第1课时 数列的概念与简单表示
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．数列1,0,1,0,1,0,1,0…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：n＝1时验证知B正确．
答案：B
2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D.，，，…，
解析：对于A，它是无穷递减数列；对于B，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，既是递增数列又是无穷数列，故C符合题意．
答案：C
3．数列，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：观察前4项的特点易知an＝.
答案：C
4．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，是数列{an}中的一项的是( )
A．18 B．21
C．25 D．30
解析：依次令n(n＋1)＝18,21,25和30检验，有正整数解的为数列{an}中的一项，知选D.
答案：D
5．递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
解析：∵数列{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0，
∴实数k的取值范围是(－∞，0)．
答案：C
6．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
解析：∵an＝3－2n，
∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.
答案：3－4n
7．数列{an}的通项公式an＝cn＋，又知a2＝，a4＝，则a10＝________.
解析：由a2＝2c＋＝，a4＝4c＋＝，
解之得：c＝1，d＝－1，
∴an＝n－，
∴a10＝.
答案：
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．
解析：令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．
答案：4
9．下面数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
(1)全体自然数构成的数列：0,1,2,3,4，…；
(2)堆放7层的钢管，自上而下各层的钢管数排列成一列数：4,5,6,7,8,9,10；
(3)无穷多个3构成的数列：3,3,3,3，…；
(4)－1,1，－1,1，…；
(5)精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值构成的数列：1,1.4,1.41,1.414，….
解析：(1)(2)(5)中的数列是递增数列，(3)中的数列是常数列，(4)中的数列是摆动数列．
10．已知数列{an}中，an＝，判断数列{an}的单调性．
解析：∵an＝，∴an＋1＝，
则an＋1－an＝－
＝＝.
∵n∈N*，∴n＋2>0，n＋1>0，
∴>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
[B组 能力提升]
1．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项的值为( )
A．5 B．11
C．10或11 D．36
解析：∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，
∴当n＝5时，an取得最大值36.
答案：D
2．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是( )
A． a1 B．a9
C．a10 D．不存在
解析：∵a1>0且an＋1＝an，∴an>0，＝<1，∴an＋1
答案：A
3．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝19－2n>0，得n<，∵n∈N*，∴n≤9.
答案：9
4．用火柴棒按如图所示的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒的根数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是________．
解析：搭1个三角形需要3根火柴，以后每增加一个三角形只需要增加2根火柴．
答案：an＝2n＋1
5．数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否是{an}中的一项？
(2)当n分别取何值时，an＝0，an>0，an<0?
解析：(1)假设－60是{an}中的一项，
则－60＝30＋n－n2.
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴－60是{an}的第10项．
(2)分别令30＋n－n2＝0；30＋n－n2>0；30＋n－n2<0，
解得n＝6；06，
即n＝6时，an＝0；
00；
n>6时，an<0.
6．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N*)．
(1)求证：an<1；
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
解析：(1)证明：∵f(x)＝，
∴an＝f(n)＝＝1－<1.
(2){an}是递增数列．理由如下：
∵an＋1－an＝－＝－＝>0，
∴an＋1>an，∴{an}是递增数列．
第2课时 数列的通项公式与递推公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．数列{an}的通项公式为an＝则a2a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
答案：C
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A.
B.
C.
D.
解析：将数值代入选项验证即可．
答案：B
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＝nan－1(n≥2)，则a5等于( )
A．240 B．120
C．60 D．30
解析：逐项代入可求．
答案：A
4．若数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的第4项是( )
A. B.
C. D.
解析：∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝＝，a3＝＝＝，
a4＝＝＝，故选C.
答案：C
5．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1 000＝( )
A．1 B．1 999
C．1 000 D．－1
解析：a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)，∴a1 000＝1.
答案：A
6．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a4＝________.
解析：由an＋2＝an＋1＋an，
∴a3＝a1＋a2＝2，
a4＝a2＋a3＝1＋2＝3.
答案：3
7．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 017＝________；a2 014＝________.
解析： 依题意得a2 017＝a4×505－3＝1，a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.故分别填1,0.
答案：1 0
8．数列{an}的通项公式an＝(－1)n·，则a3＝________，a10＝________，a2n－1＝________.
解析：分别用3,10和2n－1去代换通项公式中的n，得
a3＝(－1)3·＝－，
a10＝(－1)10·＝，
a2n－1＝(－1)2n－1·＝－.
答案：－ －
9．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解析：由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3(n≥2)．
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，
所以an＝a1·3n－1，
又a1＝2，故an＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝2×30＝2也满足，故an＝2·3n－1.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，试探究数列{an}的通项公式．
解析：法一：将n＝1,2,3,4依次代入递推公式得a2＝，a3＝，a4＝，又a1＝，
∴可猜想an＝.
应有an＋1＝，将其代入递推关系式验证成立，
∴an＝.
法二：∵an＋1＝，
∴an＋1an＝2an－2an＋1.
两边同除以2an＋1an，得－＝.
∴－＝，－＝，…，－＝.
把以上各式累加得－＝.
又a1＝1，∴an＝.
故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
[B组 能力提升]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于( )
A．729 B．387
C．604 D．854
解析：a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S5＝93－53＝604，故选C.
答案：C
2．数列7,9,11，…中，2n－1是数列的第________项( )
A．n－3 B．n－2
C．n－1 D．n
解析：an＝2(n＋3)－1，设2n－1是数列的第m项，则2n－1＝2(m＋3)－1，解得m＝n－3.
答案：A
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，则a10＝________.
解析：∵ap＋q＝ap＋aq，
∴a4＝2a2＝－12，
a8＝2a4＝－24，
a10＝a2＋a8＝－30.
答案：－30
4．已知数列{an}，a1＝－1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a7＝________.
解析：分别求出a3，a4，a5，a6，即可求a7.
答案：11
5．在数列{an}中，已知a1＝1，Sn＝n2an，求该数列的通项公式．
解析：因为Sn＝n2an，①
所以Sn－1＝(n－1)2an－1 (n≥2)．②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
可得(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
即(n＋1)an＝(n－1)an－1，故＝.
所以an＝a1···……·
＝1×××…
＝.
答案：
6．已知数列{an}满足lg(1＋a1＋a2＋…＋an)＝n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解析：∵Sn＝a1＋a2＋…＋an，
又lg(1＋a1＋a2＋…＋an)＝n，∴lg(1＋Sn)＝n.
∴Sn＝10n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝9；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1)
＝9×10n－1.
∵当n＝1时也满足上式，
∴an＝9×10n－1.
第1课时 等差数列的概念和通项公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是( )
A．an＝a＋(n－1)d B．an＝a＋(n－3)d
C．an＝a＋2(n－2)d D．an＝a＋2nd
解析：数列的首项为a－2d，公差为2d，∴an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.
答案：C
2．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的第几项( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列，∴an＝3＋(n－1)×6＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
答案：C
3．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于( )
A．－9 B．－8
C．－7 D．－4
解析：法一：由题意，得解得a1＝－8.
法二：由an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
得d＝，
∴d＝＝＝3.
∴a1＝a2－d＝－8.
答案：B
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 017等于( )
A．2 009 B．2 010
C．2 018 D．2 017
解析：由于an＋1－an＝1，则数列{an}是等差数列，且公差d＝1，则an＝a1＋(n－1)d＝n，故a2 017＝2 017.
答案：D
5．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，将a1＝代入，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，
令an＝35，解得n＝53.
答案：D
6．lg(－)与lg(＋)的等差中项是________．
解析：等差中项A＝＝＝0.
答案：0
7．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
解析：设首项为a1，公差为d，
由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，
所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
答案：3
8．已知48，a，b，c，－12是等差数列的连续5项，则a，b，c的值依次是________．
解析：∵2b＝48＋(－12)，∴b＝18，
又2a＝48＋b＝48＋18，
∴a＝33，
同理可得c＝3.
答案：33,18,3
9．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
解析：由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123.
又因为n为正整数，所以共有38项．
10．一个各项都是正数的无穷等差数列{an}，a1和a3是方程x2－8x＋7＝0的两个根，求它的通项公式．
解析：由题意，知a1＋a3＝8，a1a3＝7，
又{an}为正项等差数列，∴a1＝1，a3＝7，
设公差为d，∵a3＝a1＋2d，∴7＝1＋2d，
故d＝3，an＝3n－2.
[B组 能力提升]
1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值是( )
A．52 B．51
C．50 D．49
解析：∵2an＋1＝2an＋1，
∴2(an＋1－an)＝1.即an＋1－an＝.
∴{an}是以为公差的等差数列．
a101＝a1＋(101－1)×d＝2＋50＝52.
答案：A
2．在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n为( )
A．m－n B．0
C．m2 D．n2
解析：法一：设首项为a1，公差为d，则
解得
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
故选B.
法二：因结论唯一，故只需取一个满足条件的特殊数列：2,1,0，便可知结论，故选B.
答案：B
3．已知1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
解析：由已知，x是1和y的等差中项，
即2x＝1＋y，①
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10②
由①，②可解得x＝4，y＝7.
答案：4,7
4．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是________．
解析：由题意得
∴
∴答案：5．已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解析：法一：设等差数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3.依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
故取a1＝11，d＝－5，
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的项，且为第10项．
法二：设等差数列{an}的前三项依次为：a－d，a，a＋d，
则
解得
又∵{an}是递减等差数列，即d<0，
∴取a＝6，d＝－5.
∴{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.
∴通项公式an＝11＋(n－1)·(－5)，
即an＝－5n＋16.
令an＝－34，解得n＝10.
即－34是数列{an}的项，且为第10项．
6．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第110项是{an}的第几项？
解析：(1)∵a1＝3，d＝－5，
∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n(n∈N*)．
数列{an}中项数被4除余3的项是{an}的第3项，第7项，第11项，…，所以其首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，
即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n.
∵bn－bn－1＝－20(n≥2，n∈N*)，
∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n，n∈N*.
(3)设它是{an}中的第m项，由(2)知m＝4n－1，
又n＝110，则m＝439.
故{bn}中的第110项是{an}的第439项．
第2课时 等差数列的性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．6
解析：由等差数列的性质得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.
答案：B
2．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( )
A．bn＝－an B．bn＝a
C．bn＝ D．bn＝
解析：∵数列{an}是等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．
对于A，bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如an＝n，则bn＝a＝n2，显然不是等差数列；对于C和D，及不一定有意义，故选A.
答案：A
3．在等差数列{an}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－
解析：∵2a4＝a2＋a6＝1－1＝0，∴a4＝0.
答案：C
4．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
解析：由??
∴an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)·(－2)＝－2n＋10.
答案：D
5．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A．a1＋a8C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5，故选B.
答案：B
6．等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
解析：由a25是a15与a35的等差中项知2a25＝a15＋a35，
∴a35＝2a25－a15＝2×66－33＝99.
答案：99
7．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
解析：由等差数列的性质可知，
a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7，
∴a2＋a4＋a6＋a8＝37×2＝74.
答案：74
8．在等差数列{an}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.
解析：设数列{an}的公差为d.
法一：由题意知
解得
∴a15＝a1＋14d＝＋14×＝2b－a.
法二：d＝＝，
∴a15＝a10＋5d＝b＋5×＝2b－a.
法三：∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.
∴a15＝2a10－a5＝2b－a.
答案：2b－a
9．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
解析：由题意可设最低一级宽度为a1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{an}，依题意a12＝33，
由a12＝a1＋(12－1)d?33＝110＋11d，
∴d＝－7，∴an＝110＋(n－1)×(－7)，
∴a2＝103，a3＝96，a4＝89，a5＝82，a6＝75，a7＝68，a8＝61，a9＝54，a10＝47，a11＝40，
故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.
10．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
解析：显然a－4(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则
(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，
∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则
(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则
(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
[B组 能力提升]
1．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
解析：由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
答案：D
2．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
解析：由等差数列的性质知a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20，从而log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log2220＝20.
答案：B
3．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________．
解析：由题设知－＝－＝＝1－为常数，则1＋2m＝0，故m＝－.
答案：－
4．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
解析：n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
答案：
5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
解析：设两个数列分别为{an}与{bk}．
则a1＝5，d1＝8－5＝3，
通项公式an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2；
b1＝3，d2＝7－3＝4，
通项公式bk＝3＋(k－1)·4＝4k－1.
设数列{an}的第n项与{bk}的第k项相同，
即an＝bk，也就是3n＋2＝4k－1，
∴n＝k－1，而n∈N*，k∈N*，
∴k必须为3的倍数，设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.
由条件知
解得≤r≤.
又r∈N*，∴1≤r≤25(r∈N*)．
∴共有25个共同的项．
6．已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．
解析：(1)设数列{an}是等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，
若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，
则2p＝0，即p＝0，q∈R.
∴当p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．
∴对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．
第1课时 等差数列的前n项和公式
[课时作业]页
[A组 基础巩固]
1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
解析：由题意，得即
解得或
答案：D
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为( )
A．7 B．6
C．3 D．2
解析：由S2＝4，S4＝20，得2a1＋d＝4,4a1＋6d＝20，解得d＝3.
答案：C
3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于( )
A．138 B．135
C．95 D．23
解析：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可知d＝3，a1＝－4.∴S10＝－40＋×3＝95.
答案：C
4．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：由S5＝5a3＝25，∴a3＝5.
∴d＝a3－a2＝5－3＝2.
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
答案：B
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－8；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－9n)－[(n－1) 2－9(n－1)]＝2n－10.
综上可得数列{an}的通项公式an＝2n－10.
所以ak＝2k－10.令5＜2k－10＜8，解得k＝8.
答案：B
6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：∵n≥2时，an＝an－1＋，且a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，所以S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
答案：27
7．等差数列{an}中，若a10＝10，a19＝100，前n项和Sn＝0，则n＝________.
解析：，∴d＝10，a1＝－80.
∴Sn＝－80n＋×10＝0，
∴－80n＋5n(n－1)＝0，n＝17.
答案：17
8．等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.
解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，
又a2＋a7＋a12＝24，
所以a7＝8.
所以S13＝＝13×8＝104.
答案：104
9．在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
解析：(1)由已知条件得
解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，
∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
10．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解析：(1)设{an}的首项，公差分别为a1，d.
则
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.
[B组 能力提升]
1．Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＋a6＋a12为一个常数，则下列也是常数的是( )
A．S17 B．S15
C．S13 D．S7
解析：∵a3＋a6＋a12为常数，∴a2＋a7＋a12＝3a7为常数，∴a7为常数．又S13＝13a7，∴S13为常数．
答案：C
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
∴d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，
知a1＝－am＝－2，am＝－2＋(m－1)＝2，
解得m＝5.
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于________．
解析：由等差数列的性质，＝＝＝，
∴＝＝×＝1.
答案：1
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项和为180，Sn＝324(n>6)，则数列的项数n＝________，a9＋a10＝________.
解析：由题意，可知a1＋a2＋…＋a6＝36 ①，an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180 ②，由①＋②，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36.又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18，∴a1＋a18＝36，∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.
答案：18 36
5．等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解析：a1＝S1＝101，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－＝－3n＋104，a1＝S1＝101也适合上式，所以an＝－3n＋104，令an＝0，n＝34，故n≥35时，an<0，n≤34时，an>0，所以对数列{|an|}，n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋n，
当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a34－a35－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝n2－n＋3 502，
所以Tn＝
6．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
第2课时 等差数列的前n项和公式的性质及应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．(2015·高考全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.
答案：A
2．数列{an}为等差数列，若a1＝1，d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.
答案：D
3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝( )
A．16 B．24
C．36 D． 48
解析：设数列{an}的公差为d，则Sn＝＋d，∴S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，∴S6＝3＋15d＝48.
答案：D
4．设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为( )
A．128 B．80
C．64 D．56
解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则S8＝＝＝＝64.
答案：C
5．数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
解析：∵{an}是等差数列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18.
又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.
∴3(a1＋a20)＝54.∴a1＋a20＝18.
∴S20＝＝180.
答案：B
6．有两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn和Tn.若＝，则等于________．
解析：由{an}，{bn}是等差数列，＝，不妨设Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(n＋2)(k≠0)，则an＝3k＋4k(n－1)＝4kn－k，bn＝3k＋2k(n－1)＝2kn＋k.所以＝＝.
答案：
7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是________．
解析：由已知得3a3＝105,3a4＝99，
∴a3＝35，a4＝33，
∴d＝－2，an＝a4＋(n－4)(－2)＝41－2n，
由，得n＝20.
答案：20
8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．
解析：S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
答案：3
9．设正项数列{an}的前n项和为Sn，并且对于任意n∈N*，an与1的等差中项等于，求数列{an}的通项公式．
解析：由题意知，＝，得：
Sn＝，
∴a1＝S1＝1，
又∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]，
∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0.
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，
∵an＞0，∴an＋1－an＝2，
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝2n－1.
10．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解析：(1)设等差数列的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7为所求结果．
[B组 能力提升]
1．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析：∵a1＋a2＋a3＝34，①
an＋an－1＋an－2＝146，②
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③
Sn＝＝390.④
将③代入④中得n＝13.
答案：A
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝( )
A．38 B．20
C．10 D．9
解析：由等差数列的性质，得am－1＋am＋1＝2am，
∴2am＝a.由题意得am≠0，∴am＝2.
又S2m－1＝＝
＝2(2m－1)＝38，
∴m＝10.
答案：C
3．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且满足＝，则＝________.
解析：＝＝＝＝＝＝＝.
答案：
4．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于________．
解析：由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 016＝504×2＝1 008.
答案：1 008
5．某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？
解析：由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，
则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300，
Sn＝17 500.
由等差数列的通项公式及前n项和公式，
得
由①得a1＝3 400－300n.
代入②得n(3 400－300n)＋150n(n－1)－17 500＝0，
整理得3n2－65n＋350＝0，
解得n＝10或n＝(舍去)，
所以a1＝3 400－300×10＝400.
故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m，
第一根电线杆距离电站×400－100＝100(m)．
所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.
6．已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn＝(an＋2)2.
(1)求证{an}是等差数列；
(2)设bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
解析：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋2)2，
解得a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
即8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
整理得，(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，
即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
∵an∈N*，∴an＋an－1>0，∴an－an－1－4＝0，
即an－an－1＝4(n≥2)．
故{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．
(2)设{bn}的前n项和为Tn，
∵bn＝an－30，且由(1)知an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴bn＝(4n－2)－30＝2n－31，
故数列{bn}是单调递增的等差数列．
令2n－31＝0，得n＝15，
∵n∈N*，∴当n≤15时，bn<0；
当n≥16时，bn>0，即b1当n＝15时，Tn取得最小值，最小值为T15＝×15＝－225.
第1课时 等比数列的概念和通项公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
解析：由题知a6＝a1q5＝32×5＝－1，故选B.
答案：B
2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0且a≠1
C．a≠0 D．a≠0或a≠1
解析：由a1≠0，q≠0，得a≠0,1－a≠0，所以a≠0且a≠1.
答案：B
3．在等比数列{an}中，a2 016＝8a2 013，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：q3＝＝8，∴q＝2.
答案：A
4．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81
C．128 D．243
解析：∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，
∴a1＝1.故a7＝1×26＝64.
答案：A
5．等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则＝( )
A．－ B.
C. D．－或
解析：a1，a3，a2成等差数列，所以a3＝a1＋a2，从而q2＝1＋q，∵q>0，∴q＝，
∴＝＝.
答案：C
6．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项 是192，则n＝________.
解析：设公比为q，
则??q2＝4，
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
答案：5
7．数列{an}为等比数列，an>0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝________.
解析：由a1·a5＝16，a4＝8，得aq4＝16，a1q3＝8，所以q2＝4，又an>0，故q＝2，a1＝1，an＝2n－1.
答案：2n－1
8．若k,2k＋2,3k＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．
解析：由题意，(2k＋2)2＝k(3k＋3)，解得k＝－4或k＝－1，又k＝－1时，2k＋2＝3k＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－.
答案：－
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴Sn＋1－Sn＝an＋1
＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an.①
又∵S1＝a1＝2a1＋1，
∴a1＝－1≠0.
由①式可知，an≠0，
∴由＝2知{an}是等比数列，an＝－2n－1.
10．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
解析：(1)∵2an＝3an＋1，∴＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，所以a5＝3，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－n－2.
(2)设an＝－，则－＝－n－2，
n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
[B组 能力提升]
1．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )
A．210 B．220
C．216 D．215
解析：由等比数列的定义，a1·a2·a3＝3，故a1·a2·a3·…·a30＝3.
又q＝2，故a3·a6·a9·…·a30＝220.
答案：B
2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
解析：设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42.
答案：B
3．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 014和a2 015是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 016＋a2 017＝________.
解析：4x2－8x＋3＝0的两根分别为和，q>1，从而a2 014＝，a2 015＝，∴q＝＝3.a2 016＋a2 017＝(a2 014＋a2 015)·q2＝2×32＝18.
答案：18
4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.
答案：14
5．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．
解析：由题意，设这四个数为，b，bq，a，
则解得或
∴这四个数依次为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
6．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)证明：由已知得an＋1＝a＋2an，
∴an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2.
∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)2>0.
∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即＝2，
且lg(1＋a1)＝lg 3.
∴{lg(1＋an)}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg 3＝lg 3，
∴1＋an＝3，
∴an＝3－1.
第2课时 等比数列的性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lg an}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
解析：设bn＝a，则＝＝2＝q2，
∴{bn}为等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时，lg an无意义；设cn＝nan，
则＝＝·q≠常数．
答案：A
2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( )
A．9 B．3
C．－3 D．－9
解析：a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，
由于a1，a3，a4成等比数列，a＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.
答案：D
3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )
A．16 B．32
C．64 D．256
解析：由已知，得a1a19＝16.
又∵a1·a19＝a8·a12＝a，
∴a8·a12＝a＝16.
又an>0，∴a10＝4，
∴a8·a10·a12＝a＝64.
答案：C
4．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为( )
A．9 B．1
C．2 D．3
解析：∵a3a5a7a9a11＝aq30＝243，∴＝＝a1q6＝＝3.
答案：D
5．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C. D.
解析：由题意可得a3a5＝a＝4(a4－1)?a4＝2，所以q3＝＝8?q＝2，故a2＝a1q＝.
答案：C
6．等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5＝________.
解析：由题意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9，∴q2＝9.
又an>0，∴q＝3.
故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9×3＝27.
答案：27
7．已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝________.
解析：＝＝＝－2.
答案：－2
8．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.
解析：因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1，因为b>0，所以b＝1.
答案：1
9．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．
解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q.
∵a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，
∴
由①，得a1＝q，
由②，得q＝2或q＝.
又数列{an}为递增数列，
∴a1＝q＝2，∴an＝2n.
10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，求log(a5＋a7＋a9)的值．
解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，
即log3an＋1－log3an＝log3＝1.
∴＝3.
∴数列{an}是等比数列，公比q＝3.
则log(a5＋a7＋a9)＝log[q3·(a2＋a4＋a6)]＝log[33·9]＝－5.
[B组 能力提升]
1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A. B.
C. D．2
解析：∵a3·a9＝a＝2a，∴q2＝2＝2.
又q>0，∴q＝.∴a1＝＝＝.
答案：B
2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a5成等比数列，则a2等于( )
A．－4 B．2
C．3 D．－3
解析：∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1·a5.
∴a＝(a2－d)·(a2＋3d)，
即a＝(a2－2)(a2＋6)．∴a2＝3.
答案：C
3．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a
＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.
∴b6b8＝b＝16.
答案：16
4．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．
解析：不妨设a>b，由根与系数的关系得a＋b＝p，a·b＝q，则a>0，b>0，则a，－2，b为等比数列，a，b，－2成等差数列，则a·b＝(－2)2＝4，a－2＝2b，∴a＝4，b＝1，∴p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.
答案：9
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解析：由an＋1＝，得＝＋1.
所以＋1＝2(＋1)．
又a1＝1，所以＋1＝2，
所以数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以＋1＝2×2n－1＝2n，
所以an＝.
6．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求d，q的值；
(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由a2＝b2，a8＝b3，
得
即
解方程组得或(舍)
(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，
bn＝b1qn－1＝6n－1.
由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，
即5n－4＝nloga6＋b－loga6.
比较系数得∴
所以存在a＝6，b＝1，使得对一切自然数，都有an＝logabn＋b成立.
第1课时 等比数列的前n项和公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．等比数列{an}中，an＝2n，则它的前n项和Sn＝( )
A．2n－1 B．2n－2
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析：a1＝2，q＝2，
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：D
2．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝( )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
解析：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，a4＝，得q3＝，解得q＝，于是S10＝＝＝2－.
答案：B
3．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．2或－1
解析：S4＝＝1，①
S8＝＝17，②
②÷①得1＋q4＝17，q4＝16.
q＝±2.
答案：C
4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35 B．33
C．31 D．29
解析：设数列{an}的公比为q，
∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，
∴a4＝2.
又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×，
∴q＝.
∴a1＝＝16.S5＝＝31.
答案：C
5．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于( )
A．2 B.
C．4 D.
解析：a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得a4－a3＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝4.
答案：C
6．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n＝1,2,3，…，则a1＋a2＋…＋an＝________.
解析：由＝2，∴{an}是以a1＝1，q＝2的等比数列，故Sn＝＝2n－1.
答案：2n－1
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析：∵S1,2S2,3S3成等差数列，∴4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，
∴4(1＋q)＝1＋3(1＋q＋q2)，解之得q＝.
答案：
8．等比数列的前n项和Sn＝m·3n＋2，则m＝________.
解析：设等比数列为{an}，则
a1＝S1＝3m＋2，
S2＝a1＋a2＝9m＋2?a2＝6m，
S3＝a1＋a2＋a3＝27m＋2?a3＝18m，
又a＝a1·a3?(6m) 2＝(3m＋2)·18m
?m＝－2或m＝0(舍去)．∴m＝－2.
答案：－2
9．在等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
解析：设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d，
由a3，a6，a10成等比数列，得a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2.
整理，得10d2－10d＝0.解得d＝0或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
于是S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn>0，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2]
＝－2n＋3，
当n＝1时，a1＝S1＝2×1－12＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式an＝－2n＋3(n∈N*)．
又an＝log5bn，
∴log5bn＝－2n＋3，
于是bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1，
∴＝＝5－2＝.
因此{bn}是公比为的等比数列，且b1＝5－2＋3＝5，
于是{bn}的前n项和
Tn＝＝.
[B组 能力提升]
1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：根据前n项和Sn＝2n－1，可求出an＝2n－1，由等比数列的性质可得{a}仍为等比数列，且首项为a，公比为q2，∴a＋a＋…＋a＝1＋22＋24＋…＋22n－2＝(4n－1)．
答案：D
2．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．1或2
解析：设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.
答案：B
3．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
解析：由题意，，解得a1＝1，a4＝8或者a1＝8，a4＝1，而数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a4＝8，即q3＝＝8，所以q＝2，因而数列{an}的前n项和Sn＝＝＝2n－1.
答案：2n－1
4．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝________.
解析：由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.
答案：34
5．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
解析：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，
即5＝.
解得λ＝－1.
6．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)由已知得解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，
a3＝2q，
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝.
由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.
故Tn＝ln 2.
第2课时 等比数列的前n项和公式的性质及应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：Sn＝＝＝3－2an.
答案：D
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5＝0，则＝( )
A．5 B．8
C．－8 D．15
解析：∵8a2－a5＝0，∴8a1q＝a1q4，∴q3＝8，∴q＝2，∴＝＝1＋q2＝5.
答案：A
3．已知在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514 B．513
C．512 D．510
解析：由已知得解得q＝2或q＝.
∵q为整数，∴q＝2.∴a1＝2，∴S8＝＝29－2＝510.
答案：D
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A. B.
C. D.
解析：由a2a4＝1?a1＝，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝7，
联立得：＝0，∴q＝，a1＝4，
S5＝＝.
答案：B
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝________.
解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴Sn＝＝126，∴2n＝64，∴n＝6.
答案：6
6．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
解析：由an＋2＋an＋1＝6an，
得qn＋1＋qn＝6qn－1，即q2＋q－6＝0，q>0，解得q＝2，
又∵a2＝1，∴a1＝，
∴S4＝＝.
答案：
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意得a2＝a1·q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2，又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(1＋q)＝3＋1＋q＋q2，所以q＝3(q＝0舍去)．所以an＝a1qn－1＝3n－1.
答案：3n－1
8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋1.
证明：设{an}的公比为q，由已知得a1>0，q>0.
∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，
∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝Sna1＋qSnSn＋1－a1Sn＋1－qSnSn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1<0，
∴Sn·Sn＋2根据对数函数的单调性可以得到log0.5(SnSn＋2)>log0.5S，
即log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋1.
9．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
解析：由题设知a1≠0，Sn＝，
则
由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.
(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，
通项公式an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，代入①得a1＝；
通项公式an＝×(－2)n－1.
综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，an＝×(－2)n－1.
[B组 能力提升]
1．在等比数列{an}中，公比q＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a10＝35，则S10＝( )
A. B.
C．235 D.
解析：由题意知log2(a1·a2·…·a10)＝35，
∴a1·a2·a3·…·a10＝235.
∴a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1q9)＝235.
∴aq1＋2＋3＋…＋9＝235.
∴a·245＝235，即a＝，
∴a1＝.
∴a1＋a2＋…＋a10＝＝.
答案：A
2．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )
A．a1d>0，dS4>0
B．a1d<0，dS4<0
C．a1d>0，dS4<0
D．a1d<0，dS4>0
解析：因为{an}是等差数列，a3，a4，a8成等比数列，
所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)?a1＝－d，
所以S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，所以a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0.
答案：B
3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．
解析：由题意可知q＝2，
设该数列为a1，a2，a3，…，a2n，
则an＋an＋1＝24，又a1＝1，
∴qn－1＋qn＝24，即2n－1＋2n＝24，
解得n＝4，∴项数为8项．
答案：8
4．(2016·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
解析：设{an}的公比为q，
于是a1(1＋q2)＝10，①
a1(q＋q3)＝5，②
联立①②得a1＝8，q＝，
∴an＝24－n，∴a1a2…an＝23＋2＋1＋…＋(4－n)＝2－n2＋n＝2－(n－)2＋≤26＝64.∴a1a2…an的最大值为64.
答案：64
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S6＝36，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)设{an}的公差为d，则
即∴a1＝1，d＝2.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，(n∈N*)．
(2)∵bn＝2an＝22n－1，
∴Tn＝21＋23＋25＋…＋22n－1
＝＝.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.
解析：(1)由Sn＝2an－2得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，
两式相减得an＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)，
又a1＝S1＝2a1－2，∴a1＝2，
∴{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＝2n.
∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，
∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，
∴{bn}是等差数列．
又b1＝1，∴bn＝2n－1.
(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)·2n，①
∴2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②
①－②，得
－Tn＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1
＝2＋2·－(2n－1)2n＋1
＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6.
∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
第3课时 数列的通项公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝3n B．an＝3n＋1
C．an＝3n－1 D．an＝3n－1
答案：C
2．数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.( )
A．2n＋1－3 B．2n－3
C．2n＋3 D．2n－1－3
解析：an＋1＋3＝2(an＋3)，∴此数列是以a1＋3为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝(1＋3)×2n－1，即an＝2n＋1－3.
答案：A
3．设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，则通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：设|2n－1·an|的前n项和为Tn，∵数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，∴Tn＝，∴2n－1an＝Tn－Tn－1＝－＝，
∴an＝＝，经验证，n＝1时也成立，
故an＝.故选C.
答案：C
4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝n＋2 D．an＝(n＋2)3n
解析：an＝an－1＋n(n≥2，且n∈N*)?＝＋1，
即bn＝，则数列{bn}为首项b1＝＝3a1＝3，公差为1的等差数列，
所以bn＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
所以an＝.
答案：B
5．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，则an＝________.
解析：∵a1＝1，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋1＋1＝＋1＝n2－2n＋2.
答案：n2－2n＋2
7．在数列{an}中，a1＝2，an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，则通项an＝________.
解析：由an＝3an－1＋2，得an＋1＝3(an－1＋1)(n≥2)．∵a1＝2，∴a1＋1＝3≠0，∴数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＋1＝3·3n－1＝3n，即an＝3n－1.
答案： 3n－1
8．已知数列{an}满足a1＝2，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则＝________，数列{an}的通项公式为________．
解析：当n≥2时，由(n＋1)an＝(n－1)an－1得＝，
故＝·＝×＝.
an＝···…···a1＝×××…×××2＝×2＝.又a1＝2满足上式，故an＝(n∈N*)
答案： an＝(n∈N*)
9．已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N*)，其中Sn为数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式．
解析：∵Sn＝1－an，①
∴Sn＋1＝1－an＋1，②
②－①得an＋1＝－an＋1＋an，
∴an＋1＝an，(n∈N*)
又n＝1时，a1＝1－a1，
∴a1＝.
∴an＝·()n－1＝()n(n∈N*)．
10．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求an.
解析：由题意知an≠0，因为an＋1＝·an，
所以＝，
故an＝··…··a1＝··…··＝.
[B组 能力提升]
1．已知数列{an}满足a1＝，a1＋a2＋…＋an＝n2an，则an为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：∵a1＋a2＋…＋an＝n2an，①
∴a1＋a2＋…＋an－1＝ (n－1)2an－1(n≥2，n∈N*)，②
①－②得an＝n2an－(n－1)2an－1.
即＝(n≥2，n∈N*)．
∴···…·＝××××…××.
即＝，又a1＝，∴an＝，
当n＝1时，a1＝＝成立，
∴an＝(n∈N*)．
答案：A
2．已知{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，则{an}的通项公式为an＝( )
A. B．()n－1
C. D．()n
解析：∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0.
∴(an＋1＋an)·[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
∵an>0，∴an＋1＋an>0.
∴＝，即an＋1＝an.
∴an＝an－1＝·an－2＝…＝···…···a1＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝也成立，∴an＝.
答案：A
3．对于数列{an}，满足a1＝1，an＋1＝an＋，则an＝________.
解析：∵an＋1－an＝－，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝(－1)＋(－)＋…＋(－)，即an＝(n≥2)，将n＝1代入也成立，∴an＝.
答案：
4．设数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，则通项an＝________.
解析：数列{nan}的前n项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)．① 其前n－1项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)．②
①－②，得nan＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，即an＝3n＋3.
当n＝1时也满足上式．故an＝3n＋3.
答案：3n＋3
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)证明：法一：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
法二：由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∵＝＝＝2(n∈N*)，
∴{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)可知an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
6．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：{cn}是等比数列．
证明：(1)由Sn＋1＝4an＋2得Sn＝4an－1＋2，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(4an＋2)－(4an－1＋2)＝4an－4an－1(n≥2)，
即an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
∴bn＝2bn－1(n≥2，n∈N*)，又b1＝a2－2a1＝3，
∴{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知an＋1－2an＝bn＝3·2n－1，于是有
an－21an－1＝3·2n－2，
21an－1－22an－2＝3·2n－2，
22an－2－23an－3＝3·2n－2，
…
2n－2a2－2n－1a1＝3·2n－2.
将以上n－1个等式叠加得
an－2n－1a1＝(n－1)·3·2n－2，
∴an＝3(n－1)2n－2＋2n－1a1＝(3n－1)·2n－2(n≥2，n∈N*)，
又n＝1时也满足此式，∴cn＝＝2n－2，
∴{cn}是等比数列，公比是2.
第4课时 数列求和
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在等差数列{an}中，a9＋a11＝10，则数列{an}的前19项和为( )
A．98 B．95
C．93 D．90
解析：S19＝＝＝＝95.
答案：B
2．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
解析：由＝－，由a2＝－，∴a1＝4，
∴Sn＝3，令n＝10得S10＝3(1－3－10)．
答案：C
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
解析：由＝q3＝＝知q＝，而新的数列{anan＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝.
又a1a2＝4×2＝8，
故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．
答案：C
4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( )
A. B.
C. D.
解析：依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.
答案：B
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( )
A. B.
C. D.
解析：由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，
∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，所以数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.
答案：A
6．数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为________．
解析：由题意得：
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，
所以＝2(－)，Sn＝2(1－)＝，S10＝.
答案：
7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 017＝________.
解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N*，∴S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.
答案：－1 007
8．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为________．
解析：该数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an，
而an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1.
∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.
答案：2n＋1－2－n
9．已知{an} 为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵a3＝－6，a6＝0，∴解得
∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
∴－8q＝－24，
∴q＝3，
∴{bn}的前n项和Sn＝＝＝4(1－3n)．
10．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)设数列{an}的公比为q，
由题知：2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.
(2)bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②
①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.
[B组 能力提升]
1．数列1，，，…，的前n项和为( )
A. B.
C. D.
解析：该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1,2,3，…，则Sn＝2，
∴Sn＝2＝.
答案：B
2．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A. B.
C. D.
解析：∵an＝
＝，
∴S n＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝
＝
＝×＝.
答案：B
3．已知点在直线l：y＝－x＋＋2上，则数列{an}的前30项的和为________．
解析：点在直线l：y＝－x＋＋2上，∴an＝2－sin ，sin的最小正周期为4，取值是1,0，－1,0的循环，∴数列{an}的前30项和S30＝30×2－[7×(1＋0－1＋0)＋1＋0]＝59.
答案：59
4．设f(x)＝，则f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝________.
解析：f(x)＝，f(1－x)＝＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＝，
即f(x)＋f(1－x)是一个定值．
∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝6×＝3.
答案：3
5．(2016·高考全国Ⅱ卷)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解析：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，
解得d＝1.
所以{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，
b101＝[lg 101]＝2.
(2)因为bn＝
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
6．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得，解得.
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n.
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
