≥0，
即≥ .
又a＞1，
所以loga≥loga，
即[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f .
综上可知，不等式对任意x1＞0，x2＞0恒成立．
2.3 幂函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3 B．y＝x－3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1
解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．
答案：B
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B.y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：∵y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，
但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．
答案：A
3．如图，函数y＝x的图象是( )
解析：y＝x＝≥0，故只有D中的图象适合．
答案：D
4．已知幂函数是偶函数，则实数t的值为( )
A．0 B.－1或1
C．1 D．0或1
解析：∵是幂函数，
∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.
当t＝0时，f(x)＝x是奇函数，不满足题设；
当t＝1时，f(x)＝x是偶函数，满足题设．
答案：C
5．a，b满足0A．aaC．aa解析：因为0答案：C
6．若函数则f{f[f(0)]}＝________.
解析：∵f(0)＝－2，
∴f(－2)＝(－2＋3)＝1，
∴f(1)＝1，
∴f{f[f(0)]}＝f[f(－2)]＝f(1)＝1.
答案：1
7．下列命题中，
①幂函数的图象不可能在第四象限；
②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
③当α>0时，幂函数y＝xα是增函数；
④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的序号为________．
解析：当α＝0时，是直线y＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y＝xα仅在第一象限是递增的，如y＝x2，故③错误．
答案：①④
8．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n＞n，则n＝________.
解析：∵－＜－，且n＞n，∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1或n＝2.
答案：－1或2
9．点(，2)与点分别在幂函数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，
则()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)10．已知幂函数y＝x (m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)3m<(3a－2)3的a的取值范围．
解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，
解得－1∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
∴原不等式等价于(a＋1)3<(3a－2)3.
又∵y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴a＋1<3a－2，∴2a>3，a>，
故a的取值范围是a>.
[B组 能力提升]
1．设幂函数f(x)的图象经过点，设0A．f(a－1)C．f(a－1)>f(a) D．不能确定
解析：因为幂函数f(x)的图象经过点，设f(x)＝xα，因为图象经过点，所以α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x在第一象限单调递减．
因为0a，所以f(a－1)答案：A
2．若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：令f(x)＝x＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于
解得答案：B
3．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．
解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1，
∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，
∴幂函数y＝xm在 (0，＋∞)上单调递增，故m>0.
答案：(0，＋∞)
4．把，，，0按从小到大的顺序排列________．
解析：0＝1，＞0＝1，＜1，＜1.
∵y＝x为增函数，∴＜＜0＜.
答案：＜＜0＜
5．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数f(x)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N＋)，而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数f(x)＝x (m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2，
又∵m∈N＋，∴m＝1，f(x)＝x.
又∵f(2－a)>f(a－1)，
∴解得1≤a<，
故函数f(x)经过点(2，)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a＜.
6．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，求m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解析：(1)若f(x)为正比例函数，则
解得m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
解得m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
解得m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
解得m＝－1±.
